감마 함수는 다음과 같이 정의되는 함수이다.
Γ(α)=∫0∞tα−1e−tdt (t>0)
α≠0 일 때, 일반적으로 다음과 같은 성질을 지닌다.
(1) Γ(α+1)=αΓ(α)
(2) Γ(1−α)Γ(α)=πsin(πα)
감마 함수 f(x)=∫0∞tx−1e−tdt (t>0)에서
x=x′+1을 대입하면,
f(x′+1)=∫0∞tx′e−tdt이다.
이때, 우변 ∫0∞tx′e−tdt를 정리해보자.
∫0∞tx′e−tdt=[−tx′e−t]0∞−∫0∞−x′tx′−1e−tdt
=[−tx′e−t]0∞+x′∫0∞tx′−1e−tdt
=x′∫0∞tx′−1e−tdt
따라서, 감마 함수 f(x)에 대하여
f(x+1)=xf(x)이 성립하므로
f(x)=(x−1)! 이다.
틀:상태상자 위에 증명과정에 의해서 감마함수는 아래와 같이 정의가 된다.틀:위키백과잇기(x−1)!=∫0∞tx−1e−tdt