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= 2002 서울대 신입생 대상 수학 성취도 평가 =

=== 문제 ===

극한값 <math>\lim_{s\to \infty}{\int_{0}^{s}{\frac{2x}{(x+1)(x^2+1)}}dx}</math>를 구하여라.

=== 풀이 ===

<math>\frac{2x}{(x+1)(x^2+1)}</math>를 부분분수로 나누면 다음과 같다.

<math>\frac{2x}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}</math> (<math>A, B, C</math>는 상수)

여기서, 두 식이 항상 같아야 하므로, 계수를 비교하여 다음과 같이 <math>A=-1, B=1, C=1</math>임을 구할 수 있다.

따라서,  <math>\lim_{s\to \infty}{\int_{0}^{s}{\frac{2x}{(x+1)(x^2+1)}}dx} = \lim_{s\to \infty}{\int_{0}^{s}{\left(\frac{-1}{x+1}+\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}\right)}dx}</math>이다.

각 항에 대한 극한값은 다음과 같이 구할 수 있다.

<math>\lim_{s\to \infty}{\left(\int_{0}^{s}{\frac{-1}{x+1}}dx + \int_{0}^{s}{\frac{x}{x^2+1}}dx\right)}
=\lim_{s\to \infty}{\left[\ln{\left|\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}\right|}\right]_0^s}
=\lim_{s\to \infty}{\ln{\left|\frac{\sqrt{s^2+1}}{s+1}\right|}}
=0 \quad(\because \ln{1} = 0)</math>

<math>\lim_{s\to \infty}{\int_{0}^{s}{\frac{1}{x^2+1}} dx}</math>은 다음과 같이 계산한다.

정적분 <math>\int_{0}^{s}{\frac{1}{x^2+1}}dx</math>에서 <math>x=\tan{\theta}</math>로 치환하자. <math>\left(- \tfrac{\pi}{2}<\theta<\tfrac{\pi}{2}\right)</math>

양변을 미분하면 <math>dx=\sec^2{\theta}d\theta</math>이고, <math>\tan^2{\theta}+1=\sec^2{\theta}</math>이므로

<math>\lim_{s\to \infty}{\int_{0}^{s}{\frac{1}{x^2+1}} dx}=\lim_{s\to \infty}{\int_{0}^{\alpha}d\theta}=\lim_{s\to \infty}{\alpha}\quad(s=\tan{\alpha}) </math>

여기서 <math>s\to \infty</math>일 때, <math>\alpha\to \tfrac{\pi}{2}</math>로 수렴하므로 <math>\lim_{s\to \infty}{\int_{0}^{s}{\frac{1}{x^2+1}} dx}=\frac{\pi}{2}</math> 

<math>\therefore \lim_{s\to \infty}{\int_{0}^{s}{\frac{2x}{(x+1)(x^2+1)}}dx} = \frac{\pi}{2}</math>

= 2011 서울대 신입생 대상 수학 성취도 평가 =

=== 문제 ===

실수 전체에서 미분가능한 단조증가함수 <math>f(x)</math>와 <math>g(x)</math>가 다음 조건을 만족한다. 아래 적분값을 구하시오.

# <math>f(0)=2, f(1)=3</math>
# 도함수 <math>f'(x)</math>는 연속이다.
# 모든 <math>x \in [0, 1]</math>에 대하여 <math>\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2=1</math>이다.

<math display="block">\int_{0}^{1}{\frac{f(x)g'(x)-f'(x)g(x)}{\{f(x)\}^2g(x)}dx}</math>

=== 풀이 ===

주어진 정적분에서 피적분 함수는 다음과 같이 해석된다.

<math>\frac{f(x)g'(x)-f'(x)g(x)}{\{f(x)\}^2g(x)}=\frac{1}{g(x)}\times\left\{\frac{g(x)}{f(x)} \right\}^{\prime}</math>

부분적분을 통해 다음과 같이 식을 변형할 수 있다.

<math>\int_{0}^{1}{\frac{f(x)g'(x)-f'(x)g(x)}{\{f(x)\}^2g(x)}dx}
=\left[\frac{1}{f(x)}\right]_{0}^{1}+\int_{0}^{1}{\frac{g'(x)g(x)}{f(x)\{g(x)\}^2}dx}</math>

[조건 1]에 의해 <math>\left[\frac{1}{f(x)}\right]_{0}^{1}={1 \over 3}-{1 \over 2}=-{1 \over 6}</math>이다.

[조건 3]에 따르면 적분 구간내 모든 <math>x</math>에 대하여 <math>\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2=1</math>을 만족한다. 이때, 양변을 <math>x</math>에 대하여 미분하면

<math>2f'(x)f(x)-2g'(x)g(x)=0</math>이므로 <math>f'(x)f(x)=g'(x)g(x)</math>이다.

한편, <math>\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2=1</math>을 <math>g(x)</math>에 대하여 정리하면 <math>\{g(x)\}^2=\{f(x)\}^2-1</math>이다.

정적분 <math>\int_{0}^{1}{\frac{g'(x)g(x)}{f(x)\{g(x)\}^2}dx}</math>를 함수 <math>f</math>에 대하여 정리하면 다음과 같다.

<math>\int_{0}^{1}{\frac{g'(x)g(x)}{f(x)\{g(x)\}^2}dx}
=\int_{0}^{1}{\frac{f'(x)f(x)}{f(x)\{g(x)\}^2}dx}
=\int_{0}^{1}{\frac{f'(x)}{\{f(x)\}^2-1}dx}</math>

정적분 <math>\int_{0}^{1}{\frac{f'(x)}{\{f(x)\}^2-1}dx}</math>의 피적분 함수를 부분분수로 분해하여 적분하면 다음과 같다.

<math>\int_{0}^{1}{\frac{f'(x)}{\{f(x)\}^2-1} dx}
=\int_{0}^{1}{\frac{f'(x)}{\{f(x)-1\}\{f(x)+1\}} dx}</math>

위 적분값을 구하는 과정은 다음과 같다.

<math>\int_{0}^{1}{\frac{f'(x)}{\{f(x)-1\}\{f(x)+1\}} dx}
=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\frac{f'(x)}{f(x)-1}- \frac{f'(x)}{f(x)+1} dx}
=\frac{1}{2}\left[\ln{\left|\frac{f(x)- 1}{f(x)+1} \right|}\right]_{0}^{1}
=\frac{1}{2}\ln{\frac{3}{2}}</math>

따라서 구하는 적분값은 <math>-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\ln{\frac{3}{2}}</math>이다.