토목공학/응용역학/부정정 구조물 문서 원본 보기

== 부정정 구조물 장단점 ==


장점

* 연속성 때문에 처짐 크기 작아짐.(15-3 / 철콘 14-1)

단점

* 지점침하로 인한 응력(15-3)

== 해석 방법 ==
13-3
* 응력법(force method, 유연도법(flexibility method), 적합법) : 반력이나 내력을 미지수로 두고 풀이.
**변위일치법, 3연 모멘트법
* 변위법(강성도법, stiffness method) : 처짐각과 같은 변위를 미지수로 두고 풀이.
**처짐각법, 모멘트분배법

참고 자료
* {{서적인용|제목=토목기사 필기 응용역학|성=전찬기 외|이름=|날짜=2015|판=|출판사=성안당|쪽=|장=}}
* {{서적인용|제목=구조해석|성=Jack C. McCormac|이름=|날짜=|판=4|출판사=동화기술|쪽=322|장=}}

== 변위 일치법 ==
♣♣♣ 14-3

원 구조물에서 '''여분의 지점 반력이나 응력을 부정정력(과잉력)으로 간주'''하여 그것을 '''제거'''하고 정정 구조물인 '''기본구조'''(primary structure, 또는 이완구조(released structure))로 변환시킨 뒤, 처짐이나 처짐각을 이용해 부정정력 계산.

적합방정식을 통해 푼 반력값이 -라는 것은 '''단위하중에 반대되는 방향'''이라는 의미.

----

07-2, 10-3, 13-3, 14-1, 14-2

[[File:부정정보1.png|왼쪽|500픽셀]]

{{-}}

X = V<sub>B</sub>로 부정정력을 선택, 기본구조를 그리면

[[File:부정정보2.png|왼쪽|500픽셀]]

[[File:부정정보3.png|왼쪽|500픽셀]]

{{-}}

적합조건식은

<math>\Delta_B + V_B \Delta_{bb} = 0</math>

<math>\therefore V_B = - \frac{\Delta_B}{\Delta_{bb}}</math>

수정처짐각 방정식으로도 풀이 가능.

== 3연 모멘트법 ==
11-1, 16-1 계산문제

연속 구조물을 지간별로 분리, 내부 힘 모멘트를 부정정력으로 보고 푼다.
[[파일:Three moment theorem.png|왼쪽|프레임없음|600x600픽셀]]

<math>M_1 \frac{l_1}{I_1} + 2M_2 \left( \frac{l_1}{I_1} + \frac{l_2}{I_2} \right) + M_3 \frac{l_2}{I_2} = 6E (\theta_{21} - \theta_{23}) {\color{blue} + 6E(\beta_1 - \beta_2) }</math>

파랑 부분은 지점 부등침하가 있는 경우에만 씀. 토목기사 시험에선 두 항 중 하나만 출제.
{{-}}

암기

[[File:2경간 연속보6.png|400px]]

♣♣♣ 17-2

:<math>R_A = R_C = \frac{3}{8}wl</math>
:<math>R_B = \frac{5}{4}wl</math>

== 최소일의 원리 ==
카스틸리아노의 제 2정리를 이용.<ref>{{서적인용|제목=토목기사 필기 응용역학|성=전찬기 외|이름=|날짜=2015|판=|출판사=성안당|쪽=374, 438|장=}}</ref>

* 변위일치법과 근본적으로 유사
* 트러스나 합성구조물 해석에 효과적
* 온도변화, 지점침하, 제작오차 등으로 인해 발생하는 응력 해석엔 사용불가 단점.
* 연속보나 골조 해석을 하려면 계산량이 많아 부적합. 오늘날에는 모멘트 분배법 또는 컴퓨터 해석방법을 사용.

14-1, 17-4

변위가 일어나지 않는 점(지점)에서는 <math>\frac{\partial U_i}{\partial P_j} = \delta_j = 0</math> (또는 고정 지점에서 <math>\theta_j = 0</math>)이 되므로 <math>\frac{\partial U_i}{\partial P_j} = 0, \quad \frac{\partial U_i}{\partial M_j} = 0</math>

== 처짐각법 ==
절점에 모인 부재들은 강결로 가정.(13-3)

♣♣

순서
# 고정단모멘트(또는 하중항) 강비 계산
# 처짐각방정식
# 절점 평형 방정식
# 재단 모멘트 계산
# 지점 반력 계산

=== 고정단 모멘트 ===


시계방향을 +로 함

[[File:Fem1.png|400픽셀]](16-2, 17-2, 19-1)

[[File:Fem2.png|400픽셀]]

=== 처짐각 방정식 ===
♣♣ 15-2, 17-4

<math>M_i = FEM_i + \frac{2EI}{L} \left( 2\theta_i + \theta_j - 3\frac{\Delta}{L} \right)</math>

<math>M_j = FEM_j + \frac{2EI}{L} \left( \theta_i + 2 \theta_j - 3 \frac{\Delta}{L} \right)</math>

수정처짐각 방정식 15-3, 16-4

[[File:수정처짐각방정식.png|1000px]]

<math>M_i = FEM_i + \frac{  {\color{red} 3 } EI}{L} \left( \theta_i - {\color{red} \frac{\Delta}{L} } \right)</math>

<math>M_j = 0</math>

* 주의 : 이 경우엔 j점이 힌지이기 때문에 M<sub>j</sub> = 0임을 알기 때문에 최종적으로 힌지점에서 모멘트가 0인 구조를 조합해서 만들어주는 것이지만, 모멘트가 0이 아닌 힌지점에 대해 수정 처짐각 방정식을 쓰려 한다면 최종적으로 더해서 나오는 모멘트는 0으로 하면 안 된다! 그땐 기본 고정단 모멘트 형태에서 더해주는 고정단-힌지 구조의 힌지점 모멘트가, 최종적으로 더했을 때 나오는 힌지점 모멘트가 나오도록 값을 정해줘야 한다.

----'''13-2''' 그냥 처짐각 구하는 데 처짐각 방정식 쓰는 문제

[[File:처짐각 계산1.png|right|400px]]

A점의 처짐각은? 휨강성은 EI

----

수정 처짐각 방정식 말고 일반 처짐각 방정식을 쓴다.
:<math>\begin{align} M_{AB} & = FEM_{AB} + \frac{2EI}{l} \left( 2\theta_A + \theta_B - 3\frac{\Delta}{l} \right) \\
                            & = - \frac{wl^2}{12} + \frac{2EI}{l} \left( 2\theta_A + 0 + 0 \right) \\ \end{align}</math>
:<math>\therefore \theta_A = \frac{wl^3}{48EI}</math>

{{-}}

----

'''87'''

[[File:처짐각방정식4.png|right|400px]]

BA 부재에 휨모멘트가 생기지 않으려면 P의 크기는 얼마여야 하는가?

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<math>M_{BA} = \frac{2EI}{60} \times 2 \theta_B = 0 </math>

<math>\begin{align} M_{BC} & = - 900 + \frac{2EI}{60} \times 2 \theta_B \\
                           & = -900 \\ \end{align}</math>

<math>\sum M_B = 0</math>

<math>20P - 900 = 0</math>

<math>P = 45tf</math>

== 모멘트 분배법 ==
* [[모멘트 분배법]]에 방법 적어둠.

♣♣♣ 09-3, 15-3, 16-3, 17-4, 18-1, 19-1, 19-2 등등

강도계수(K), 분배율(DF), 전달율(C)

* [https://web.archive.org/web/20060827012717/http://structsource.com/analysis/types/momentdistributionexample.htm Strucsource®의 모멘트 분배법 예제]

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'''97, 16-2'''

[[File:양단고정 단부회전.png|right|400px]]

A 지점이 그림처럼 작은 각 θ만큼 회전하면 생기는 M<sub>A</sub>, R<sub>A</sub>를 구하시오.
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<math>M_A = \frac{4EI}{l}\theta</math>

전달. <math>M_B = \frac{2EI}{l}\theta</math>

<math>\sum M_B = 0</math>

<math>R_A \times L = \frac{4EI}{L}\theta + \frac{2EI}{L}\theta</math>

<math>R_A = \frac{6EI}{L^2}\theta</math>

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'''01, 16-2'''

[[File:부정정 내민보.png|400픽셀]]

그림에서 B점 연직반력? EI = 일정
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[[File:부정정 내민보1.png|500픽셀]]

내민 부분에 의해 생기는 모멘트는 고정단에 절반만큼 전달된다. AB를 놓고 A점에서 모멘트 평형 식을 쓰면 V<sub>B</sub>를 계산 가능하다.

<math>V_B = P + \frac{3Pa}{2l}</math>

== 매트릭스 구조해석 ==
=== 변위법, 강성도법 ===
Stiffness method.
용수철을 생각했을 때 p의 힘을 주면 Δ의 변위가 생긴다고 하자. 이때 둘의 관계를 다음으로 나타낸다.
:<math>p = k \Delta</math>
::k : 단위변위를 발생시키기 위한 힘.(19-1) 강성도, 강성(stiffness)<math>=\frac{EA}{L}</math>(유연도 f의 역수임)
::EA : 축강성(Axial rigidity)

== 부정정 판별==
계의 부정정 차수는 ''M - N'' 으로 정의되는데, 여기서
* ''M'' 은 미지부재력 및 반력의 개수,
* ''N'' 은 서로 독립인 평형방정식의 개수이다.

M을 계산하는 방법은 다음과 같다.
:M = r + 1m<sub>1</sub> + 2m<sub>2</sub> + 3m<sub>3</sub>
::r: 지점 반력 수
::m<sub>1</sub>: 양단 회전 절점 부재의 수
::m<sub>2</sub>: 일단 고정, 타단 회전 절점 부재의 수
::m<sub>3</sub>: 양단 고정 절점인 부재의 수

N은 다음과 같이 계산한다.
:N = 2P<sub>2</sub> + 3P<sub>3</sub>
::P<sub>2</sub>: 회전 절점수
::P<sub>3</sub>: 고정 절점수

=== 트러스 간편식 ===
트러스는 부정정 차수를 간편식으로 구할 수 있다.
:부정정 차수 = r + m - 2P
::r: 반력 수
::m: 부재 수
::P: 절점 수

== 각주 ==