매트릭스 구조해석 문서 원본 보기

상위 문서 : [[구조역학]]

== 종류 ==
* '''응력법'''(Force Method) : 힘을 미지수로 하여 적합조건식 구성, 부재력 해석. 활용도 낮음.
** 연성법(Flexibility method)
** 적합법(Compatibility method)
* '''변위법'''(Displacement method) : 변위를 미지수로 하여 평형방정식 구성, 부재력 해석. 일반적으로 응력법보다 미지수 개수가 많지만, 컴퓨터로 풀기 용이하기 때문에 더 중요하다.<ref>McCormac, <<구조해석>>, 493쪽, 동화기술</ref>
** 강성도법(Stiffness method)

== 응력법 ==
[[File:매트릭스구조해석.png|오른쪽|500픽셀]]

<math>\Delta_1 + \Delta_{11}R_1 + \Delta_{12}R_2 + \Delta_{13}R_3 = 0</math>

<math>\Delta_2 + \Delta_{21}R_1 + \Delta_{22}R_2 + \Delta_{23}R_3 = 0</math>

<math>\Delta_3 + \Delta_{31}R_1 + \Delta_{32}R_2 + \Delta_{33}R_3 = 0</math>

적합방정식

<math>\begin{Bmatrix} \Delta_1 \\ \Delta_2 \\ \Delta_3 \end{Bmatrix}
+ 
\begin{bmatrix} \Delta_{11} & \Delta_{12} & \Delta_{13} \\
                \Delta_{21} & \Delta_{22} & \Delta_{23} \\
                \Delta_{31} & \Delta_{32} & \Delta_{33} \end{bmatrix}
\begin{Bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ R_3 \end{Bmatrix}
=
\begin{Bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{Bmatrix}</math>

{Δ} + [F]{R} = {0}
:{Δ} : 외력에 의한 변위벡터
:[F] : 연성계수(Flexibility coefficient) 행렬

<math>\therefore \{ R \} = - [F]^{-1} \{ \Delta \}</math>

== 변위법 ==
=== 강성도법 ===
Stiffness method.
용수철을 생각했을 때 p의 힘을 주면 Δ의 변위가 생긴다고 하자. 이때 둘의 관계를 다음으로 나타낸다.
:<math>p = k \Delta</math>
::k : 단위변위를 발생시키기 위한 힘. 강성(stiffness)<math>=\frac{EA}{L}</math>
::EA : 축강성(Axial rigidity)

==== 축력을 받는 부재의 강성방정식 ====
<math>\begin{Bmatrix} p_i \\ p_j \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{EA}{L} & - \frac{EA}{L} \\ - \frac{EA}{L} & \frac{EA}{L} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \Delta_i \\ \Delta_j \end{Bmatrix}</math>

==== 휨부재의 강성방정식 ====
<math>\begin{Bmatrix} q_i \\ M_i \\ q_j \\ M_j \end{Bmatrix} =
\begin{bmatrix} \frac{12EI}{L^3} & \frac{6EI}{L^2} & -\frac{12EI}{L^3} & \frac{6EI}{L^2} \\
                \frac{6EI}{L^2} & \frac{4EI}{L} & -\frac{6EI}{L^2} & \frac{2EI}{L} \\
                -\frac{12EI}{L^3} & -\frac{6EI}{L^2} & \frac{12EI}{L^3} & -\frac{6EI}{L^2} \\
                \frac{6EI}{L^2} & \frac{2EI}{L} & -\frac{6EI}{L^2} & \frac{4EI}{L} \end{bmatrix}
\begin{Bmatrix} v_i \\ \theta_i \\ v_j \\ \theta_j \end{Bmatrix}</math>

==== 휨-축력 부재의 강성방정식 ====
<math>\begin{Bmatrix} p_i \\ q_i \\ M_i \\ p_j \\ q_j \\ M_j \end{Bmatrix} =

\begin{bmatrix} {\color{red} \frac{EA}{L} } & 0 & 0 & {\color{red} -\frac{EA}{L} } & 0 & 0 \\
                0 & \frac{12EI}{L^3} & \frac{6EI}{L^2} & 0 & -\frac{12EI}{L^3} & \frac{6EI}{L^2} \\

                0 & \frac{6EI}{L^2} & \frac{4EI}{L} & 0 &  -\frac{6EI}{L^2} & \frac{2EI}{L} \\
                
                {\color{red} -\frac{EA}{L} } & 0 & 0 & {\color{red} \frac{EA}{L} } & 0 & 0 \\

                0 & -\frac{12EI}{L^3} & -\frac{6EI}{L^2} & 0 &  \frac{12EI}{L^3} & -\frac{6EI}{L^2} \\

                0 & \frac{6EI}{L^2} & \frac{2EI}{L} & 0 & -\frac{6EI}{L^2} & \frac{4EI}{L} \end{bmatrix}

\begin{Bmatrix} u_i \\ v_i \\ \theta_i \\ u_j \\ v_j \\ \theta_j \end{Bmatrix}</math>

==== 경사재 부재력 좌표변환 ====
<math>\begin{Bmatrix} P \\ Q \end{Bmatrix} =
\begin{bmatrix} \cos \beta & - \sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix}
\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>

==== 경사재의 강성행렬 ====
<math>
\begin{bmatrix}
P_i \\
Q_i \\
P_j \\
Q_j \\
\end{bmatrix}
=
\frac{EA}{L}
\begin{bmatrix}
c^2 & sc & -c^2 & -sc \\
sc & s^2 & -sc & -s^2 \\
-c^2 & -sc & c^2 & sc \\
-sc & -s^2 & sc & s^2 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
U_i \\
V_i \\
U_j \\
V_j \\
\end{bmatrix}

\begin{array}{ r }
s = \sin\beta \\
c = \cos\beta \\
\end{array}
</math>
'' (for a truss element at angle β)''

==== 휨과 축력을 받는 경사재의 강성행렬 ====
<math>\begin{Bmatrix} P_i \\ Q_i \\ M_i \\ P_j \\ Q_j \\ M_j \end{Bmatrix} =

\left[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} c^2 \frac{AE}{L} + s^2 \frac{12EI}{L^3} \\ \hline

                sc\left(\frac{AE}{L} - \frac{12EI}{L^3} \right) & s^2 \frac{AE}{L} + c^2 \frac{12EI}{L^3} & & Symmetric & \\ \hline

                -s\frac{6EI}{L^2} & c\frac{6EI}{L^2} & \frac{4EI}{L} \\ \hline

                -c^2 \frac{AE}{L} - s^2\frac{12EI}{L^3} & -sc\left( \frac{AE}{L} - \frac{12EI}{L^3} \right) & s\frac{6EI}{L^2} & c^2 \frac{AE}{L} + s^2\frac{12EI}{L^3}\\ \hline

                -sc\left( \frac{AE}{L} - \frac{12EI}{L^3} \right) & -s^2 \frac{AE}{L} - c^2 \frac{12EI}{L^3} & -c\frac{6EI}{L^2} & sc\left(\frac{AE}{L} - \frac{12EI}{L^3} \right) & s^2 \frac{AE}{L} + c^2 \frac{12EI}{L^3} \\ \hline

                -s\frac{6EI}{L^2} & c\frac{6EI}{L^2} & \frac{2EI}{L} & s\frac{6EI}{L^2} & -c\frac{6EI}{L^2} & \frac{4EI}{L} \end{array} \right]

\begin{Bmatrix} U_i \\ V_i \\ \theta_i \\ U_j \\ V_j \\ \theta_j \end{Bmatrix}</math>

== 각주 ==