토목기사 요약/수리수문학/개수로 문서 원본 보기

== 출제 기준 ==
2019-2021

* 전수두 및 에너지 방정식
* 효율적 흐름 단면
* 비에너지
* 도수
* 점변 부등류
* 오리피스
* 위어

== 용어 설명 ==
=== 수심, 수위 ===
* 수심(水深, depth of flow) : 공기와 물이 접하는 자유수면에서 수로 바닥까지의 연직 거리.<ref>{{서적인용|제목=수리학|성=송재우|이름=|날짜=|판=3|출판사=구미서관|쪽=187|장=}}</ref><ref>{{서적인용|제목=수리학|성=김경호|이름=|날짜=2010|판=|출판사=한티미디어|쪽=513|장=}}</ref>
* 수위(水位, stage) : 자유수면으로부터 임의의 지점까지의 연직 거리.<ref name=":0">{{서적인용|제목=수리학|성=송재우|이름=|날짜=|판=3|출판사=구미서관|쪽=188|장=}}</ref><ref>{{서적인용|제목=수리학|성=김경호|이름=|날짜=2010|판=|출판사=한티미디어|쪽=514|장=}}</ref>

=== 수리평균심 ===
hydraulic mean depth. = 수리심, 수리수심(hydraulic depth)<ref name=":0" />'''<ref>{{서적인용|제목=수리학|성=김경호|이름=|날짜=2010|판=|출판사=한티미디어|쪽=515|장=}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=유체역학|저자=Clayton T. Crowe 외|이름=|판=9|출판사=한티미디어|쪽=647|장=}}</ref>

91

수로의 평균 수심

<math>D = \frac{A}{B}</math>
* 수로 폭 B (top width): <u>'''자유 수면에서'''</u>의 수로 단면 폭

----단면계수
* 등류 계산 시 <math>Z = AR^{\frac{2}{3}}</math>
* 한계류 계산 시 <math>Z = AD^{\frac{1}{2}}</math>

== 통수능 ==
통수능 : 단면이 물을 통수시킬 수 있는 능력. <math>Q = AV = ACR^m I^n = KI^n</math>에서 <math>K = ACR^m</math>

Manning 공식에서 통수능

<math>K_0 = \frac{1}{n} R^\frac{2}{3} A</math>

* n : Manning 조도계수

== 효율적 흐름 단면 ==
♣♣♣13-2, 16-2, 19-2

일정 단면적에서 '''최대 유량'''이 흐르는 단면. 즉 '''경심 R'''(수리평균심, 동수반경, 수리반경)이 '''최대'''이거나 '''윤변 P'''가 '''최소'''인 단면. 직사각형 단면이던 사다리꼴 단면이던 반원이 내접되어야 한다.
* 직사각형 단면 B = 2h, <math>R = \frac{h}{2}</math> ♣♣♣
* 정다각형을 반으로 자른 단면이 수리학적으로 유리한 단면이다!!!

== 비에너지 ==
18-1, 18-2, 18-3, 19-1

* ♣♣♣ 비에너지는 수로 바닥을 기준으로 한 단위무게의 물 에너지. 등류에선 일정.

15-1, 16-4, 19-2

<math>E = h + \alpha \frac{V^2}{2g}</math>

따라서 비에너지는 유량이 일정한 경우 수심만의 함수가 된다.

'''한계수심''' : <u>비에너지가 최소일 때의 수심.</u> 혹은 <u>유량이 최대일 때의 수심</u> (정의 ♣♣14-2, 19-1, 19-3)

<gallery widths="500" heights="500">
파일:비에너지와 한계수심.png
파일:비에너지와 한계수심1.png|♣♣♣14-1, 15-1, 16-4, 19-3
</gallery>'''95'''
[[파일:Constriction.jpg|링크=https://ko.wikiversity.org/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Constriction.jpg|오른쪽|700x700픽셀]]
개수로 단면이 오른쪽 그림처럼 w1에서 w2로 감소했다. 이때 수심 변화는 어떻게 될까?
----'''풀이'''

* 상류인 경우: w2에서 유속 빨라짐. 수심 감소
* 사류인 경우: w2에서 유속 느려짐. 수심 증가

이유는 다음 그래프로 생각해보면 됨. 단위폭당 유량에 따른 수심변화와, 속도 수두가 어떻게 될 것인지....
[[File:E-h diagram of constriction and downwards step.png|왼쪽|프레임없음|476x476픽셀]]

{{-}}

=== 수중 구조물이 있는 경우 수면 변화 ===
상류의 흐름에 수중보를 설치하는 경우. 편의상 비에너지의 손실은 없다고 가정. 
[[파일:상류 수중보3.png|오른쪽|프레임없음|524x524픽셀]] 

<math>E_1 = h_1 + \frac{{V_1}^2}{2g}</math> 

<math>E_2 = h_2 + \frac{{V_2}^2}{2g}</math> 

이것은 수로 바닥면이 z만큼 높아진 상태에서의 비에너지이다. 원래의 수로 바닥면과는 z의 높이만큼 비에너지 차이가 날 것이다. 비에너지의 손실은 없다고 하였으므로 1단면과 2단면의 비에너지가 같아야 한다. 이것을 식으로 나타낸다면 

<math>E_1 = E_2 + z</math>
[[파일:상류 수중보4.png|오른쪽|프레임없음|400x400픽셀]] 

상류 흐름에 수중보를 설치하면 보가 있는 부분에서 수위는 감소. 같은 방법으로 사류일 때를 확인해보면 반대로 수위가 증가.

=== 사각형 단면 한계수심 ===
12-3, 18-3, 19-3

<math>h_c = \left( \frac{\alpha Q^2}{g b^2} \right)^{\frac{1}{3}}</math>

----
'''97, 18-3'''

직사각형 수로에서 폭이 5m, 한계수심이 1m, 에너지 보정계수 α = 1.0이면 유량은?

----

<math>h_c = \left( \frac{\alpha Q^2}{g b^2} \right)^{\frac{1}{3}}</math>

<math>Q = \left( \frac{{h_c}^3 g b^2}{\alpha} \right)^\frac{1}{2} = 15.65m^3/s</math>

== 흐름의 상태 ==
=== 단면 변화 정도에 따른 분류 ===
* 점변류(gradually varied flow) : 수면 변화가 완만하게 나타나는 흐름
* 급변류(rapidly varied flow) : 비교적 짧은 구간에서 급격한 수면 변화를 나타내는 흐름

[[파일:개수로_흐름_유형.png|링크=https://ko.wikiversity.org/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:%EA%B0%9C%EC%88%98%EB%A1%9C_%ED%9D%90%EB%A6%84_%EC%9C%A0%ED%98%95.png|대체글=|프레임없음|1066x1066px|왼쪽]]

{{-}}

=== 레이놀즈 수에 의한 흐름의 분류 ===
[[토목기사 요약/수리수문학/동수역학#층류, 난류의 구분]] 참고.

=== 상류, 사류, 한계류 ===
지배단면(control section)이란? (14-1)
* 개수로 흐름이 상류에서 사류로 바뀔 때 한계수심이 발생하는 단면<ref>{{서적 인용|제목=수리학|성=김경호|이름=|날짜=2010|판=|출판사=한티미디어|쪽=534|장=}}</ref>

----
* 한계경사 : 지배단면에서의 경사
----♣♣ 계산문제, 개념 묻는 문제(13-1, 16-4, 19-1) 출제

장파전달속도 <math>c = \sqrt{gD}</math>에 대하여

* 상류(subcritical flow, ordinary flow, tranquil flow): 한계수심보다 수심이 깊지만 한계유속보다 유속이 느린 흐름.(18-3) V < c. 장파가 상류로 전달.
**<math>Fr = \frac{V}{c} = \frac{V}{\sqrt{gD}} < 1</math>
** I < I<sub>c</sub>
* 한계류(critical flow) : Fr = 1. 이때의 수심을 한계수심, 유속을 한계유속
* 사류(supercritical flow, jet flow, rapid flow): V > c. 하류 흐름의 영향이 상류로 전파되지 않음.
**<math>Fr = \frac{V}{c} = \frac{V}{\sqrt{gD}} > 1</math>
** I > I<sub>c</sub>

Froude 수는 중력에 대한 관성력의 비

== 비력 ==
비력(specific force, 충력치, 14-2, 15-3, 18-1) : 개수로 어떤 단면에서 단위중량 당 정수압 + 운동량

운동량 방정식으로부터 유도된다.

[[파일:Conservation of Momentum – Hydraulic Jump1.png|오른쪽|프레임없음|600x600픽셀]]


비력 = 정수압 + 운동량이므로

M<sub>1</sub> = M<sub>2</sub>

<math>\gamma_w h_{G1} A_1 + \rho Q V_1 = \gamma_w h_{G2} A_2 + \rho Q V_2</math>

----

참고 서적
* {{서적인용|제목=수리학|성=김경호|이름=|날짜=2010|판=|출판사=한티미디어|쪽=|장=11. 개수로 정상흐름의 기초}}

== 도수 ==
= hydraulic jump. 흐름이 사류에서 상류로 변할 때 수면이 불연속적으로 뛰는 현상. 가지고 있는 에너지의 일부를 와류와 난류를 통해 소모한다.(15-1)

도수 전후 두 수심 : 공액수심<ref>{{서적인용|제목=수리학|성=김경호|이름=|날짜=2010|판=|출판사=한티미디어|쪽=539|장=}}</ref>

'''도수 후 수심 = 도수고'''

♣♣♣12-3, 14-3, 15-2, 16-1, 19-3

직사각형 단면에 대해

<math>h_2 = \frac{h_1}{2} \left(-1 + \sqrt{ {\color{red} 1 } + {\color{red} 8 } {Fr_1}^2} \right)</math>

*<math>Fr_1 = \frac{V_1}{\sqrt{gh_1}}</math>

도수 전후 비력이 일정함을 이용해 유도됨.(단위폭당 유량, 이차방정식 근의 공식, 프루드 수 등을 이용해 유도)
----'''도수로 인한 에너지 손실''' 

♣♣♣13-1, 14-2, 19-2, 19-3

<math>\Delta E = \frac{ {\color{red} ( } h_2 - h_1 {\color{red} )^3 } }{4h_1 h_2}</math>

비에너지 차이, 도수 전후 수심 유도 과정 중 나오는 식을 이용해 유도함.

----

참고 서적
* {{서적인용|제목=수리학|성=김경호|이름=|날짜=2010|판=|출판사=한티미디어|쪽=|장=11. 개수로 정상흐름의 기초}}

== 점변 부등류 ==
=== 부등류의 수면곡선 ===
구분하는 것 문제로 나옴.

한계수심, 한계경사는 유량, 단면이 정해지면 하나로 정해짐

* 배수곡선(backwater curve) : <math>\frac{dh}{dx} > 0</math>. 상류(subcritical flow) 흐름에 댐, 위어 등을 설치하면 흐름을 따라 상류(上) 수심이 증가하는 곡선.(13-2, 18-1, 19-1)
* 저하곡선 : <math>\frac{dh}{dx} < 0</math>. 흐름을 따라 수심이 감소하는 곡선.
* <math>\frac{dh}{dx} = 0</math>이면 수심은 일정하게 되어 등류가 됨. 여기서 h<sub>0</sub>는 등류수심.(임의 경사의 무한한 길이의 개수로에 물이 흐를 때 수심을 등류수심이라 함) 수로 경사를 완경사에서 점점 올려서 급경사로 만들수록 등류수심은 감소하다가 한계수심과 같아졌다가(한계경사) 한계수심보다 작아짐.(급경사)

수로경사를 S<sub>0</sub>, 한계경사를 S<sub>c</sub>라 할 때,
* S<sub>0</sub> < S<sub>c</sub>이면 완경사(Mild slope; M)
* S<sub>0</sub> = S<sub>c</sub>이면 한계 경사(Critical slope; C)
* S<sub>0</sub> > S<sub>c</sub>이면 급경사(Steep slope; S)
* S<sub>0</sub> = 0이면 바닥 경사는 수평(Horizontal; H)
* S<sub>0</sub> < 0이면 역경사(Adverse; A)

여기에 따른 수면형은(15-1)

[[파일:부등류의 수면곡선.png|왼쪽|900픽셀]]
{{-}}

등류수심 h<sub>0</sub>에는 수면이 점근하고, 수로바닥과 한계수심 h<sub>c</sub>에는 급격하게 붙어버린다.

예시 - Mild slope

* 영역 1 : <math>h > h_0 > h_c, \quad Fr < 1 </math>이면 <math>\frac{dh}{dx} > 0</math> : M1곡선
* 영역 2 : <math>h_0 > h > h_c, \quad Fr < 1 </math>이면 <math>\frac{dh}{dx} < 0</math> : M2곡선
* 영역 3 : <math>h_0 > h_c > h, \quad Fr > 1 </math>이면 <math>\frac{dh}{dx} > 0</math> : M3곡선

참고 자료
* {{서적인용|제목=수리학|성=김경호|이름=|날짜=2010|판=|출판사=한티미디어|쪽=|장=}}

== 오리피스 ==
* [[w:토리첼리의 정리]]는 위치수두를 속도 수두로 바꾸는 경우다.(95)

=== 오리피스 유량 ===
♣♣♣98, 00, 01, 02, 03, 12-3, 14-1, 14-2, 16-4, 19-3 

유량계수

<math>C = C_a C_v</math>

* <math>C_a = \text{수 축 계 수 } = \frac{a}{A} \quad (\because a = C_a A)</math>
**<math>C_a = 0.6 \sim 0.7</math>
** 표준단관 <math>C_a = 1.0</math> 
**a : 수축단면(vena contracta)의 단면적
**A : 오리피스 단면적
* C<sub>v</sub> : 유속계수

* {{형광펜|pink|유량}} <math>{\color{red} Q = C A \sqrt{2gH} }</math>  (92, 19-1)

----

* 연직오리피스에서 유량계수 C는 대강 0.6 전후임(16-1)

=== 작은 오리피스 ===
[[File:오리피스.png|thumb|오리피스]]H > 5d이면 작은 오리피스

99, 14-3, 15-1, 20-1+2

이론 유속

<math>V = \sqrt{2gH}</math>
* H : 수면에서 수축단면 중심까지 거리

실제 유속

<math>V_t = C_v \sqrt{2gH}</math>

95, 19-2, 20-1+2

오리피스 수두 오차와 유량 오차의 관계

<math>\frac{dQ}{dH} = CA \sqrt{2g} \frac 12 H^{ - \frac 12}</math>

<math>\frac{dQ}{Q} = \frac{ CA \sqrt{2g} }{Q \times 2 \sqrt H} dH</math>

<math>\frac{dQ}{Q} = \frac{ \cancel { CA \sqrt{2g} } }{ \cancel{ CA } \sqrt{ \cancel {2g} H} \times 2 \sqrt H} dH</math>

<math>\frac{dQ}{Q} = \frac{1}{2} \frac{dH}{H}</math>

오리피스 접근 유속 수두

<math>H_a = \frac{{V_a}^2}{2g}</math>

=== 큰 오리피스 ===
* 상하단 압력차(수두변화)를 무시할 수 없을 때 큰 오리피스로 취급.(94, 96)
*오리피스 단면 내 유속 분포가 동일치 않다고 보고 계산.(96)

H < 5d이면 큰 오리피스
:H : 오리피스 중심에서 수면까지 수두
:d : 오리피스 직경

[[파일:큰 오리피스.jpg|오른쪽|프레임없음|400x400픽셀]]

베르누이 방정식과 연속방정식을 결합한 뒤, 적분하여 유도<ref>{{서적인용|제목=수리학|성=전일권 외|이름=|날짜=2009|판=|출판사=동화기술|쪽=311|장=}}</ref>

<math>Q = \frac 23 C b \sqrt{2g} ( {H_2}^\frac 32 - {H_1}^\frac 32 )</math>

접근유속 고려 시

<math>Q = \frac 23 C b \sqrt{2g} ( (H_2 + H_a)^\frac 32 - (H_1 + H_a)^\frac 32 )</math>

=== 수중 오리피스 ===
16-2

수문
[[파일:Sluice1.png|left|프레임없음|300x300픽셀]]

<math>Q = CbH_d \sqrt{2g(H_1 - H_2)}</math>

* <math>H_d</math> : 수문개방높이

얘도 똑같이 토리첼리 정리네

{{-}}

=== 오리피스 유출 시간 ===
[[File:보통 오리피스 유출시간.png|right|400px]]

보통 오리피스(99)

연속방정식, 토리첼리 정리를 이용, 수면 강하 속도를 T에 대해 적분해서 얻은 식.<ref>{{서적인용|제목=수리학|성=김경호|이름=|날짜=|판=초|출판사=한티미디어|쪽=269|장=}}</ref>

<math>T = \frac{2A}{C \cdot a \sqrt{2g}} (\sqrt{H_1} - \sqrt{H_2})</math>

* A : 수면적
* <math>H_1</math> : 처음 수위
* <math>H_2</math> : 나중 수위

수중 오리피스(13-3)

<math>T = \frac{2A_1 A_2}{Ca \sqrt{2g} (A_1 + A_2)} (\sqrt{H_1} - \sqrt{H_2}) \quad [sec]</math>

* <math>A_1</math> : 1수조 수면적
* <math>A_2</math> : 2수조 수면적
* <math>H_1</math> : 처음 수위차
* <math>H_2</math> : 나중 수위차

[[File:수중오리피스 유출시간.jpg|thumb|left|400px|수중오리피스 유출시간]]

{{-}}

=== 노즐 ===
[[File:노즐.png|300픽셀|왼쪽|섬네일|노즐]]

12, 18-2

유량

노즐 전 점과 vena contracta 사이에서 베르누이 정리 이용. 연속방정식 이용하여 유도.

<math>Q = C \frac{\pi d^2}{4} \sqrt{\frac{2gh}{ 1 - C^2 \left( \frac dD \right)^4}}</math>

{{-}}

== 위어 ==
98, 99

* 개수로 유량 측정, 취수를 위한 수위 증가 등의 목적으로 설치됨.
* 작은 유량 측정 시 삼각 위어가 효과적(16-2)
*위어를 월류하는 흐름은 일반적으로 상류에서 사류로 변함.(16-2)
* 하류수위 <math>h_2 > \frac{2}{3}H = h_c</math>이면 수중위어(14-1)
** H : 상류 전수두(기준면은 위어 상면)

위어 월류 유량 공식의 일반형(02, 13-3)

<math>CL (h + h_a)^\frac{3}{2}</math>
* C : 월류 계수
* L : 월류 폭

=== 사각형 위어 ===

==== 유량 ====
[[파일:Rectangular weir.png|오른쪽|프레임없음|400x400픽셀]]
15-2

베르누이 방정식과 연속방정식을 결합한 뒤, 적분하여 유도<ref>{{서적인용|제목=수리학|성=송재우|이름=|날짜=|판=3|출판사=구미서관|쪽=293|장=}}</ref><ref>{{서적인용|제목=유체역학|성=Clayton T. Crowe 외|이름=|날짜=|판=9|출판사=한티미디어|쪽=562|장=}}</ref><ref>{{서적인용|제목=수리학|성=전일권 외|이름=|날짜=2009|판=|출판사=동화기술|쪽=297|장=}}</ref>

<math>Q = \frac{2}{3}Cb \sqrt{2g} h^\frac{3}{2}</math>

==== 프란시스 유량 산정 공식 ====
01, 02, 18-3

<math>Q = 1.84 \left( {\color{red} b } - \frac{nh}{10} \right) h^\frac{3}{2}</math>
* n : 양단 수축 2, 일단수축 1, 수축 없으면 0
* h : 월류수심

단수축 폭

18-1

<math>b_0 = b - \frac{nh}{10}</math>

----

* 직사각형 수로에서 월류 수두 h와 유량 Q의 관계(99, 00, 12, 16-3, 19-1, 19-2)
:<math>\frac{dQ}{Q} = \frac{3}{2} \frac{dh}{h}</math>

=== 광정 위어 ===
[[File:광정 위어1.png|오른쪽|600픽셀]]

broad crest weir. 월류수심 h에 비해 위어 마루 폭 L이 큰 경우.(L > 0.7h)

(05, 13-1, 14-2, 20-1+2 ♣♣)

위어 상류의 한 지점과, 위어에서 한계수심 나타나는 한 지점사이에 베르누이 정리 사용하여 유량 공식 유도.

'''<u>그림을 정확히 이해</u>'''하고 '''<u>유량 공식을 암기</u>'''하기

<math>\begin{align} H = h + \frac{ {V_a}^2 }{2g} & = h_c + \frac{ {V_c}^2 }{2g} \\
                                             & = \frac 23 H + \frac{ {V_c}^2 }{2g} \\ \end{align}</math>

<math>V_c = \sqrt{ \frac{2g H}{3} } </math>

<math>\begin{align} Q = bh_c V_c & = \frac{2bH}{3} \sqrt{ \frac{2g H}{3} } \\
                           & = 1.7 b H^\frac 32 \\ \end{align}</math>

* H : 전수두(h + h<sub>a</sub>)
* h : 월류수심
*<math>h_a = \alpha \frac{ {V_a}^2 }{2g} = \text{접 근 유 속  수 두 }</math>
*<math>V_a</math> : 접근유속

=== 사다리꼴 광정 위어 ===
[[File:사다리꼴 광정 위어.jpg|오른쪽|500픽셀]]

홈마 공식(실험에 의한 것)

<math>Q = C b \sqrt{2g}h^\frac 32</math>

----

'''2. 96'''

(사다리꼴) 광정위어에서 유량이 30m<sup>3</sup>/s일 때 위어 상면 수심은? 위어 폭이 5m, C = 0.4

----

<math>Q = Cb \sqrt{2g} h^{\frac{3}{2}}</math>

<math>h = \left( \frac{30}{0.4 \times 5 \sqrt{2g}} \right)^{\frac{2}{3}} = 2.26m</math>

=== 삼각형 위어 ===
[[File:Thomsonwehr2.jpg|thumb|삼각형 위어]]
♣♣♣97, 00, 01, 13-2, 14-3, 15-1 

<math>Q = \frac{8}{15} C \tan \frac{\theta}{2} \sqrt{2g} h^\frac{5}{2}</math>
* C : 유량계수

삼각형 수로에서 월류 수두 h와 유량 Q의 관계(93, 97, 98)

<math>\frac{dQ}{Q} = \frac{5}{2} \frac{dh}{h}</math>

== 각주 ==
<references />

== 참고 문헌 ==
* {{서적인용|제목=수리학|성=전일권 외|이름=|날짜=2009|판=|출판사=동화기술|쪽=|장=}}