부정정 문서 원본 보기

목차 : [[구조역학]]

== 장단점 ==
* 장점
** 재료 절약
** 구조적 안정성
** 큰 강성, 작은 처짐
** 조형미

* 단점
** 2차 응력 : 지점 침하, 온도 변화
** 해석 및 설계의 어려움

== 부정정 차수 ==
평면 트러스 부정정 차수 N = m + r - 2j
:m : 부재 수
:r : 반력 수
:j : 절점 수

평면 프레임 부정정 차수 N = 3m + r - 3j

'''예제'''

[[File:Statically Indeterminate Beam.svg|left|400픽셀]]

<math>\begin{align} N & = 3m + r - 3j \\ 
                      & = 3 \times 2 + 4 - 3 \times 3 \\
                      & = 1 \end{align}</math>

{{-}}

== 부정정 구조의 해석 ==
=== 응력법 ===
# 부정정력 선택
# 기본구조
# 적합조건식 구성
# 중첩

==== 예제1 ====

토목기사에도 나옴(07-2, 10-3, 14-2)

[[File:부정정보1.png|왼쪽|500픽셀]]

{{-}}

X = V<sub>B</sub>로 부정정력을 선택, 기본구조를 그리면

[[File:부정정보2.png|왼쪽|500픽셀]]

[[File:부정정보3.png|왼쪽|500픽셀]]

{{-}}

적합조건식은

<math>\Delta_B + V_B \Delta_{bb} = 0</math>

<math>\therefore V_B = - \frac{\Delta_B}{\Delta_{bb}}</math>

==== 예제2  ====

2경간 연속보

[[File:2경간 연속보1.png|왼쪽|500픽셀]]

{{-}}

부정정력을 X = M<sub>B</sub>로 선택하는 경우 기본구조는

[[File:2경간 연속보2.png|왼쪽|500픽셀]]

{{-}}

여기서 <math>\theta_B = \frac{\Delta_B}{L} + \frac{\Delta_B - \Delta_C}{L}</math>

[[File:2경간 연속보3.png|왼쪽|500픽셀]]

{{-}}

적합조건식은
:<math>\theta_B + M_B \theta_{bb} = 0</math>
:<math>\therefore M_B = - \frac{\theta_B}{\theta_{bb}}</math>

==== 예제3 ====

예제 2의 2경간 연속보에서 

[[File:2경간 연속보1.png|왼쪽|500픽셀]]

{{-}}

부정정력을 X = V<sub>B</sub>로 선택하는 경우 기본구조

[[File:2경간 연속보4.png|왼쪽|500픽셀]]

{{-}}

적합조건식 <math>\Delta_B = \frac{\Delta_C}{2} + V_B \Delta_{bb}</math>

Δ<sub>bb</sub>를 구하기 위하여

[[File:2경간 연속보5.png|왼쪽|500픽셀]]

{{-}}

<math>\therefore V_B = \frac{1}{\Delta_{bb}} \left( \Delta_B - \frac{\Delta_C}{2} \right)</math>

== 부정정 트러스의 해석 ==
=== 외적 부정정 트러스 ===
풀이 과정이 부정정 보 해석 + 트러스 처짐 계산 할 줄 알면 된다. 이 과정들의 조합임.

마지막에 원래 구조 부재력 구할 때 반력 이용해서 트러스 부재력 직접 계산해도 되고, 표 이용해서 계산해도 됨.
:F = F' + V<sub>1</sub> p

=== 내적 부정정 트러스 ===
# 하나의 <u>부재력을 부정정력으로 선택</u>
# 기본구조
# 단위부재력을 가지는 가상구조에서 <u>{{형광펜|pink|단면법}} 등을 이용해 부재력 계산</u>. 나 단면법 많이 틀리니까 단면법 연습 더 해야돼!
# 적합조건식 적용

혹시 모르니 연습해볼 것.

* 주의 : 기본구조 만들었을 때 <u>제외한 부재</u>는 <u>마지막에 표 계산할 때</u> 빼먹지 말고 다시 넣어줘야함!!! <u>보에서의 경우랑 헷갈리지 않게 조심</u>. 내적 부정정 트러스 해석에서 단위부재력 재하하는 경우에는 <u>부재를 없애지 않는다</u>!

=== 다차 부정정 트러스 ===
다차 부정정 트러스를 풀다보면 일차 외적 부정정 트러스 해석과정도 헷갈리네. 특히 변위량 구할 때. 잘 구분하기.

근데 기말고사에 이 문제를 낼 것 같진 않다... 하나 푸는 데 4시간 정도 걸림....

[[File:다차 부정정 트러스.png|700px]]

풀이 과정 요약만 하면,
# D점 반력, BG부재력을 부정정력으로 하여 기본구조. 부재력 계산
# D점에 단위하중 재하 가상계(BG부재는 없는 상태). 부재력 계산
# BG 부재에 단위부재력 재하 가상계(BG부재는 있는 상태). 부재력 계산
# 적합조건식 이용, D점 반력, BG 부재력 계산.

적합조건식
:<math>\Delta_D + \Delta_{DD} D_y + \Delta_{D, BG} F_{BG} = 0</math>
:<math>\Delta_{BG} + \Delta_{BG, D} D_y + \Delta_{BG, BG} F_{BG} = 0</math>

::<math>\Delta_D = \sum \frac{\overline{p_D} F L}{EA}</math>
::<math>\Delta_{DD} = \sum \frac{ \overline{p_D}^2 L }{EA}</math>
::<math>\Delta_{D, BG} = \sum \frac{ \overline{p_D} \cdot \overline{p_{BG}} L}{EA}</math>
::<math>\Delta_{BG} = \sum \frac{\overline{p_{BG}} FL }{EA}</math>
::<math>\Delta_{BG, D} = \sum \frac{\overline{p_D} \cdot \overline{p_{BG}} L}{EA}</math>
::<math>\Delta_{BG, BG} = \sum \frac{\overline{p_{BG}}^2 L}{EA}</math>

원 구조 부재력 계산
:<math>F = F' + \overline{p_D} D_y + \overline{p_{BG}} F_{BG}</math>

=== 온도변화가 있는 트러스 ===
외부하중 없고, 상현재만 온도 변화 있는 경우.

계산 절차
# 지점 부정정력 X 선택. 외부하중 없으니 일단 F'은 생략
# 해당 지점에 단위하중 재하. <math>\sum \frac{\mu^2 L}{AE}</math> 계산
# 온도변화가 있는 부재만 <math>\Delta L = \Delta t \cdot \alpha \cdot L \left( = \frac{F' L}{AE} \right) , \quad \mu \Delta L \left( = \frac{F' \mu L}{AE} \right) </math> 계산.
# <math>\Delta_B + X \Delta_{bb} = 0</math> 이용해 X 계산.
# 나머지 부재력 계산.

== 최소일의 원리 ==
* 변위일치법과 근본적으로 유사
* 트러스나 합성구조물 해석에 효과적
* 온도변화, 지점침하, 제작오차 등으로 인한 응력 해석엔 적용 불가.
* 연속보나 골조해석엔 계산량 많아 부적합.
* 오늘날에는 모멘트 분배법, 컴퓨터 계산이 더 많이 활용됨

<u>연습 더 하기!!</u>

카스틸리아노의 2정리
:<math>\Delta = \frac{\partial U}{\partial P}</math>

=== 휨 부재에서 ===
:<math>U = \frac{1}{2} \int \frac{M^2}{EI} dx</math>
:<math>\begin{align} \Delta & = \frac{\partial U}{\partial M} \frac{\partial M}{\partial P} \\
                            & = \int \frac{M}{EI} \left( \frac{\partial M}{\partial P} \right) dx \\ \end{align}</math>

==== 보 예제 ====
[[File:부정정보 최소일의 원리1.jpg|600픽셀]]

[[File:부정정보 최소일의 원리2.jpg|900픽셀]]

[[File:부정정보 최소일의 원리3.jpg|400픽셀]]

=== 트러스에서 ===
트러스의 변형에너지
:<math>U = \sum \frac{F^2 L}{2AE}</math>

최소일의 원리 적용
:<math>\frac{\partial U}{\partial T} = \sum \left( \frac{\partial F}{\partial T} \right) \frac{FL}{AE} = 0</math>

==== 예제1 ====
[[File:카스틸리아노의 정리 실수3.jpg|600픽셀]]

이런 경우는 부재력을 T로 놓고 풀었고...

==== 트러스 교량 예제 ====
[[File:트러스 최소일의 원리1.png|600px]]

<u>어렵네. 다시 풀었을 때 못 풀었음.</u>

이런 경우는
# 중앙 지점 제거 후 부재력 F' 계산
# 하중 전부 제거, 중앙 지점 추가 후 부재력을 지점반력으로 표현.
# 위 두 경우 부재력을 합친 게 F다.
# <math>\frac{\partial U}{\partial V_B} = \sum \left( \frac{\partial F}{\partial V_B} \right) \frac{FL}{AE} = 0</math>

전체적으로 보면 보에서 최소일의 원리 적용하듯이 지점반력으로 부재력을 표현한 뒤에, <math>\frac{\partial U}{\partial V_B} = \sum \left( \frac{\partial F}{\partial V_B} \right) \frac{FL}{AE} = 0</math>를 계산해주는 것이다.

=== 보, 케이블 같이 있을 때 ===
[[File:케이블, 보 카스틸리아노의 정리1.png|오른쪽|500픽셀]]

<math>\frac{\partial U}{\partial T} = \sum \frac{\partial F}{\partial T} \frac{FL}{EA}
                                      + \sum \int \frac{\partial M}{\partial T} \frac{M}{EI}dx = 0</math>

==== 예제 ====
[[File:합성구조 트러스1.png|500픽셀]]

BD의 부재력 T로 놓고

전체를 트러스로 보고 부재력 구해서 계산 한번,

ABC를 보로 보고 모멘트 구해서 계산 한번.

[[File:합성구조 트러스2.jpg|500px]]

두 개 합쳐서 다음 식으로 T 구함.
:<math>\frac{\partial U}{\partial T} = \sum \frac{\partial F}{\partial T} \frac{FL}{EA}
                                      + \sum \int \frac{\partial M}{\partial T} \frac{M}{EI}dx = 0</math>