수치해석/테일러 급수 문서 원본 보기

== 1번 ==
<math>f(x) = x^2 e^x</math>의 매클로린 급수는?
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<math>f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + \frac{f^{(n+1) } (\xi)}{(n+1)!} x^{n+1}</math>

<math>f(x) = x^2 e^x</math>

<math>f'(x) = (2x + x^2) e^x</math>

<math>f''(x) = (2 + 4x + x^2)e^x</math>

<math>f^{(3)}(x) = (6 + 6x + x^2)e^x</math>

<math>f^{(4)}(x) = (12 + 8x + x^2)e^x</math>

…
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<math>f(0) =0</math>

<math>f'(0) = 0</math>

<math>f''(0) = 2</math>

<math>f^{(3)}(0) = 6</math>

<math>f^{(4)}(0) = 12</math>

…
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<math>f^{(n+1)}(\xi) = (f^{(n+1)}(0) + f^{(n)}(0) \xi + \xi^2)e^\xi</math>

[[File:연습문제1.3-1.jpg|오른쪽|300픽셀]]

<math>a_k = 2 + b_i</math>

<math>b_i = 4 + 2i</math>

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<math>b_0 = 4 + 2 \times 0</math>

b<sub>1</sub> = 4 + 2 × 1

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a<sub>1</sub> = a<sub>0</sub> + (4 + 2 × 0)

a<sub>2</sub> = a<sub>0</sub> + (4 + 2 × 0) + (4 + 2 × 1)

…

<math>\begin{matrix}
a_k &=& 2 + \left( 4\times k + 2 \times \frac{k ( k-1)}{2} \right) \\
    &=& 2 + 3k + k^2
\end{matrix}</math>
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<math>f^{(k)}(0) = a_k = 2 + 3k + k^2</math>

<math>f^{(n+1)}(0) = a_{n+1} = 2 + 3(n+1) + (n+1)^2 = n^2 + 5n +6</math>

<math>f^{(n)}(0) = a_n = 2 + 3n + n^2</math>

[[File:연습문제1.3-1-2.jpg|500px]]

== 3번 ==
<math>f(x) = 2x + \frac{3}{x}</math>에 대해 [1, 3]에서 평균값 정리를 만족하는 모든 실수 c를 구하시오.

[[File:연습문제1.3-3-1.jpg|500px]]

== 5번 ==
[0, 1]에서 f(x) = 2e<sup>2x</sup> + 4x - 3이 최소 한개의 근을 가짐을 증명하시오.
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f(x)는 [0, 1]에서 연속이다.

f(0) = - 1, f(1) = 2e<sup>2</sup> + 1이므로 중간값 정리에 의해 f(c) = 0인 c가 (0, 1) 사이에 최소 한 개 존재한다.

== 7번 ==
x<sub>0</sub> = 0 에서 f(x) = ln (1 - x)의 테일러급수는?

[[File:연습문제1.3-7-1.jpg|500px]]

[[File:연습문제1.3-7-2.jpg|500px]]

== 15번 ==
[1/2, 1]구간에 속하는 x에 대해 x<sub>0</sub> = 3/4에서 <math>f(x) = \frac{1}{x}</math>에 대한 테일러 다항식의 오차가 10<sup>-2</sup> 또는 10<sup>-4</sup>보다 작아지기 위해서 얼마나 많은 항이 필요한지 각각 경우에 대해 항의 수를 구하시오.