에르미트 항등식 예제 문서 원본 보기

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에르미트 항등식에 관한 몇 가지 예제를 해결해 봅시다.
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== 예제 1 ==
실수 <math>x</math>에 대하여 다음 식이 성립할 때, <math>[100x]</math>의 값을 구하시오. (단, <math>[x]</math>는 <math>x</math>를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

<math>\left[x+\frac{19}{100}\right]+\left[x+\frac{20}{100}\right]+\cdots+\left[x+\frac{91}{100}\right]=546</math>
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==  예제 2  ==
<math>x</math>에 대한 방정식

<math>x[x]+183=[x]+\left[x+\frac{1}{n}\right]+\left[x+\frac{2}{n}\right]+\cdots+\left[x+\frac{n-1}{n}\right]+\left[x^2\right]</math>의 실근의 개수를 <math>f(n)</math>이라 할 때,

<math>f(1)+f(2)+f(3)</math>의 값을 구하시오. (단, <math>[x]</math>는 <math>x</math>를 넘지 않는 최대의 정수이다.)
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== 예제 풀이 ==
예제 풀이에 앞서 위와 같은 예제를 풀기 위해서는 에르미트 항등식에 대하여 알아야 한다.

그렇다면, 에르미트 항등식에 대하여 간단히 알아보도록 하자.

=== [[w:에르미트_항등식|에르미트 항등식]] ===

==== 정의 ====
임의의 실수 <math>x</math>와 양의 정수 <math>n</math>에 대하여 항상 성립하는 항등식으로, 이는 다음과 같다.

<math>\sum_{k=0}^{n-1}\left [ x+\frac{k}{n} \right ]=[x]+\left [x+ \frac{1}{n} \right ]+\left [x+ \frac{2}{n} \right ]+\cdots+\left [x+ \frac{n-1}{n} \right ]=[nx]</math>

(단, <math>[x]</math>는 [[w:가우스_기호|가우스 기호]]이다. 이는 <math>x</math>를 넘지 않는 최대의 정수이다.)
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=== 예제 1 ===
<math>\left[x+\frac{19}{100}\right]+\left[x+\frac{20}{100}\right]+\cdots+\left[x+\frac{91}{100}\right]=546</math>

위 식의 좌변은 <math>73</math>개의 항으로 이루어져 있다.

좌변 첫 번째 항부터 <math>i</math> 번째 항까지는 <math>7</math>의 값을,

(<math>i</math>+<math>1</math>) 번째 항부터 73번 째 항까지는 <math>8</math>의 값을 가진다고 가정하면,

<math>7\times i+8\times(73-i)=546</math>이 성립하므로, <math>i=38</math>임을 찾을 수 있다.

그러므로, <math>[x]=\left[x+\frac{1}{100}\right]=\left[x+\frac{2}{100}\right]=\cdots=\left[x+\frac{56}{100}\right]=7</math>,

<math>\left[x+\frac{57}{100}\right]=\left[x+\frac{58}{100}\right]=\left[x+\frac{59}{100}\right]=\cdots=\left[x+\frac{99}{100}\right]=8</math>이다.

따라서, <math>[100x]=7\times 57+8\times(100-57)=743</math>이다.
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=== 예제 2 ===
<math>x[x]+183=[x]+\left[x+\frac{1}{n}\right]+\left[x+\frac{2}{n}\right]+\cdots+\left[x+\frac{n-1}{n}\right]+\left[x^2\right]</math>

위 식을 에르미트 항등식에 의하여 정리해보면 다음과 같다.

<math>x[x]+183=[nx]+\left[x^2\right]</math>

여기서, <math>x=m+\alpha</math>라고 하자. (단, <math>m</math>은 정수, <math>0\leq\alpha<1</math>이다.)

준 식의 양변에 <math>x=m+\alpha</math>를 대입하여 정리해보면,

<math>nm+m\alpha+[n\alpha]=183</math>이 성립한다. (<math>m\alpha</math>는 정수)
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<math>1)</math> <math>n=1</math>일 때,

<math>m+m\alpha=183</math> 이를 <math>\alpha</math>에 대하여 정리하면,

<math>\alpha=\frac{183-m}{m}</math>이다. 이때, <math>0\leq\alpha<1</math>이므로,

<math>0\leq\frac{183-m}{m}<1</math>이고, 이를 <math>m</math>에 대하여 정리하면,

<math>\frac{183}{2}<m\leq183</math>이고, 이를 만족시키는 <math>m</math>의 개수는 <math>92</math>개 이므로,

<math>\therefore</math> <math>f(1)=92</math>
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<math>2)</math> <math>n=2</math>일 때,

<math>2m+m\alpha+[2\alpha]=183</math>

i) <math>0\leq\alpha<\frac{1}{2}</math>일 때, <math>\alpha=\frac{183-2m}{m}</math>이므로,

<math>0\leq\frac{183-2m}{m}<\frac{1}{2}</math>이고, 이를 <math>m</math>에 대하여 정리하면,

<math>\frac{2}{5}\cdot183<m\leq\frac{183}{2}</math>이고, 이를 만족시키는 <math>m</math>의 개수는 18개 이다.

ii) <math>\frac{1}{2}\leq\alpha<1</math>일 때, <math>\alpha=\frac{182-2m}{m}</math>이므로,

<math>\frac{1}{2}\leq\frac{182-2m}{m}<1</math>이고, 이를 <math>m</math>에 대하여 정리하면,

<math>\frac{182}{3}<m\leq\frac{2}{5}\cdot182</math>이고, 이를 만족시키는 <math>m</math>의 개수는 12개 이다.

<math>\therefore</math> <math>f(2)=18+12=30</math>
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<math>3)</math> <math>n=3</math>일 때,

<math>3m+m\alpha+[3\alpha]=183</math>

i) <math>0\leq\alpha<\frac{1}{3}</math>일 때, <math>\alpha=\frac{183-3m}{m}</math>이므로,

<math>0\leq\frac{183-3m}{m}<\frac{1}{3}</math>이고, 이를 <math>m</math>에 대하여 정리하면,

<math>\frac{3}{10}\cdot183<m\leq61</math>이고, 이를 만족시키는 <math>m</math>의 개수는 7개 이다.

ii) <math>\frac{1}{3}\leq\alpha<\frac{2}{3}</math>일 때, <math>\alpha=\frac{182-3m}{m}</math>이므로,

<math>\frac{1}{3}\leq\frac{182-3m}{m}<\frac{2}{3}</math>이고, 이를 <math>m</math>에 대하여 정리하면,

<math>\frac{3}{11}\cdot182<m\leq\frac{3}{10}\cdot182</math> 이고, 이를 만족시키는 <math>m</math>의 개수는 5개 이다.

iii) <math>\frac{2}{3}\leq\alpha<1</math>일 때, <math>\alpha=\frac{181-3m}{m}</math>이므로,

<math>\frac{2}{3}\leq\frac{181-3m}{m}<1</math>이고, 이를 <math>m</math>에 대하여 정리하면,

<math>\frac{181}{4}<m\leq\frac{3}{11}\cdot181</math>이고, 이를 만족시키는 <math>m</math>의 개수는 4개 이다.

<math>\therefore</math> <math>f(3)=7+5+4=16</math>

따라서, <math>f(1)+f(2)+f(3)=138</math>