토목공학/응용역학/단면의 성질 문서 원본 보기

♣♣♣

<u>'''적분 기호 속에 들어가는 x, y는'''</u> y, x축으로부터 <u>'''미소요소의 도심'''</u>까지 수직거리이다!

== 단면 일차 모멘트 ==
♣♣♣

L<sup>3</sup>. 축의 위치에 따라 양의 값을 가질수도, 음의 값을 가질수도 있다. 도심을 지나는 축에 대한 단면 1차 모멘트는 0

=== 정의 ===
[[파일:Moment of area of an arbitrary shape.svg|right|200px]]

:<math>G_x=\int_A ydA=A\cdot \bar y</math>
:<math>G_y=\int_A xdA=A\cdot \bar x</math>

* <math>\bar x, \bar y</math> : 각각의 축에서부터 단면의 도심까지 거리

=== 도심 ===
♣♣♣ 15-3, 18-1 등등. 꼭 응용역학에서만 나오는 건 아니고 중요함!!

'''도심'''(centroid)이란 어떤 임의 단면에서 직교 좌표축에 대한 단면 1차 모멘트가 0이 되는 점.
:<math>\bar x=\frac{G_y}{A}</math>
:<math>\bar y=\frac{G_x}{A}</math>

==== 대표적인 도형의 도심 ====
{| class="wikitable"
|- 
! 도형 !! 그림 !! <math>\bar x</math> !! <math>\bar y</math> 
|-
|삼각형
| align="center" | [[파일:Centroid of a triangle.svg|thumb]]
| align="center"|<math>\frac{b}{3}</math>
| align="center"|<math>\frac{h}{3}</math>
|-
|사다리꼴
|[[파일:Trapezoid3.png|섬네일|220x220px|식을 외우기 싫다면 두 개의 삼각형으로 나눠서 도심을 계산하면 된다.|대체글=]]
|<math>\frac{L}{3} \times \frac{B_1 + 2B_2}{B_1 + B_2}</math>
|
|-
|사분원
| align="center"| [[파일:Centroid of a quarter circle.svg|thumb]]
| align="center"|<math>\frac{4r}{3\pi}(=\frac{2D}{3\pi})</math>
| align="center"|<math>\frac{4r}{3\pi}(=\frac{2D}{3\pi})</math>
|-
|반원
| align="center" | [[파일:Centroid of a semicircle.svg|thumb]]
| align="center"|<math>\,\!0</math>
| align="center"|<math>\frac{4r}{3\pi}(=\frac{2D}{3\pi})</math>
|}

이외 도형의 도심 표 : [https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_centroids 영어 위키백과의 도심 목록]

'''예제 1'''
토목기사 기출 92, 18-3 학교 시험에도 잘 나오는 기본 내용.
[[File:단면일차모멘트 예제1.png|300픽셀|오른쪽]]

오른쪽 그림에서 가로방향 중심을 지나는 축을 X라 할 때, X축이하 단면의, X축에 대한 단면일차모멘트 G<sub>X</sub>를 구하시오.

{{-}}

'''풀이'''

단면 일차 모멘트를 구하려면 부분부분 나눠서 계산해야 한다. 즉 X축으로부터 면적과 도심까지의 거리를 구하기 쉬운 도형들로 나눠서 구해야 한다.<math>(G_x=\int_A ydA= A_1 y_1 + A_2 y_2 + A_3 y_3)</math>

[[File:단면일차모멘트 예제1-1.png|400픽셀|왼쪽]]

각각의 치수는 왼쪽 그림에 mm단위로 나타나 있다. 값을 대입하여 G<sub>X</sub>를 계산한다.
:<math>\begin{align} G_X & = A_1 y_1 + A_2 y_2 + A_3 y_3 \\
                  & = - 50\cdot 240 \cdot 120 - 400 \cdot 60 \cdot 270 - 50\cdot 240 \cdot 120 \\
                  & = - 9360000mm^3 = - 9360cm^3 \end{align}</math>
{{-}}

----

'''13-1, 16-2'''
[[파일:Second moment of area(T shape3).png|오른쪽|프레임없음|358x358픽셀]]
그림에서 바닥면으로부터 도심을 계산하면?
----플랜지, 복부로 나눠서 계산한다.

바닥면으로부터 도심까지 거리를 계산한다.

<math>\begin{align} \bar y & = \frac{\sum G}{\sum A} \\
                     & = \frac{7 \times 3 \times 8.5 + 3 \times 7 \times 3.5}{7 \times 3 + 3 \times 7} \\
                     & = 6cm \end{align}</math>

{{-}}

== 단면 이차 모멘트 ==
♣♣♣

=== 정의 ===
[[파일:Moment of area of an arbitrary shape.svg|right|200px]]
:<math>I_x = \int_A y^2 dA</math>
:<math>I_y = \int_A x^2 dA</math>

* ''I''<sub>''x''</sub> - ''x'' 축에 대한 단면 이차 모멘트
* ''I''<sub>''y''</sub> - ''y'' 축에 대한 단면 이차 모멘트

----
* 차원: L<sup>4</sup>

==== 16-1 기출 ====
[[파일:Second moment of area(parabola1).png|오른쪽|프레임없음|400x400픽셀]]
우측 그림에서 빗금친 부분의 x축에 대한 단면이차모멘트를 구하시오.
----<math>I_x = \int_A y^2 dA</math>

dA를 구할건데 가로로 잘라야 함. 모멘트를 생각해보자.
[[파일:Second moment of area(parabola2).png|왼쪽|프레임없음|400x400픽셀]]
<br />
{{-}}

<math>x = \sqrt{6y}</math>

<math>\begin{align} dA & = (6-x)dy \\
                 & = (6-\sqrt{6y})dy \\ \end{align}</math>

<math>\begin{align} I_x & = \int y^2 (6 - \sqrt{6y} ) dy \\
                  & = \int_0^6 ( 6 y^2 - \sqrt{6} y^{\frac52} ) dy \\
                  & = 61.714 \end{align}</math>

=== 합성 단면의 단면 이차 모멘트 ===
합성 단면의 단면 이차 모멘트는
:<math>I_{xx}= \Sigma\ y^{2}A +I_{local}</math>
로 주어진다.
단, 이 공식은 단면이 x 축에 대해 대칭일 경우에 적용하며, 그렇지 않은 경우에 xx, yy 및 xy축에 대한 단면 이차 모멘트는 다음과 같다.

:<math>I_{yy}= \Sigma\ x^{2}A +I_{local}</math>

:<math>I_{xy}= \Sigma\ yxA</math>

* A - 해당 부분의 단면적
<math>I_{local} </math>은 합성 단면 중 해당 부분의 단면 이차 모멘트이다.

=== 평행축 정리 ===
[[파일:Parallel axis theorem.svg|200px|right]]
♣♣♣18-1, 19-2

중립축과 평행한 임의의 축 x'에 대한 단면 이차 모멘트

:<math>I_{x'} = I_x+Ad^2</math>
* ''I<sub>x'</sub>'' - x' 축에 대한 단면 이차 모멘트
* ''I''<sub>x</sub> - x' 축과 평행하고 단면의 [[도심 (기하학)|도심]]을 지나는 축 x에 대한 단면 이차 모멘트 (중립축과 일치)
* ''A'' - 단면의 넓이
* ''d'' - 축 사이의 거리

----

* 참고 연습문제 : [http://blog.naver.com/mjfafa0104/221336219944 보일러 엔지니어링 블로그 - 단면 이차모멘트와 단면계수]. 이거 이해하면 단면이차모멘트, 평행축 정리, 단면계수를 웬만큼 다 이해했다고 봐도 좋을 듯.

----

[[파일:Second moment of area(T shape1).png|오른쪽|프레임없음|400x400픽셀]]
오른쪽 T형 단면에서 중립축에 대한 단면이차모멘트를 구하면?
----플랜지부분, 복부 나눠서 '''평행축 정리를 적용해''' 계산 후 더해준다.

플랜지에 대해선 잘 구했는데 복부에 대해선 틀리게 계산했었다.

플랜지에 대하여

<math>\begin{align} I_f & = \frac{7 \cdot 3^3}{12} + 7 \times 3 \times 2.5^2 \\
                  & = 147cm^4 \\ \end{align}</math>
[[파일:Second moment of area(T shape2).png|왼쪽|섬네일|400x400픽셀|복부에 대한 계산을 잘못하지 않도록 주의]]
{{-}}
복부에 대하여

<math>\begin{align} I_w & = \frac{3\cdot 7^3}{12} + 3 \times 7 \times {\color{red} 2.5^2 } \\
                  & = 217 cm^4 \\ \end{align}</math>

<math>I = I_f + I_w = 364 cm^4</math>

=== 대표적인 도형에 대한 단면 이차 모멘트 ===
♣♣♣

I<sub>0</sub>는 도심을 지나는 축에 대한 단면 이차 모멘트, I는 도심을 지나는 축에 평행한 축에 대한 단면 이차 모멘트라고 하면,
{|class="wikitable" style="background-color:white"
|-
! 설명 || 그림 || 단면 이차 모멘트 || 비고
|-
| 반지름 <math>r \,</math>(지름 D)인 원||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_circle.svg]]||<math>I_0 = \pi r^4/4=\pi D^4/64</math>||
|-
| 너비 <math>b \,</math>, 높이 <math>h \,</math>인 직사각형||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_rectangle.svg]]||<math>I_0 = bh^3/12 \,</math>||
|-
| 너비 <math>b \,</math>, 높이 <math>h \,</math>인 직사각형||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_rectangle_2.svg]]||<math>I = bh^3/3 \,</math>||단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. [[평행축 정리 이용 공식 유도|유도과정은 여기에]]
|-
| 밑변 <math>b \,</math>, 높이 <math>h</math>인 삼각형||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_triangle.svg]]||<math>I_0 = bh^3/36 \,</math>||수리수문학 96
|-
| 밑변 <math>b \,</math>, 높이 <math>h</math>인 삼각형||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_triangle_2.svg]]||<math>I = bh^3/12 \,</math>||단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. 평행축 정리를 이용해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리 <math>h/3 \,</math>).
|}

* 정사각형 도심에 대한 단면이차모멘트는 축 방향에 관계없이 일정.(93, 97, 00, 19-1)

== 단면 2차 반경 ==
♣♣♣96, 99, 17-4, 18-1, 19-1

<math>r_x = \sqrt{\frac{I_x}{A}}</math>

<math>r_y = \sqrt{\frac{I_y}{A}}</math>

== 단면계수 ==
♣♣♣ 14-3, 18-1, 19-1 등등. 다른 과목과의 연계성도 있다.

'''단면계수'''(Section Modulus, S)는 도심축에 대한 단면 이차 모멘트를 단면의 가장 끝단에서 도심(centroid)까지의 거리로 나눈 값

:<math>S_X=\frac{I_X}{y_{max} }</math>
:<math>S_Y=\frac{I_Y}{x_{max} }</math>

{| class="wikitable" align="center"
|+Section modulus equations(실선 화살선 : 도심축)
! Cross-sectional shape
! 그림
! 공식
|-
| 사각형
| [[파일:Area moment of inertia of a rectangle.svg]]
| <math>S = \cfrac{bh^2}{6}</math>
|-
| 원 
| [[파일:Area moment of inertia of a circle.svg]]
| <math>S = \cfrac{\pi r^3}{4} = \cfrac{\pi d^3}{32}</math>
|}

최대 단면계수를 갖기 위한 조건(18-3)
[[File:Cercle circonscrit à un triangle.svg|오른쪽|700픽셀]]

가장 왼쪽 그림처럼 세 변의 길이 비가 <math>1 : \sqrt{2} : \sqrt{3}</math>이어야 함.

{{-}}

== 단면 2차 극모멘트 ==
♣♣♣12-3, 16-2, 18-1

polar moment of inertia. 극관성 2차 모멘트라고도 함. 좌표축 회전 관계없이 항상 일정.

[[File:MQdéfinition.jpg|오른쪽|300픽셀]]{{-}}

<math>I_P = \int_{A} r^2 dA = \int_{A} (x^2 + y^2)dA = {\color{red}I_y + I_x}</math> 
{{-}}

== 단면 상승 모멘트 ==
= 관성적(product of inertia). +, -, 0 모두 가능(15-1, 16-4, 17-2)

'''비대칭 단면일 때(일반식)''' (19-2)

<math>I_{xy} = \int_{A} xydA</math>

'''대칭 단면이지만 축이 단면 도심을 지나지 않을 때'''♣♣♣

<math>{\color{red}I_{xy} = A\cdot \bar x \cdot \bar y}</math>

'''대칭 단면이면서, 축이 단면 도심을 지날 때'''(17-4)

[[파일:Moment of area of a rectangle through the centroid.svg|섬네일|축이 단면 도심을 지나면 단면상승모멘트 I<sub>xy</sub> = 0]]

<math>I_{xy} = 0</math>

'''비대칭 삼각형의 경우'''(13-3, 19-2) 

[[File:Moment of area of a triangle through the base.svg|왼쪽|200픽셀]]

{{-}}

[[File:Product of inertia triangle.png|왼쪽|300픽셀]]

{{-}}

<math>y = h - \frac hb x = h \left( 1 - \frac xb \right)</math>

<math>dA = y dx</math>

<math>\begin{align} I_{xy} = \int_A xy dA & = \int_0^b x \left( \frac y2 \right) y dx \\
                                    & = \frac{h^2}{2} \int_0^b x \left( 1 - \frac xb \right)^2 dx \\
                                    & = \frac{b^2 h^2}{24}\end{align}</math>

결론 식만 암기!

----
[[File:단면상승모멘트1.png|right|300px]]

'''1. 95, 17-4'''

오른쪽 그림에 대해 단면 상승 모멘트를 구하시오.

----
'''풀이'''

<math>\begin{align} I_{xy} & = A\cdot \bar x \cdot \bar y \\
                           & = 36 \times 3 \times 3 - 16 \times 4 \times 4 \\
                           & = 68 \\ \end{align}</math>
{{-}}

== 참고 자료 ==
* {{서적인용|제목=토목기사 필기 - 응용역학|성=전찬기 외|이름=|날짜=2015|판=|출판사=성안당|쪽=|장=}}
* {{서적인용|제목=SI 재료역학|성=Gere, Goodno|이름=|날짜=|판=8|출판사=센게이지 러닝 코리아|쪽=|장=}}
* [http://site.iugaza.edu.ps/nmezaini/files/Ch-10.3.pdf Nasreddin S. Elmezaini, Mechanics of Materials - Product of Inertia(pdf)]