상하수도 공학/관수로 수리학 문서 원본 보기

== 베르누이 방정식 ==
♣♣♣

<math>\begin{align} E & = \rho g z_1 + p_1 + \frac{\rho {V_1}^2}{2} = \rho g z_2 + p_2 + \frac{\rho {V_2}^2}{2} \\
                & = \text{위 치 압 력  + 정 압 력  + 동 압 력 (동 수 압 )} \\
                & = \text{위 치 압 력  + 정 체 압 력 } \end{align}</math>

♣♣♣ 

<math>\begin{align} \text{전 수 두 } & = z_1 + \frac{p_1}{\gamma} + \frac{{V_1}^2}{2g} = z_2 + \frac{p_2}{\gamma} + \frac{{V_2}^2}{2g} \\
                               & = \text{위 치 수 두  + 압 력 수 두  + 속 도 수 두 } \\ \end{align}</math>

* 각 항은 길이의 차원. 단위중량 당 에너지를 의미.

=== 에너지경사, 동수경사 ===
[[파일:HGL and EGL.png|오른쪽|프레임없음|716x716픽셀]]

*에너지선, 동수경사선의 차이는 일반적으로 <math>\frac{V^2}{2g}</math> (속도수두만큼)
* 에너지선은 흐름이 일어나도 에너지 손실이 없다면 수평을 유지.

=== 확장형 베르누이 방정식 ===
<math>z_1 + \frac{p_1}{\gamma} + \frac{{V_1}^2}{2g} + E_p = z_2 + \frac{p_2}{\gamma} + \frac{{V_2}^2}{2g} + E_T + h_L</math>

:E<sub>p</sub> : 유체의 단위중량에 대해 펌프가 해준 일[L]
:E<sub>T</sub> : 단위중량의 유체가 터빈에 해준 일[L]
:h<sub>L</sub> : 손실 수두

----
; 1.
[[파일:베르누이 정리1.png|오른쪽|300픽셀]]
수면이 변하지 않고, 손실수두가 <math>\frac{3V^2}{2g}</math>일 때 관을 통한 유량은?
----
; 풀이
베르누이 정리에서 <math>\frac{{V_0}^2}{2g} + \left( 6+ \frac{0.1}{2} \right) = \frac{V^2}{2g} + 0 + \frac{3V^2}{2g}</math>

V<sub>0</sub> = 0

<math>V = \sqrt{\frac{6.05 \times g}{2}} = 5.45m/s</math>

Q = AV = <math>\frac{\pi \times 0.1^2}{4} \times 5.45m/s = 0.043m^3/s</math>

== 관수로 유속, 전단응력 ==
자세한 유도 과정 : [[w:관수로#관수로의 층류 흐름]]

하겐 - 푸아죄유의 법칙

관수로에 층류가 흐를 때 

관벽 마찰응력 : '''마찰응력분포는 직선식'''

<math>\tau_0 = \frac{\gamma_w h_L}{2l}r = \frac{\Delta P}{2l}r</math>

유속 : '''유속분포는 포물선'''

<math>u=\frac{\gamma h_L}{4\mu l}R^2\left( 1-\frac{r^2}{R^2}\right)</math>

최대유속은 평균유속의 2배 <math>u_{max} = 2V_m</math>

유량 : 이차방정식을 적분하는 과정에서 분모에 8이 되는 것임.

<math>{\color{red} Q = \frac{\pi \gamma_w h_L}{8 \mu l} r^4 }</math>

'''1.'''

지름이 4cm인 원관 속에 섭씨 20도의 물이 흐른다. 관로 길이 1m 구간에서 압력강하가 0.1g/cm<sup>2</sup>이었을 때 관벽의 마찰응력은?
----
<math>\tau_0 = \frac{\Delta P}{2l} \cdot r = \frac{0.1 g/cm^2}{2 \times 100cm} \times 2cm = 0.001 g/cm^2</math>

== 마찰 손실 수두 ==
Darcy-Weisbach 공식

♣♣♣

<math>h_L = f \frac{l}{D} \frac{V^2}{2g}</math>

=== 마찰손실계수 ===
암기. 뭐에 영향받는지 물어봄

* 층류 : <math>f = \frac{64}{Re}</math>
* 난류
** 매끈한 관, 거친 관에 따라 다름.
** 매끈한 관은 레이놀즈 수만의 함수.
** 거친관은 상대조도만의 함수

== 소손실 ==
♣♣

<math>h_m = f_m \cdot \frac{V^2}{2g}</math>
* f<sub>m</sub> : 손실 계수

입구손실 f<sub>e</sub> = 0.5

출구손실 f<sub>o</sub> = 1.0

문제에 안 써있다고 <u>입구, 출구손실 깜빡하고</u> 계산 안 하면 안 됨!!!!!!!!

== 유속 경험식 ==
=== Manning 공식 ===
조도계수는 줌.

n은 조도 계수, R은 경심, I는 동수 경사라 할 때

<math>V=\frac{1}{n}R^{\frac{2}{3}}I^{\frac{1}{2}}</math>

* <math>f=\frac{12.7gn^2}{D^{\frac{1}{3}}}=\frac{124.6n^2}{D^{\frac{1}{3}}} (m\cdot sec)</math>

=== Chezy 공식 ===
개수로, 관수로에 사용. 

<math>V=C\sqrt{RI}</math> 

* C는 평균 유속 계수. <math>C=\frac{1}{n}R^{\frac{1}{6}}=\sqrt{\frac{8g}{f}}</math> 
* g는 중력가속도
* f는 마찰 손실 계수

=== Hazen-Williams 공식 ===
관 직경 결정하는 문제
[[파일:관로 직경 결정1.png|오른쪽|프레임없음|600x600픽셀]]
유량 2.315m<sup>3</sup>/s를 운반하는 송수관을 매설한다. AC 관 길이 10km, CB 관 길이 5km, 정수지와 배수지 수위차 15m, C점과 배수지 수위차 8m일 때 C점에 부압이 되지 않도록 관경을 결정하라. Hazen-Williams 유속계수 C = 120이며, 유속은 다음과 같다.

<math>V = 0.84935 C R^{0.63} I^{0.54}</math>
----AC, CB 같은 관경인 D = 1.5m로 계산해보면

<math>\frac{2.315}{\frac{\pi}{4} \times 1.5^2} = 0.84935 \times 120 \times \left( \frac{1.5}{4} \right)^{0.63} \times I^{0.54}</math>

<math>I = 9.96 \times 10^{-4}</math>

<math>h = 15000m \times 9.96 \times 10^{-4} = 14.94m</math>

C점에서 압력을 확인하기 위해, C에서 B로 갈 때 수두손실을 계산해본다.

5000m갈 때 동수경사 <math>I = 9.96 \times 10^{-4}</math>이므로

<math>h = 5000m \times 9.96 \times 10^{-4} = 4.98m</math>

이는 원래 8m만큼 손실이 생겨야되는데 3.02m만큼 모자란 값이다.
[[파일:관로 직경 결정2.png|왼쪽|프레임없음|800픽셀]]

{{-}}

동수경사선을 보면 C점의 위치수두 8m보다 아래쪽에 있다. 압력수두는 따라서 - 값이므로 부압이 생겨버린다.

h를 키우려면 동수경사가 커져야 하고, 동수경사를 키우기 위해서는 관경을 작게 해주면 된다.(동수경사의 정의, 평균유속공식에서 확인 가능)

CB의 관경 D = 1.3m로 해보자.

<math>\frac{2.315}{\frac{\pi}{4} \times 1.3^2} = 0.84935 \times 120 \times \left( \frac{1.3}{4} \right)^{0.63} \times I^{0.54}</math>

<math>I = 0.002 = \frac hL = \frac{h}{5000m}</math>

<math>\therefore h = 10m</math>

즉 C에서 동수경사선은 B로부터 10m 위에 있다. 동수경사는 위치수두와 압력수두의 합인데, 압력수두가 + 임을 확인 가능하다. C에서의 부압문제는 해결되었다.

AC에서의 손실수두는 15 - 10 = 5m로 해주면 된다. 동수경사를 계산하면

<math>I = \frac{h}{L} = \frac{5m}{10000m} = 0.0005</math>로 하면 좋다.

관경을 1.8m로 하면

<math>I = 4.1 \times 10^{-4}</math>

<math>\begin{align} \therefore h = L I & = 10000m \times 4.1 \times 10^{-4} \\
                                 & = 4.1m \\ \end{align}</math>

전 손실은 10 + 4.1 = 14.1m로 15m 이하이므로 흐름이 발생한다.(동수경사로도 생각해보면 됨. 정수지 수면에서 동수경사선이 15m에 있음(배수지 수면을 기준면으로 할 때). A점은 15m보다 낮아야 흐름이 발생한다)

== 원관 수압 ==
[[파일:Stress cylindrical vessel 1.jpg|300픽셀|왼쪽]]

<math>p D = \sigma_{ta} \cdot 2t</math>
:p: 수압
:σ<sub>ta</sub>: 허용 인장 응력
:t: 강관 두께
{{-}}

== 사이펀 ==
관의 일부가 동수경사선보다 위에 있는 관수로.

두 수조 수위가 같아질 때까지 대기압이 작용하여 물이 이동함.

== 역사이펀 ==
관거가 하천, 철도, 지하매설물 하부 등을 횡단하는 경우 상, 하류 관거보다 낮은 곳에 설치한 관. 사이펀을 거꾸로 한 형태라 역사이펀(inverted siphon)이라 함.

역사이펀 손실수두

<math>h = iL {\color{red} + 1.5 } \frac{V^2}{2g} + \alpha</math>

* i : 관거 내 유속에 대한 동수경사
* L : 역사이펀 관거 길이
* <nowiki>α : 여유율[L]</nowiki>

== 수격작용 ==

수격작용 결과
[[파일:Plein de bulles entier grand.gif|섬네일|압력이 낮아지면서 공기방울이 생기면서 프로펠러 표면에 충격을 준다]]
* 압력상승으로 인한 관로, 밸브, 펌프 파괴
* 역류에 의해 펌프, 원동기 파손
* 압력저하가 큰 경우 수주분리가 일어나고, 재결합에 의해 이상고압이 일어나 관로 파괴
* 압력 저하에 의한 관 압궤
*<u>관 진동</u>으로 인한 <u>이음 탈락</u>

대책
[[파일:Маховик.jpg|섬네일|플라이휠. 펌프에 달린 건 아니고 스팀엔진에 달린 거임. 박물관 사진.]]
* 펌프에 플라이 휠 부착
* 토출관 쪽에 압력조절수조(조압수조, surge tank) 설치
* 토출측 관로에 안전밸브, 공기밸브 설치
* air vessel(공기실)

== 관망해석 ==
♣♣♣ 아주 중요!! 소수점 왕창 전부다 쓰자. 안전빵으로. 안 그러면 절점에서 유입, 유출유량 합이 0 안 나오더라고...ㅠㅠㅠ

=== 관망 해석의 조건 ===
관망 해석의 조건은 세 가지가 있다.
# 폐회로를 따라 한쪽 방향으로 측정한 손실 수두의 합은 0이어야 한다.<math>(\Sigma h_L = 0)</math> 이때 측정 방향과 흐름 방향이 일치한다면 h<sub>L</sub>>0, 반대라면 h<sub>L</sub><0으로 나타낸다.
# 한 절점에서 유입 유량과 유출 유량은 같아야 한다.(연속방정식)
# 각각의 관에 대해 수두손실과 유량은 적당한 함수 관계가 유지되어야 한다.

=== 유량과 손실수두의 관계 ===
손실수두 h<sub>L</sub>과 유량 Q의 관계는 Darcy-Weisbach 공식과 관수로의 평균 유속 경험식에 의해 일반적으로 다음과 같다.
:<math>\begin{align} h_L & = f\frac{l}{d}\frac{V^2}{2g} \\
                  & = f\frac{l}{d}\frac{1}{2g} \left( \frac{4Q}{\pi d^2}\right) ^2 \\
                  & = k_1 Q^2 \end{align}</math>
:<math>h_L = kQ^n</math>
k는 관의 제원에 의해 결정되는 값이고 n은 Darcy-Weisbach 공식과 Manning 공식 사용 시에는 n=2, Hazen-Williams 공식 적용시에는 n=1.85를 쓴다.

=== 유량 계산 ===
관망의 유량 계산은 하디 크로스법을 사용한다. 한개의 폐회로에 대해서 유량이 흐르는 경우 손실수두 합은 다음 식으로 나타낼 수 있다.
:<math>\Delta Q = -\frac{\Sigma kQ'^n}{\Sigma knQ'^{n-1}}</math>
여기서 Q'은 실제 유량 Q에 대한 가정 유량이다.<math>(Q=Q' + \Delta Q)</math> 이 식을 기본으로 하여 가정유량을 축차보정함으로써 실제 유량을 근사적으로 구하는 것이 하디 크로스법이다. 절차는 다음과 같다.
# '관망 해석의 조건' 2번을 만족하도록 각각의 관에 흐르는 유량 Q'을 가정한다.
# n, k값을 결정한다. 각 관에 대하여, 가정 유량 Q'에 대한 손실수두 h<sub>L</sub>' 즉, <math>kQ'^n, knQ'^{n-1}</math>을 계산한다. 이때 <math>kQ'^n</math>은 <u>음수가 될 수 있다</u>!(흐름방향과 측정방향이 일치하면 양, 아니면 음)  <math>knQ'^{n-1}</math>은 <u>무조건 양수</u>다!
# 각각의 폐회로에 대해 <math>\Sigma h_L'(=\Sigma kQ'^n), \Sigma knQ'^{n-1}</math>을 계산한다.
# 3번의 결과를 이용하여 <math>\Delta Q</math>를 구한다. 이 값이 0이 아닌 경우 Q'(<u>양수값. 스칼라양인 듯?</u>)에 <math>\Delta Q</math>를 더하거나 빼서 1차 수정 유량을 정한다. 가정 유량의 방향이 시계방향이면 보정유량을 더해주고, 반시계방향이라면 보정유량을 빼주면 1차 수정 유량을 구할 수 있다. 2개 회로 모두에 속하는 관에 대해서는 이중으로 보정해준다.
# 다시 2번 과정으로 돌아가서 <math>\Delta Q</math>가 어느정도 허용한도 내에 들어올 때까지 계산을 반복한다.