토목공학/응용역학/단면의 성질

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적분 기호 속에 들어가는 x, y는 y, x축으로부터 미소요소의 도심까지 수직거리이다!

단면 일차 모멘트

♣♣♣

L³. 축의 위치에 따라 양의 값을 가질수도, 음의 값을 가질수도 있다. 도심을 지나는 축에 대한 단면 1차 모멘트는 0

정의

$G_x=\underset{A}{\int }ydA=A\cdot \overline{y}$

$G_y=\underset{A}{\int }xdA=A\cdot \overline{x}$

• $\overline{x},\overline{y}$ : 각각의 축에서부터 단면의 도심까지 거리

도심

♣♣♣ 15-3, 18-1 등등. 꼭 응용역학에서만 나오는 건 아니고 중요함!!

도심(centroid)이란 어떤 임의 단면에서 직교 좌표축에 대한 단면 1차 모멘트가 0이 되는 점.

$\overline{x}=\frac{G_y}{A}$

$\overline{y}=\frac{G_x}{A}$

대표적인 도형의 도심

도형	그림	$\overline{x}$	$\overline{y}$
삼각형		$\frac{b}{3}$	$\frac{h}{3}$
사다리꼴	식을 외우기 싫다면 두 개의 삼각형으로 나눠서 도심을 계산하면 된다.	$\frac{L}{3}\times \frac{B_1+2B_2}{B_1+B_2}$
사분원		$\frac{4r}{3\pi }(=\frac{2D}{3\pi })$	$\frac{4r}{3\pi }(=\frac{2D}{3\pi })$
반원		$0$	$\frac{4r}{3\pi }(=\frac{2D}{3\pi })$

이외 도형의 도심 표 : 영어 위키백과의 도심 목록

예제 1 토목기사 기출 92, 18-3 학교 시험에도 잘 나오는 기본 내용.

오른쪽 그림에서 가로방향 중심을 지나는 축을 X라 할 때, X축이하 단면의, X축에 대한 단면일차모멘트 G_X를 구하시오.

풀이

단면 일차 모멘트를 구하려면 부분부분 나눠서 계산해야 한다. 즉 X축으로부터 면적과 도심까지의 거리를 구하기 쉬운 도형들로 나눠서 구해야 한다.$(G_x=\underset{A}{\int }ydA=A_1{y}_1+A_2{y}_2+A_3{y}_3)$

각각의 치수는 왼쪽 그림에 mm단위로 나타나 있다. 값을 대입하여 G_X를 계산한다.

$\begin{array}{cc}{G}_X& =A_1{y}_1+A_2{y}_2+A_3{y}_3\\ & =-50\cdot 240\cdot 120-400\cdot 60\cdot 270-50\cdot 240\cdot 120\\ & =-9360000m{m}^3=-9360c{m}^3\end{array}$

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13-1, 16-2

그림에서 바닥면으로부터 도심을 계산하면?

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플랜지, 복부로 나눠서 계산한다.

바닥면으로부터 도심까지 거리를 계산한다.

$\begin{array}{cc}\overline{y}& =\frac{\sum G}{\sum A}\\ & =\frac{7\times 3\times 8.5+3\times 7\times 3.5}{7\times 3+3\times 7}\\ & =6cm\end{array}$

단면 이차 모멘트

♣♣♣

정의

$I_x=\underset{A}{\int }{y}^{2}dA$

$I_y=\underset{A}{\int }{x}^{2}dA$

• I_x - x 축에 대한 단면 이차 모멘트
• I_y - y 축에 대한 단면 이차 모멘트

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• 차원: L⁴

16-1 기출

우측 그림에서 빗금친 부분의 x축에 대한 단면이차모멘트를 구하시오.

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$I_x=\underset{A}{\int }{y}^{2}dA$

dA를 구할건데 가로로 잘라야 함. 모멘트를 생각해보자.

틀:-

$x=\sqrt{6y}$

$\begin{array}{cc}dA& =(6-x)dy\\ & =(6-\sqrt{6y})dy\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}{I}_x& =\int y^2(6-\sqrt{6y})dy\\ & =\underset{0}{\overset{6}{\int }}(6y^2-\sqrt{6}{y}^{\frac{5}{2}})dy\\ & =61.714\end{array}$

합성 단면의 단면 이차 모멘트

합성 단면의 단면 이차 모멘트는

$I_{xx}=\mathrm{\Sigma }{y}^{2}A+I_{local}$

로 주어진다. 단, 이 공식은 단면이 x 축에 대해 대칭일 경우에 적용하며, 그렇지 않은 경우에 xx, yy 및 xy축에 대한 단면 이차 모멘트는 다음과 같다.

$I_{yy}=\mathrm{\Sigma }{x}^{2}A+I_{local}$

$I_{xy}=\mathrm{\Sigma }yxA$

• A - 해당 부분의 단면적

$I_{local}$은 합성 단면 중 해당 부분의 단면 이차 모멘트이다.

평행축 정리

♣♣♣18-1, 19-2

중립축과 평행한 임의의 축 x'에 대한 단면 이차 모멘트

$I_{x^{\prime }}=I_x+A{d}^2$

• I_x' - x' 축에 대한 단면 이차 모멘트
• I_x - x' 축과 평행하고 단면의 도심을 지나는 축 x에 대한 단면 이차 모멘트 (중립축과 일치)
• A - 단면의 넓이
• d - 축 사이의 거리

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• 참고 연습문제 : 보일러 엔지니어링 블로그 - 단면 이차모멘트와 단면계수. 이거 이해하면 단면이차모멘트, 평행축 정리, 단면계수를 웬만큼 다 이해했다고 봐도 좋을 듯.

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오른쪽 T형 단면에서 중립축에 대한 단면이차모멘트를 구하면?

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플랜지부분, 복부 나눠서 평행축 정리를 적용해 계산 후 더해준다.

플랜지에 대해선 잘 구했는데 복부에 대해선 틀리게 계산했었다.

플랜지에 대하여

$\begin{array}{cc}{I}_f& =\frac{7\cdot 3^3}{12}+7\times 3\times 2.5^2\\ & =147c{m}^4\\ \end{array}$

복부에 대한 계산을 잘못하지 않도록 주의

틀:- 복부에 대하여

$\begin{array}{cc}{I}_w& =\frac{3\cdot 7^3}{12}+3\times 7\times 2.5^2\\ & =217c{m}^4\\ \end{array}$

$I=I_f+I_w=364c{m}^4$

대표적인 도형에 대한 단면 이차 모멘트

♣♣♣

I₀는 도심을 지나는 축에 대한 단면 이차 모멘트, I는 도심을 지나는 축에 평행한 축에 대한 단면 이차 모멘트라고 하면,

설명	그림	단면 이차 모멘트	비고
반지름 $r$(지름 D)인 원		$I_0=\pi r^4/4=\pi D^4/64$
너비 $b$, 높이 $h$인 직사각형		$I_0=b{h}^3/12$
너비 $b$, 높이 $h$인 직사각형		$I=b{h}^3/3$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. 유도과정은 여기에
밑변 $b$, 높이 $h$인 삼각형		$I_0=b{h}^3/36$	수리수문학 96
밑변 $b$, 높이 $h$인 삼각형		$I=b{h}^3/12$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. 평행축 정리를 이용해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리 $h/3$).

• 정사각형 도심에 대한 단면이차모멘트는 축 방향에 관계없이 일정.(93, 97, 00, 19-1)

단면 2차 반경

♣♣♣96, 99, 17-4, 18-1, 19-1

$r_x=\sqrt{\frac{I_x}{A}}$

$r_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}$

단면계수

♣♣♣ 14-3, 18-1, 19-1 등등. 다른 과목과의 연계성도 있다.

단면계수(Section Modulus, S)는 도심축에 대한 단면 이차 모멘트를 단면의 가장 끝단에서 도심(centroid)까지의 거리로 나눈 값

$S_X=\frac{I_X}{y_{max}}$

$S_Y=\frac{I_Y}{x_{max}}$

Section modulus equations(실선 화살선 : 도심축)

Cross-sectional shape	그림	공식
사각형		$S=\frac{b{h}^2}{6}$
원		$S=\frac{\pi r^3}{4}=\frac{\pi d^3}{32}$

최대 단면계수를 갖기 위한 조건(18-3)

가장 왼쪽 그림처럼 세 변의 길이 비가 $1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$이어야 함.

단면 2차 극모멘트

♣♣♣12-3, 16-2, 18-1

polar moment of inertia. 극관성 2차 모멘트라고도 함. 좌표축 회전 관계없이 항상 일정.

$I_P=\underset{A}{\int }{r}^{2}dA=\underset{A}{\int }(x^2+y^2)dA=I_y+I_x$ 틀:-

단면 상승 모멘트

= 관성적(product of inertia). +, -, 0 모두 가능(15-1, 16-4, 17-2)

비대칭 단면일 때(일반식) (19-2)

$I_{xy}=\underset{A}{\int }xydA$

대칭 단면이지만 축이 단면 도심을 지나지 않을 때♣♣♣

$I_{xy}=A\cdot \overline{x}\cdot \overline{y}$

대칭 단면이면서, 축이 단면 도심을 지날 때(17-4)

축이 단면 도심을 지나면 단면상승모멘트 I_xy = 0

$I_{xy}=0$

비대칭 삼각형의 경우(13-3, 19-2)

$y=h-\frac{h}{b}x=h(1-\frac{x}{b})$

$dA=ydx$

$\begin{array}{cc}{I}_{xy}=\underset{A}{\int }xydA& =\underset{0}{\overset{b}{\int }}x\left(\frac{y}{2}\right)ydx\\ & =\frac{h^2}{2}\underset{0}{\overset{b}{\int }}x{(1-\frac{x}{b})}^{2}dx\\ & =\frac{b^2{h}^2}{24}\end{array}$

결론 식만 암기!

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1. 95, 17-4

오른쪽 그림에 대해 단면 상승 모멘트를 구하시오.

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풀이

$\begin{array}{cc}{I}_{xy}& =A\cdot \overline{x}\cdot \overline{y}\\ & =36\times 3\times 3-16\times 4\times 4\\ & =68\\ \end{array}$ 틀:-

참고 자료

• 틀:서적인용
• 틀:서적인용
• Nasreddin S. Elmezaini, Mechanics of Materials - Product of Inertia(pdf)