응력-변형률 및 과잉간극수압 문서 원본 보기

목차 : [[토질역학]]

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지반에 초기하중 외에 외부에서의 추가하중이 작용할 때
* 물이 없을 때 : 모든 응력을 흙이 받음
* 물이 존재하나, 사질토 지반일 때 : 응력 증가량을 흙이 받음
* 물이 존재하고, 잘 빠져나가지 않을 때
** 물은 비압축성→부피변화 없어서 하중 받음. 응력 증가량을 수압으로 버틴다. 과잉간극수압 발생.

== 일축압축하중 ==
수평방향 응력증가는 없고 연직방향으로만 응력 증가가 있는 경우. 연직방향이 z라 할 때

[[File:일축압축하중 응력-변형률.png|left|500px]]

[[File:일축압축하중 응력경로.png|left|300px]]

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== 등방압밀하중 ==
연직방향 응력증가량 Δσ<sub>z</sub> = 수평방향 응력증가량 Δσ<sub>h</sub>인 경우 등방압밀하중 상태라 한다.

각 방향 변형률은
:<math>\epsilon_x = \frac{\Delta \sigma_x}{E} - \frac{\mu}{E} (\Delta \sigma_y + \Delta \sigma_z)</math>

:<math>\epsilon_y = \frac{\Delta \sigma_y}{E} - \frac{\mu}{E} (\Delta \sigma_x + \Delta \sigma_z)</math>

:<math>\epsilon_z = \frac{\Delta \sigma_z}{E} - \frac{\mu}{E} (\Delta \sigma_x + \Delta \sigma_y)</math>

체적변형률은
:<math>\begin{align} \epsilon_v & = \epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z \\
                                & = \frac{1-2\mu}{E} (\Delta \sigma_x + \Delta \sigma_y + \Delta \sigma_z) \\
                                & = \frac{3\Delta \sigma}{E} (1 - 2\mu) \end{align}</math>

[[File:등방압밀하중 응력-변형률.png|left|300px]]

[[File:등방압밀하중 응력경로.png|left|300px]]

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== 삼축압축하중 ==
등방압밀하중에 축차응력만큼의 일축압축하중을 더한 것.

* 축차응력(deviator stress) <math>\Delta \sigma_d = \Delta \sigma_1 - \Delta \sigma_3</math>

[[File:삼축압축하중.png|left|500px]]

[[File:삼축압축하중 응력경로.png|left|500px]]

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== 횡방향 구속 하의 축하중 ==
횡방향 변위는 절대 없게 하면서 연직방향 응력을 증가시키는 것. 실제 현장에선 무한 등분포 하중을 생각하면 된다. 깊이에 관계없이 응력 증가량이 일정.

암기
:<math>K_0 = \frac{\mu}{1 - \mu}</math>
::μ : 포아송비

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* 횡방향 구속하의 변형계수(constrained modulus) <math>D = \frac{\Delta \sigma_v}{\epsilon_v} = \frac{\Delta \sigma_z}{\epsilon_z}</math>
* 체적변형계수(coefficient of volume change) <math>m_v = \frac{1}{D} = \frac{\epsilon_v}{\Delta \sigma_v}</math>

[[File:횡방향 구속하의 축하중 응력-변형률 곡선.png|left|400px]]

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위 곡선에서 ε<sub>v</sub> 대신 e, Δσ<sub>v</sub>를 로그축에 그리면 다음처럼 직선이 나온다.

[[File:횡방향 구속하의 축하중 압축지수.png|left|400px]]

여기서 압축지수(compression index) <math>C_c = \frac{\Delta e}{\Delta (\log \sigma_v)} = - \frac{de}{d(\log \sigma_v)}</math>

압축계수(coefficient of compressibility) <math>a_v = \frac{\Delta e}{\Delta \sigma_v} = - \frac{de}{d \sigma_v}</math>

<math>m_v = \frac{a_v}{1 + e_0}</math>

<math>C_c = \frac{(1 + e_0) \sigma_v}{0.435D}</math>

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[[File:횡방향 구속하의 축하중 응력경로.png|left|400px]]

A점의 (p, q)값은 
:<math>\left( \frac{\Delta \sigma_v (1 + K_0)}{2}, \quad \frac{\Delta \sigma_v (1 - K_0)}{2} \right)</math>

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== 과잉간극수압 ==
=== 등방압밀하중의 경우 ===
[[File:등방압밀하중.png|left|200px]]

이때의 과잉간극수압 <math>u = B \Delta \sigma</math>
:B : Skempton의 과잉간극수압 B계수. 포화도 S에 따른 함수. S=0이면 B=0(완전건조된 흙은 수압이 있을 수 없다). S=1이면 B=1

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=== 일축압축하중의 경우 ===
[[File:일축압축하중.png|left|200px]]

이때의 과잉간극수압 <math>u = B A \Delta \sigma_1 </math>
:A : Skempton의 A계수. 체적 감소 시 +, 체적 증가 시 -
:D = B A

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=== 삼축압축하중의 경우 ===
[[File:삼축압축하중.png|left|500px]]

이때의 과잉간극수압은 등방압밀하중과 일축압축하중의 경우를 합친 것으로 생각한다.

Skempton의 과잉간극수압 공식(암기)
:<math>\begin{align} \Delta u & = B \Delta \sigma_3 + BA (\Delta \sigma_1 - \Delta \sigma_3 ) \\ 
                              & = B[{\color{Red} \Delta \sigma_3} + A (\Delta \sigma_1 - \Delta \sigma_3)] \\ \end{align}</math>

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==== 예제 ====
[[File:선하중에 의한 연직응력 증가.png|right|500px]]

q = 60kN/m, x = 5m, z = 5m일 때, 오른쪽 하단의 흙입자에 작용하는 과잉간극수압은? 물은 잘 빠져나가지 않으며, A = 0.65

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:<math>\Delta \sigma_z = \frac{2q z^3}{\pi (x^2 + z^2)^2}</math>
:<math>\Delta \sigma_x = \frac{2q x^2 z}{\pi (x^2 + z^2)^2}</math>
:<math>\Delta \tau_{xz} = \frac{2q x z^2}{\pi (x^2 + z^2)^2}</math>
:<math>\Delta \sigma_z = \Delta \sigma_x = \Delta \tau_{xz} = 1.909kN/m^2</math>

응력증가량을 주응력으로 착각하지 말 것. 주응력을 구해야 한다.

:<math>\begin{align} \sigma_1 & = \frac{\Delta \sigma_z + \Delta \sigma_x}{2} + \sqrt{\left( \frac{\Delta \sigma_z - \Delta \sigma_x}{2} \right)^2 + {\Delta \tau_{xz}}^2} \\
                              & = 1.910 + 1.910 \\
                              & = 3.82 kN/m^2 \end{align}</math>
:<math>\begin{align} \sigma_3 & = \frac{\Delta \sigma_z + \Delta \sigma_x}{2} - \sqrt{\left( \frac{\Delta \sigma_z - \Delta \sigma_x}{2} \right)^2 + {\Delta \tau_{xz}}^2} \\
                              & = 1.910 - 1.910 \\
                              & = 0 \end{align}</math>
:<math>\begin{align} \therefore \Delta u & = B[\Delta \sigma_3 + A(\Delta \sigma_1 - \Delta \sigma_3)] \\
                                         & = 0 + 0.65 \times 3.82 \\
                                         & = 2.483 kN/m^2\end{align}</math>

==== 09 기사 ====
[[파일:과잉간극수압 문제1.jpg|오른쪽|프레임없음|400x400픽셀]]지하수위가 지표면과 일치하는 연약지반 위에 양질의 흙으로 매립 성토하였다. 매립 끝난 후 매립 지표로부터 5m 깊이의 과잉간극수압은?
----<math>\Delta u = B[{\color{Red} \Delta \sigma_3} + A (\Delta \sigma_1 - \Delta \sigma_3)]</math>이용.

<math>\Delta \sigma_1 = 1.8 \times 5 = 9.0 t/m^2</math>

<math>\Delta \sigma_3 = K_0 \Delta \sigma_1 = 5.4t/m^2</math>

전부 대입하면

<math>\Delta u = 7.92 t/m^2</math>
{{-}}

=== 횡방향 구속하의 축하중의 경우 ===
[[File:횡방향 구속하의 축하중.png|300px|right]]

<math>\Delta u = C \Delta \sigma_1</math>
:C : 포화도에 따른 계수. 건조 시 0, 포화 시 1

등방압밀하중의 경우와 마찬가지로 횡방향 구속 하의 축하중 재하 시에도 응력 증가량은 모두 과잉간극수압 상승을 유발한다.