토목기사 요약/수리수문학/동수역학 문서 원본 보기

== 출제기준 ==
2019-2021
* 오일러방정식과 베르누이식
* 흐름의 구분
* 연속 방정식
* 운동량 방정식
* 에너지 방정식

<br />
== 유선 ==
02

* 정상류에선 유적선과 일치.
* 비정상류에선 시간에 따라 유선 달라짐.

== 흐름의 구분 ==
2차원 흐름의 유선방정식(00, 15-1, 20-1+2)

<math>\frac{dx}{u} = \frac{dy}{v}</math>

이걸 적분하면 유선이 어떻게 움직이는지 알 수 있음.
----
* 유관 : 유선들에 의해 둘러싸인 하나의 폐합관(94)

=== 위치에 따른 유속 변화에 의한 분류 ===
* 등류(等流, uniform flow) 또는 균일 유동 : 흐름방향으로 위치에 따라 유속, 수심, 압력 등 흐름 특성 인자가 변하지 않는 일정한 흐름. 등류도 정류취급(98) (인공 수로)
* 부등류(不等流, varied flow or nonuniform flow) 또는 불균일 유동 : 흐름방향으로 위치에 따라 유속, 수심, 압력 등 흐름 특성 인자가 변하는 흐름(자연 하천)

=== 시간에 따른 유속 변화에 의한 분류 ===
♣99, 01, 12, 13-2, 15-2, 18-1, 19-3

* 정류(정상류, steady flow) : 시간에 따른 유속, 수심, 압력 등 흐름 특성 인자가 변하지 않는 흐름(평시 하천)
** 정상류 비압축성 유체 연속방정식 : <math>\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0</math> 또는 <math>A_1 V_1 = A_2 V_2</math>
** 정상류 압축성 유체 연속방정식 : <math>\frac{\partial \rho u}{\partial x} + \frac{\partial \rho v}{\partial y} + \frac{\partial \rho w}{\partial z} = 0</math> 또는 <math>\rho A_1 V_1 = \rho A_2 V_2</math>
* 부정류(비정상류, unsteady flow) : 시간에 따른 유적, 유속, 수심, 압력 등 흐름 특성 인자가 변하는 흐름 (홍수시 하천, 하수도)
** 부정류 연속방정식 : <math>\frac{\partial A}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial l}(AV) = 0</math>

* 압축성, 일반 유체인 경우 연속방정식: <math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \rho u}{\partial x} + \frac{\partial \rho v}{\partial y} + \frac{\partial \rho w}{\partial z} = 0</math>

=== 층류, 난류의 구분 ===
♣♣♣13-1, 15-2, 18-2

레이놀즈 수

<math>Re = \frac{VL}{\nu}</math>(점성력에 대한 관성력의 비)

* L : 특성 길이. 관수로는 <u>관경 D</u>, 개수로는 <u>[[토목기사 요약/수리수문학/관수로|동수반경]] R</u>

관수로인 경우

* <math>Re \lesssim 2100</math> : 층류

* 사이 : 천이영역(천이 유동, transition flow)
* <math>Re \geq 4000</math>

개수로인 경우

* <math>Re \leq 500</math> : 층류
* 사이 : 천이영역
* <math>Re \geq 2000</math> : 난류<ref>{{서적인용|제목=수리학|성=송재우|이름=|날짜=|판=3|출판사=구미서관|쪽=209|장=}}</ref><ref>{{서적인용|제목=토목기사 필기 수리수문학|성=임진근 외|이름=|날짜=2015|판=|출판사=성안당|쪽=295|장=}}</ref>

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97
* 난류 내부 전단응력은 층류 내부 전단응력보다 크다.
* 난류는 프루드 수, 등류(93)와 상관 없음. 

93
* 레이놀즈 응력, 점성 계수 : 난류 이론과 관계 있음.

== 베르누이 방정식 ==
♣♣♣

마찰이 없는 정상흐름에 대한 에너지식은 베르누이 방정식이라 함. 에너지 불변의 법칙에 기초. 동일 유선 상 유체입자가 가지는 에너지는 같다.(15-3)

95
* 오일러 운동 방정식을 적분해서 유도 가능.
* 베르누이 정리를 이용해 [[w:토리첼리의 정리]] 유도 가능.
* 이상 유체 유동에 대한 기계적 일-에너지 방정식과 같은 것임.

♣♣♣ 94 - 가정
* 정상류
* 비압축성 유체
* 비회전류
* 속도, 압력은 유선에 대해서만 변화

♣♣♣ 16-1, 18-2, 18-3 

<math>\begin{align} E & = \rho g z_1 + p_1 + \frac{\rho {V_1}^2}{2} = \rho g z_2 + p_2 + \frac{\rho {V_2}^2}{2} \\
                & = \text{위 치 압 력  + 정 압 력  + 동 압 력 (동 수 압 )} \\
                & = \text{위 치 압 력  + 정 체 압 력 } \end{align}</math>

♣♣♣ 

<math>\begin{align} \text{전 수 두 } & = z_1 + \frac{p_1}{\gamma} + \frac{{V_1}^2}{2g} = z_2 + \frac{p_2}{\gamma} + \frac{{V_2}^2}{2g} \\
                               & = \text{위 치 수 두  + 압 력 수 두  + 속 도 수 두 } \\ \end{align}</math>

* 각 항은 길이의 차원. 단위중량 당 에너지를 의미.

=== 에너지경사, 동수경사 ===
[[파일:HGL and EGL.png|오른쪽|프레임없음|716x716픽셀]]
18-3
*에너지선, 동수경사선의 차이는 일반적으로 <math>\frac{V^2}{2g}</math> (속도수두만큼) (01, 03, 15-1, 19-2)
* 에너지선은 흐름이 일어나도 에너지 손실이 없다면 수평을 유지한다.(92, 19-2)

=== 확장형 베르누이 방정식 ===
13-1, 14-2, 18-1

<math>z_1 + \frac{p_1}{\gamma} + \frac{{V_1}^2}{2g} + h_p = z_2 + \frac{p_2}{\gamma} + \frac{{V_2}^2}{2g} + h_t + h_L</math>

:h<sub>p</sub> : 유체의 단위중량에 대해 펌프가 해준 일[L]
:h<sub>t</sub> : 단위중량의 유체가 터빈에 해준 일[L]
:h<sub>L</sub> : 손실 수두

=== 에너지, 운동량 보정계수 ===
02, 12-3

* 에너지 보정계수 <math>\alpha = \frac{1}{A} \int_A \left( \frac{V}{V_m} \right)^3 dA</math>
* 운동량 보정계수 <math>\eta = \frac{1}{A} \int_A \left( \frac{V}{V_m} \right)^2 dA</math>
* 원관 운동량 보정계수(93) : <math>\eta = \frac{4}{3}</math>

=== 베르누이 정리의 응용 ===
♣♣♣

* 정압은 피에조미터로 측정(91)
* 피토 정압관은 등압 측정에 사용. 유속 측정 수단.(91, 00) 정압과 동압(정체압)을 측정함으로써 유속 잼.(93, 98)
* 벤츄리미터는 관 내 유량 또는 평균유속 측정 시 사용(93)
* 토리첼리의 정리: <math>V = \sqrt{2gh}</math> (93)
* 수조 수면에서 h인 곳에 단면적 a인 작은 구멍에서 물이 유출하는 경우 베르누이의 정리 사용(93)
<gallery widths="250" heights="250">
파일:Pitot tube diagram.png|피토관
파일:Tubo piezométrico.JPG|피에조미터
파일:Ventury effect.svg|벤츄리미터
</gallery>

----
; 12-3, 19-3
[[File:베르누이 정리1.png|오른쪽|300픽셀]]
수면이 변하지 않고, 손실수두가 <math>\frac{3V^2}{2g}</math>일 때 관을 통한 유량은?
{{-}}
----
; 풀이
베르누이 정리에서 <math>\frac{{V_0}^2}{2g} + \left( 6+ \frac{0.1}{2} \right) = \frac{V^2}{2g} + 0 + \frac{3V^2}{2g}</math>

V<sub>0</sub> = 0

<math>V = \sqrt{\frac{6.05 \times g}{2}} = 5.45m/s</math>

Q = AV = <math>\frac{\pi \times 0.1^2}{4} \times 5.45m/s = 0.043m^3/s</math>
----
==== 벤츄리미터 ====
[[File:Ventury effect.svg|left|300px]]
{{-}}

19-1

[[수리학/동수역학#벤추리미터|연속방정식, 베르누이 정리로 유도함]].<ref>{{서적인용|제목=수리학|성=김경호|이름=|날짜=|판=초|출판사=한티미디어|쪽=261|장=}}</ref>

<math>Q = C \frac{A_1 A_2}{\sqrt{{A_1}^2 - {A_2}^2}} \sqrt{2gh}</math>

* C: 유량계수
* h: 벤츄리미터에 꽂힌 피에조미터의 수두차. 만약 수은이 들어있고 수은 높이차가 h', 수은 비중이 s라 하면 <math>h = h' (s - 1) = h' \left( \frac{\gamma_{Hg}}{\gamma_w} - 1 \right)</math> (90)

----

* 1단면이 수압이 더 큼(92)

==== 피토관 ====
[[File:Pitot02.jpg|left|300px]]

16-2

두 관의 수두차가 h라 하면 유속 <math>V = \sqrt{2g h}</math> 만약 피토관 내의 액체가 다른 게 들어있으면 위의 벤츄리미터 할 때처럼 하면 됨
{{-}}

==== 분수 ====
[[File:Water fountain Bernoulli.jpg|오른쪽|400픽셀]]

1과 2에 베르누이 방정식을 적용.

<math>z_1 + \frac{p_1}{\gamma} + \frac{{V_1}^2}{2g} = z_2 + \frac{p_2}{\gamma} + \frac{{V_2}^2}{2g}</math>

2의 위치를 기준면이라고 하면

<math>h + 0 + 0 = 0 + 0 + \frac{{V_2}^2}{2g}</math>

이때 <math>p_2 = 0</math>인 이유는 만약 2의 분수가 없고 3에 오리피스가 있어서 대기중으로 물이 방출된다고 할 때와 마찬가지로 2도 대기압을 받기 때문이다.

이론유속 <math>V_2 = \sqrt{2g h}</math>

실제유속 <math>V_t = C_v \sqrt{2g h}</math>

실제 유속을 이용해 2와 분수 끝점에 베르누이 방정식 적용, 물줄기 높이 <math>H_v</math> 계산.

<math>0 + 0 + \frac{{V_t}^2}{2g} = H_v + 0 + 0</math>

== 운동량 방정식 ==
* 극히 짧은 시간에 유체가 어떤 면에 충돌하여 발생하는 반작용의 힘을 구하는 것.
* 가정: 유속은 단면 내에서 일정, 정상류(97, 15-2)
* 유체 운동이 시 공간적으로 급변하는 경우 사용됨(모든 흐름의 해석에 쓰임)(96)

뉴턴의 2법칙을 이용하면 검사체적에 대한 운동량 방정식을 구할 수 있다.
:F Δt = m (V<sub>2</sub> - V<sub>1</sub>) (14-3, 18-2)

96, 97, 04, 08, 10, 12, 16-4 ♣♣♣

<math>{\color{red} F = \frac{\gamma_w}{g} Q ( V_2 - V_1 ) = \rho Q ( V_2 - V_1 ) }</math>

검사체적 설정하고 out : +, in : -, 그리고 x, y좌표 +, - 안 틀리게 해야함

=== 정지판에 미치는 충격력 ===
==== 분류가 고정된 수직평판에 작용하는 경우 ====
[[파일:정지판에 미치는 충격력.png|오른쪽|480x480픽셀]]
질량 보존 법칙 <math>\rho_1 V_1 A_1 + \rho_2 V_2 A_2 = \rho_0 V_0 A_0</math>

비압축성 유체이면 <math>Q_1 + Q_2 = Q_0 </math>

운동량 방정식 <math>\sum F_x = \sum_{out} (\rho V_n A)V_x - \sum_{in} (\rho V_n A)V_x</math>

x방향 수평력은 - R<sub>x</sub> 뿐이고, (V<sub>x</sub>)<sub>out</sub> = 0이므로

<math>- R_x = - \rho Q V_0</math>

{{-}}

==== 경사진 분류가 고정된 수직평판에 작용하는 경우 ====
[[파일:정지판에 미치는 충격력 - 경사진 분류.png|오른쪽|400x400픽셀]]
<math>V_1 = V \sin \theta, \quad V_2 = 0</math>이므로

<math>\begin{align} - F & = \frac{\gamma_w}{g}Q (0 - V \sin \theta ) \\
                  & = - \frac{\gamma_w}{g} AV^2 \sin \theta \\ \end{align}</math>

<math>\therefore F = \frac{\gamma_w}{g}AV^2 \sin \theta</math>

{{-}}

==== 분류가 곡면판에 충돌(θ < 90도) ====
92

[[파일:곡면판에 충돌하는 분류1.png|오른쪽|506x506px]]
x방향에 대해서 V<sub>1</sub> = V, V<sub>2</sub> = V cos θ이므로

<math>\begin{align} - F_x & = \frac{\gamma_w}{g}Q (V\cos \theta - V) \\
                  & = \frac{\gamma_w}{g}QV (\cos \theta - 1) \\
                  & = \frac{\gamma_w}{g}AV^2 (\cos \theta - 1) \end{align}</math>

<math>\therefore F_x = \frac{\gamma_w}{g}AV^2 (1 - \cos \theta)</math>


y방향에 대해서 V<sub>1</sub> = 0, V<sub>2</sub> = V sin θ이므로

<math>\begin{align} F_y & = \frac{\gamma_w}{g}Q (V\sin \theta - 0) \\
                  & = \frac{\gamma_w}{g}QV \sin \theta \\
                  & = \frac{\gamma_w}{g}AV^2 \sin \theta \end{align}</math>

충격력 <math>F = \sqrt{{F_x}^2 + {F_y}^2}</math>

<math>\alpha = \tan^{-1} \left( \frac{F_y}{F_x} \right)</math>

<br />

==== 분류가 곡면판에 충돌(θ = 180도) ====
94

<math>\cos \theta = \cos (180 - \theta_0) = - \cos \theta_0</math>

<math>\begin{align} - F & = \frac{\gamma_w}{g}Q(- V \cos \theta_0- V) \\
                & = \frac{\gamma_w}{g}QV (- \cos \theta_0 - 1 ) \\ \end{align}</math>

여기서 <math>\cos \theta = \cos 180^\circ = -1</math>이므로

<math>F = \frac{2\gamma_w}{g}QV = \frac{2\gamma_w}{g}AV^2</math>

참고 자료
* 조선대 강의자료(구글 검색)

== 오일러의 운동방정식 ==
* 부정류 포함 모든 흐름의 해석에 사용됨(96)

95

운동하는 완전유체에 대해 오일러의 운동방정식

<math>\frac{du}{dt} = X - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x}</math>

<math>\frac{dv}{dt} = Y - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y}</math>

<math>\frac{dw}{dt} = Z - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z}</math>
:X, Y, Z : 단위질량력의 x, y, z 방향 성분

== 속도 포텐셜과 항력 ==
93, 98, 00, 02, 13-3

* 조파 저항 : 물체가 수면에 떠 있거나, 일부가 수면 위에 있을 때만 생기는 유체의 저항.
* 형상 저항 : 유체가 흐를 때 레이놀즈 수가 커지면 물체 후면에 후류(wake)가 생긴다. 이때 압력이 저하되어 물체를 흐름 방향과 반대방향으로 잡아당기는 저항.
** 형상 항력 = 마찰항력 + 압력항력<ref>{{서적인용|제목=유체역학|성=고영하 외|이름=|날짜=2006|판=|출판사=북스힐|쪽=194|장=}}</ref>
** 압력저하에 의한 항력이 압력항력(압력저항) 
* 마찰저항은 Re, 조도, 물체의 형태 등에 영향 받음.(Darcy-Weisbach, Hazen-Poiseuille)
----
♣12, 13-1, 13-2, 16-4, 17-1, 18-2, 18-3 

'''항력'''

<math>D = C_D A \frac{\rho V^2}{2}</math>
* A : 흐름 방향의 물체 투영 면적
* 항력계수 <math>C_D = \frac{24}{Re}</math>

== 각주 ==
<references />

== 참고문헌 ==
* {{서적인용|제목=수리학|날짜=2010|성=김경호|이름=|출판사=한티미디어|쪽=492|판=|장=}}
* {{서적인용|제목=토목기사 필기 과년도 - 수리수문학|날짜=2015|성=임진근 외|이름=|출판사=성안당|쪽=|판=|장=동수역학}}