미적분에 대한 쉬운 이해 문서 원본 보기


==미분은 변화의 척수이다==
"어떤 현상에서든, 부분은 전체를 포함한다." 라는 생각에서 출발하였다.

[[File:미분의 개념.PNG|thumb|미분의 개념]]

예를 들어, 어떤 함수의 그래프를 분석할 때 그래프의 일부분을 조사함으로써 전체에 대한 성질을 파악하는 것이 가능하다. 어떤 그래프가 전체의 1/3 만큼 그려졌다고 생각해보자. 이때 우리는 이 불완전한 그래프를 미분함으로써 그래프 전체의 경향성을 파악할 수 있고, 이 경향성을 바탕으로 그래프 나머지 부분을 대강이나마 완성할 수 있다. 즉, 미분은 '사물이 어떻게 변화하는지 계산하는 수학적 도구'인 것이다.


미적분은 수학의 "꽃" 이다

== 미분법의 탄생 ==
[[File:곡선의 기울기.PNG|thumb|곡선의 접선]]

미분법은 "접선의 기울기는 무엇인가?"라는 질문에서 시작하였다. 접선의 기울기를 구하는 방법에는 여러 가지가 있지만, 여기서는 뉴턴의 방법을 소개한다. 

</br>'''뉴턴의 아이디어(Newton's Idea)'''
</br>  어떤 궤적은 점이 시간에 따라 움직이면서 남긴 흔적으로 이해할 수 있다. 궤적 상에서 어떤 시각에서의 점을 하나 찍고, 매우 짧은 시간이 지난후에 점을 하나 더 찍은 뒤 두 점을 선으로 이으면 그 선의 기울기는 접선의 기울기가 될 것이다. 즉, 

[[File:미분의 정의.PNG|thumb|미분의 정의]]


:<math> T_1 (x, y) \longrightarrow T_2(x+v_x\Delta t , y+v_y\Delta t)</math>     (<math>\Delta t</math> : 아주 작은 시간차, <math>v_x</math> : <math>x</math>의 변화율, <math>v_y</math> : <math>y</math>의 변화율)

:<math> (1) v_y\Delta t /v_x\Delta  t = v_y/v_x </math>
:<math> (2) f(x+v_x\Delta t) = y+v_y\Delta t </math>

</br>으로 <math>v_y/v_x</math>를 구할 수 있다. 하지만 접선의 기울기를 구하기 위해 이와 같은 미분을 반복하는 것은 수고로운 일이었다. 이후 뉴턴은 여러 식을 미분해본 결과 한 가지 규칙을 발견했는데, 다항함수의 미분은 원래의 함수(원시함수라고도 한다)의 차수에서 1을 뺀 뒤 원래의 차수를 계수에 곱함으로써 얻어진다는 것이었다. 뉴턴은 이 법칙을 공식화하였으며, 시간이 흘러 오늘날에는 미분함수를 정형화된 규칙에 의거해 계산하고 있다.

== 미분·적분의 의미와 기능 ==

미분과 적분은 그래프의 특징을 나타내는 지표이다.

[[File:미분시 강조.PNG|thumb|미분시 그래프 특징 강조]]


'''미분'''
</br>미분은 어떤 그래프에서의 세세한 변동을 살펴보고자 할 때 이용된다.
</br>미분은 짧은 파장을 더 짧게, 긴 파장을 더 길게 만들어 특징을 부각시킨다. 

[[File:적분시.PNG|thumb|적분시 특징 강조]]
'''적분'''
</br>적분은 어떤 현상이 미치는 효과를 계속 누적해가는 방법으로서, 그 현상의 장기적인 영향을 파악하는 데 사용될 수 있다.
</br>과학자들은 그래프의 변동 가운데 느린 변동을 보고자 한때는 이 데이터를 적분한다. 
</br>적분은 파장이 짧은 파형은 작아지고, 파장이 긴 파형이 강조된다.

==미분, 적분의 활용 ==

(1) 미분의 기능과 그 과정

- 생활 속 현상관찰(1)

공을 던졌더니 운동에너지와 위치에너지의 합이 같다. 즉, 역학적 에너지가 보존된다.


- 수식화(1)

 1/2mv^2 + mgh = k(상수) [공을 던졌더니 역학적 에너지가 보존되었다]


- 미분으로 엑기스 추출(1)

 mvdv/dt + mgv = 0 [위 식을 시간(t)로 미분]

 mdv/dt = -mg [정리]




- 생활 속 현상관찰(2)

공을 떨어뜨렸더니 속도의 가속도는 일정하다.


- 수식화(2)

  v = -gt + v(1)[가속도는 일정하다]


- 미분으로 엑기스 추출(2)

  dv/dt = -g   [위 식을 시간(t)로 미분]
  mdv/dt = -mg [정리]


두 가지 다른 현상을 관찰하고 수식으로 만들어 냈다. 그러나 미분을 해본결과 알게 된 과학적 사실은 일치한다. 이런 원리 또한 미분의 가정(부분은 전체를 포함한다)에 부합하는 것이다. 어느 부분을 관찰하고 미분하든 전체에 대한 성질은 같게 나오기 때문이다.

적분도 이와 같은 원리로 생각할 수 있다. 적분은 반대로 추가적인 정보를 제공한다. 이때, 추가되는 정보가 질량과 속도에 관한 것으로 국한시키기 위해  의 양변에 av를 곱한 다음 t에 대해 적분하면 mv^4/8 + mg^2h^2/2 = kas가 나온다.
적분을 할수록 더 고차원적인 개념에 대한 정보가 나오기에 이를 아직 해석할 순 없다. 즉, h를 적분했을 시 1/2h^2으로 표현하지 않고 h를 t에 대해 적분한 어떠한 t에 대한 3차식을 나타낼 수 있는 한 가지 문자로 표현했을 시에야 비로소 새로운 정보를 해독할 수 있게 되는 것이다.

[[분류:수학]]