면체적 측량 문서 원본 보기

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== 방법 ==
* 면적측량
** 직접법 : 현지에서 직접 거리, 각 측량하여 면적 계산
** 간접법 : 도상, 기하학 공식을 이용해 면적 계산
* 체적측량
** 단면법 : <u>단면간 토공량 계산</u> 시
** 점고법 : 넓은 지역 택지공사 시
** 등고선법 : <u>건물 부지 정지 작업</u>, 저수지 용량 산정 시

== 심프슨 법칙 ==
=== 심프슨 1법칙 ===
[[파일:심프슨1법칙.jpg|오른쪽|프레임없음|400x400픽셀]]
♣♣♣

사다리꼴 넓이 + 포물선 넓이 공식으로부터 유도된다.

<math>\int_a^b f(x) \, dx\approx
\frac{h}{3}\bigg[f(x_0) +f(x_n) + 
4\sum_{j=1}^{n/2}f(x_{ {\color{red} 2j-1 } }) +
2\sum_{j=1}^{n/2-1}f(x_{ {\color{red} 2j } })
\bigg]</math>

이 식에서 <math>n</math>은 구간 <math>[a, b]</math>을 나눈 부분구간의 총 개수를 뜻하며 짝수여야 하고, <math>h = \textstyle \frac{b-a}n</math>은 각 부분구간의 길이이다. 면적측량 시 n이 홀수라면 남는 부분은 사다리꼴의 넓이로 계산하여 더해준다. 이 공식을 정리하면 다음과 같이 쓸 수도 있다.
:<math>\int_a^b f(x) \, dx\approx
\frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+...+4f(x_{n-1})+f(x_n)\bigg]</math>

=== 심프슨 2법칙 ===
[[파일:심프슨2법칙.jpg|오른쪽|프레임없음|400x400픽셀]]
n이 3의 배수일 때 3개의 h씩 묶어 면적을 계산하여 다음 식으로 전체 면적을 구할 수도 있다. n이 3의 배수가 아니면, 2법칙을 적용하고 남는 구간은 심프슨 1법칙으로 계산해서 더한다.
:<math>\frac{3}{8}h [f(x_0) + f(x_n) + 2\Sigma f(x_{\text{3의  배 수 }}) + 3\Sigma f(x_{\text{남 은  수 }}) ]</math>

== 좌표를 이용해 면적계산 ==
꼭짓점의 좌표가 차례로 <math>(2,4), (3,-8), (1,2)</math>인 삼각형을 생각하자. 각 꼭짓점의 좌푯값을 <math>(2,4)</math>에서부터 시작해 차례대로 적고, 그 아래에 다시 <math>(2,4)</math>를 적어 행렬의 꼴로 나타내면 다음과 같다.

:: <math> \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & -8 \\ 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}</math>

우선 왼쪽 위에서 오른쪽 바로 한 칸 아래로 직선을 그으면 아래와 같이 된다.
:[[파일:ShoelaceMatrix2.GIF]]
이때 선으로 연결된 두 숫자를 곱해서 모두 더하면, <math>2\times(-8)+3\times2+1\times4=-6</math>이다. 또, 오른쪽 위에서 왼쪽 바로 한 칸 아래로 직선을 그어 연결하면 아래와 같아진다.
:[[파일:ShoelaceMatrix3.GIF]]
마찬가지로 이어진 두 수를 곱해 모두 더한 값은 <math>4\times3+(-8)\times1+2\times2=8</math>이다. 여기서 두 값의 차의 절댓값에 <math>\frac{1}{2}</math>을 곱하면 <math>\frac{1}{2}\left| -6-8 \right|=7</math>이므로 이 삼각형의 넓이는 7이다.

== 단면법을 이용한 체적측량 ==
양단면 면적차가 심할 때 산출된 토량의 대소관계 : 양단면 평균법(과대) > 각주공식(정확) > 중앙단면법(과소)

=== 각주공식 ===
[[파일:각주공식.png|오른쪽|370x370픽셀]]

심프슨 1법칙 이용한 것. 가장 정확.

<math>\begin{align} V_0 & = \frac{1}{3} \frac{h}{2} (A_1 + 4A_m + A_2) \\
                  & = \frac{h}{6} (A_1 + 4A_m + A_2) \\ \end{align}</math>

=== 양단면 평균법 ===
<math>V_0 = h \frac{A_1 + A_2}{2}</math>

=== 중앙 단면법 ===
<math>V_0 = A_m \cdot h</math>

== 점고법에 의한 체적측량 ==

=== 사각주법 ===
사각형 하나의 면적 A라 할 때

<math>V = \frac{A}{4} \left( \sum h_1 + 2\sum h_2 + 3\sum h_3 + 4\sum h_4 \right)</math>

=== 삼각주법 ===
<math>V = \frac{A}{3} \left( \sum h_1 + 2\sum h_2 + 3\sum h_3 + 4\sum h_4 + \cdots + 8\sum h_8 \right)</math>

표준고 = <math>\frac{V}{nA}</math>

== 등고선법에 의한 체적측량 ==
[[파일:Courbe niveau1.svg|오른쪽|400픽셀]]
등고선을 이용해 체적을 구할 수 있다. 등고선법은 각주공식, 추대공식, 양단면 평균법으로 나눈다.

=== 각주공식 ===
n은 짝수. 홀수일 경우는 짝수까지만 하고 남는 체적은 양단면 평균법으로 구해서 더함.
:<math>V = \frac{h}{3}(A_0 + A_n + 4\Sigma A_{\text{홀 수}} + 2\Sigma A_{\text{짝 수}})</math>

=== 추대공식 ===
:<math>V = {\color{red} \frac{h}{3} }(A_0 + A_n + {\color{red} 2\sum_{i=1}^{n-1} A_i } + \sum_{i=1}^{\color{red} n} \sqrt{A_{i-1} A_i})</math>

=== 양단면 평균법 ===
:<math>\begin{align} V & = \frac{h}{ {\color{red}2 }}(A_0 + A_n + 2\sum_{i=1}^{ {\color{red} n-1 } } A_i) \\
                & = h \left( \frac{A_0 + A_n}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} A_i \right) \\ \end{align}</math>