감마함수 문서 원본 보기

감마 함수는 다음과 같이 정의되는 함수이다.

<math>
\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty}{t^{\alpha-1}e^{-t}}dt
</math> <math>
(t>0)
</math>

== 감마 함수의 성질 ==
<math>\alpha\neq0</math> 일 때, 일반적으로 다음과 같은 성질을 지닌다.

(1) <math>
\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)
</math>

(2) <math>
\Gamma(1-\alpha)\Gamma(\alpha)={\pi \over \sin(\pi\alpha)}
</math>

== 감마 함수 증명 ==
감마 함수 <math>
f(x)=\int_{0}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t}}dt
</math> <math>
(t>0)
</math>에서

<math>
x=x'+1
</math>을 대입하면, 

<math>
f(x'+1)=\int_{0}^{\infty}{t^{x'}e^{-t}}dt
</math>이다.

이때, 우변 <math>
\int_{0}^{\infty}{t^{x'}e^{-t}}dt
</math>를 정리해보자.

<math>
\int_{0}^{\infty}{t^{x'}e^{-t}}dt=\left[-t^{x'}e^{-t}\right]^{\infty}_{0}-\int_{0}^{\infty}{-x't^{x'-1}e^{-t}}dt
</math>

<math>
=\left[-t^{x'}e^{-t}\right]^{\infty}_{0}+x'\int_{0}^{\infty}{t^{x'-1}e^{-t}}dt
</math>

<math>
=x'\int_{0}^{\infty}{t^{x'-1}e^{-t}}dt
</math>



따라서, 감마 함수 <math>
f(x)
</math>에 대하여 

<math>
f(x+1)=xf(x)
</math>이 성립하므로 

<math>
f(x)=(x-1)!
</math> 이다.

== 결론 ==
{{상태상자|수학}}
위에 증명과정에 의해서 감마함수는 아래와 같이 정의가 된다.{{위키백과잇기|감마함수}}<math>
(x-1)!=\int_{0}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t}}dt
</math>
[[Category:수학]]