토목기사 요약/측량학/면체적 계산 문서 원본 보기

== 넓이 계산 ==
곡선부 면적 산정법
* 지거법
* 구적기법(플라니미터법)
* 광학적 주사법
* 방안지법

도형이 곡선으로 둘러싸인 지역 면적계산으로 가장 적합한 것은?(13-2, 14-2, 17-4)
* 방안지법 또는 구적기<ref>{{서적인용|제목=측량학2|성=이재기 외|이름=|날짜=2013|판=|출판사=형설출판사|쪽=|장=5. 면체적 측량}}</ref><ref>{{서적인용|제목=토목기사 필기 측량학|성=최용기 외|이름=|날짜=2015|판=|출판사=성안당|쪽=A-89|장=}}</ref>

97, 98, 01

세 변의 길이가 각각  a, b, c 이고, <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math> 일 때 삼각형의 넓이 A 는

<math> A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} </math>

=== 심프슨 1법칙 ===
♣♣♣ 00, 02, 03, 04

사다리꼴 넓이 + 포물선 넓이 공식으로부터 유도된다.

:<math>\int_a^b f(x) \, dx\approx
\frac{h}{3}\bigg[f(x_0) +f(x_n) + 
4\sum_{j=1}^{n/2}f(x_{ {\color{red} 2j-1 } }) +
2\sum_{j=1}^{n/2-1}f(x_{ {\color{red} 2j } })
\bigg]</math>

이 식에서 <math>n</math>은 구간 <math>[a, b]</math>을 나눈 부분구간의 총 개수를 뜻하며 짝수여야 하고, <math>h = \textstyle \frac{b-a}n</math>은 각 부분구간의 길이이다. 면적측량 시 n이 홀수라면 남는 부분은 사다리꼴의 넓이로 계산하여 더해준다.

=== 심프슨 2법칙 ===
93 / 실기 ♣♣♣

n이 3의 배수일 때 3개의 h씩 묶어 면적을 계산하여 다음 식으로 전체 면적을 구할 수도 있다. n이 3의 배수가 아니면, 2법칙을 적용하고 남는 구간은 심프슨 1법칙으로 계산해서 더한다.
:<math>{\color{red} \frac{3}{8} }h [f(x_0) + f(x_n) + {\color{red} 2 }\Sigma f(x_{\text{3의  배 수 }}) + {\color{red} 3 }\Sigma f(x_{\text{남 은  수 }}) ]</math>

=== 삼각형 면적 분할 ===
20-1+2

밑변이 평행하고 닮은꼴인 삼각형 면적 분할 문제 나옴. 닮음비 이용해서 계산하는 문제.

=== 구적기 ===

도면 축척과 구적기 축척이 다를 경우
 
96

* 도면의 축척이 같을 경우
::<math>A = \left( \frac{M}{m} \right)^2 C n</math>
:::M : 도면의 축척 분모수
:::m : 구적기의 축척 분모수
:::C : 구적기 계수
:::n : 구적기 회전 눈금수(<math>\alpha_2 - \alpha_1</math>)

98

축척이 <math>\frac{1}{m}</math>인 경우의 단위면적 a
:<math>a = m^2 \frac{d \pi}{1000} l</math>
::d : 측륜의 직경
::l : 측간의 길이
::<math>\frac{d \pi}{1000}</math> : 측륜 한 눈금의 크기

== 정도 ==
=== 면적오차와 정도 ===
♣♣

면적오차(부정오차) : A = xy에서

<math>\begin{align} \Delta A & = \pm \sqrt{\left( \frac{\partial A}{\partial x} \right)^2 (\Delta x)^2 + \left( \frac{\partial A}{\partial y} \right)^2 (\Delta y)^2} \\ 
& = \pm \sqrt{(y \cdot \Delta x)^2 + (x \cdot \Delta y)^2} \\ \end{align}</math>

최종표현방법

오차가 없을 때 면적에 부정오차 붙여 표현

<math>A_0 = A \pm \Delta A</math>

♣♣♣ 10, 13-1, 14-2, 15-1, 17-4, 19-1

면적의 정도

<math>A = L^2</math>

:<math>\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta L}{L}</math>

측량의 읽음 단위는 오차보다 작아야 하므로 <u>최소 읽음은 오차와 같다.</u>
----'''14-1, 14-2, 17-4'''

100m<sup>2</sup> 정사각형 토지면적을 0.2m<sup>2</sup>까지 정확하게 측정하려면 한 변의 최대허용오차는 얼마여야 하는가?
----<math>\Delta A = 0.2m^2</math>

A = 100m<sup>2</sup>

<math>L = \sqrt{A} = \sqrt{100m^2} = 10m</math>

<math>\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta L}{L}</math>

<math>\begin{align} \Delta L & = \frac{\Delta A}{A} \times \frac{L}{2} \\
                       & = \frac{0.2}{100} \times \frac{10}{2} \\
                       & = 0.01m = 10mm \end{align}</math>

----

또는 아래와 같이 풀어도 됨. 이게 더 편하다.

<math>\sqrt{100.2} = 10.009995m \doteqdot 10.01m</math>

최대허용오차는 0.01m = 10mm

=== 체적오차와 정도 ===
♣♣

체적오차(부정오차)

<math>\begin{align} \Delta V & = \pm \sqrt{\left( \frac{\partial V}{\partial x} \right)^2 (\Delta x)^2 
    + \left( \frac{\partial V}{\partial y} \right)^2 (\Delta y)^2 + \left( \frac{\partial V}{\partial z} \right)^2 (\Delta z)^2
} \\ 
& = \pm \sqrt{(yz \cdot \Delta x)^2 + (xz \cdot \Delta y)^2 + (xy \cdot \Delta z)^2
} \\ \end{align}</math>

최종 표현 방법 <math>V_0 = V \pm \Delta V</math>

00

체적의 정도(정오차)

<math>V = L^3</math>을 연상하면 됨.

:<math>\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta L}{L}</math>

문제에서 나오는 "오차"는 여기서 Δ붙은 거라고 생각하면 될 듯.(00)

== 토공량 산정 ==
=== 기본식 ===
18-2

* 각주공식
* 양단면 평균법
* 중앙단면법

99, 15-2, 20-1+2

양단면 면적차가 심할 때 산출된 토량의 대소관계 : 양단면 평균법(과대) > 각주공식(정확) > 중앙단면법(과소)

==== 각주공식 ====
[[파일:각주공식.png|오른쪽|370x370픽셀]]

심프슨 1법칙 이용한 것. 가장 정확.

<math>\begin{align} V_0 & = \frac{1}{3} \frac{h}{2} (A_1 + 4A_m + A_2) \\
                  & = \frac{h}{6} (A_1 + 4A_m + A_2) \\ \end{align}</math>

==== 양단면 평균법 ====
05, 13-1, 19-3

<math>V_0 = h \frac{A_1 + A_2}{2}</math>

==== 중앙 단면법 ====
<math>V_0 = A_m \cdot h</math>

=== 등고선을 이용한 체적 계산 ===
==== 각주공식 ====
01

n은 짝수. 홀수일 경우는 짝수까지만 하고 남는 체적은 양단면 평균법으로 구해서 더함.
:<math>V = \frac{h}{3}(A_0 + A_n + 4\Sigma A_{\text{홀 수}} + 2\Sigma A_{\text{짝 수}})</math>
::h : 등고선 간격

=== 점고법에 의한 용적 계산 ===
♣♣♣ 실기 계산 문제

* 운동장, 비행장 같은 넓은 지형의 정지 공사에서 토량 계산 시 점고 계산법이 가장 적당(09)

==== 사각형으로 나눈 전 토공량 계산 ====
02, 04, 13-2

<math>V = \frac{1}{4}A \left( \sum h_1 + 2\sum h_2 + 3 \sum h_3 + 4 \sum h_4 \right) </math>

계획고(평균 표고) <math>h = \frac{V_0}{nA}</math>

==== 삼각형으로 나눈 전 토공량 계산 ====
12-3, 14-3, 19-2

<math>V = \frac{1}{3}A \left( \sum h_1 + 2\sum h_2 + 3 \sum h_3 + 4 \sum h_4 + \cdots + 8\sum h_8 \right) </math>

계획고(평균 표고) <math>h = \frac{V_0}{nA} \quad \left( A = \frac{1}{2}ah \right)</math>

== 유토곡선 ==
* 작성 목적 : 경제적인 노선 선정, 운반거리 산정, 토공기계 선정

05, 09, 16-1
* 유토곡선 기울기가 하향이면 성토구간, 상향이면 절토구간

== 각주 ==