응력-변형률 및 과잉간극수압

목차 : 토질역학

---

지반에 초기하중 외에 외부에서의 추가하중이 작용할 때

• 물이 없을 때 : 모든 응력을 흙이 받음
• 물이 존재하나, 사질토 지반일 때 : 응력 증가량을 흙이 받음
• 물이 존재하고, 잘 빠져나가지 않을 때
  • 물은 비압축성→부피변화 없어서 하중 받음. 응력 증가량을 수압으로 버틴다. 과잉간극수압 발생.

일축압축하중

수평방향 응력증가는 없고 연직방향으로만 응력 증가가 있는 경우. 연직방향이 z라 할 때

등방압밀하중

연직방향 응력증가량 Δσ_z = 수평방향 응력증가량 Δσ_h인 경우 등방압밀하중 상태라 한다.

각 방향 변형률은

${ϵ}_x=\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_x}{E}-\frac{\mu }{E}(\mathrm{\Delta }{\sigma }_y+\mathrm{\Delta }{\sigma }_z)$

${ϵ}_y=\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_y}{E}-\frac{\mu }{E}(\mathrm{\Delta }{\sigma }_x+\mathrm{\Delta }{\sigma }_z)$

${ϵ}_z=\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_z}{E}-\frac{\mu }{E}(\mathrm{\Delta }{\sigma }_x+\mathrm{\Delta }{\sigma }_y)$

체적변형률은

$\begin{array}{cc}{ϵ}_v& ={ϵ}_x+{ϵ}_y+{ϵ}_z\\ & =\frac{1-2\mu }{E}(\mathrm{\Delta }{\sigma }_x+\mathrm{\Delta }{\sigma }_y+\mathrm{\Delta }{\sigma }_z)\\ & =\frac{3\mathrm{\Delta }\sigma }{E}(1-2\mu )\end{array}$

삼축압축하중

등방압밀하중에 축차응력만큼의 일축압축하중을 더한 것.

• 축차응력(deviator stress) $\mathrm{\Delta }{\sigma }_d=\mathrm{\Delta }{\sigma }_1-\mathrm{\Delta }{\sigma }_3$

횡방향 구속 하의 축하중

횡방향 변위는 절대 없게 하면서 연직방향 응력을 증가시키는 것. 실제 현장에선 무한 등분포 하중을 생각하면 된다. 깊이에 관계없이 응력 증가량이 일정.

암기

$K_0=\frac{\mu }{1-\mu }$

μ : 포아송비

---

• 횡방향 구속하의 변형계수(constrained modulus) $D=\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_v}{{ϵ}_v}=\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_z}{{ϵ}_z}$
• 체적변형계수(coefficient of volume change) $m_v=\frac{1}{D}=\frac{{ϵ}_v}{\mathrm{\Delta }{\sigma }_v}$

위 곡선에서 ε_v 대신 e, Δσ_v를 로그축에 그리면 다음처럼 직선이 나온다.

여기서 압축지수(compression index) $C_c=\frac{\mathrm{\Delta }e}{\mathrm{\Delta }(\log {\sigma }_v)}=-\frac{de}{d(\log {\sigma }_v)}$

압축계수(coefficient of compressibility) $a_v=\frac{\mathrm{\Delta }e}{\mathrm{\Delta }{\sigma }_v}=-\frac{de}{d{\sigma }_v}$

$m_v=\frac{a_v}{1+e_0}$

$C_c=\frac{(1+e_0){\sigma }_v}{0.435D}$

A점의 (p, q)값은

$(\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_v(1+K_0)}{2},\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_v(1-K_0)}{2})$

과잉간극수압

등방압밀하중의 경우

이때의 과잉간극수압 $u=B\mathrm{\Delta }\sigma$

B : Skempton의 과잉간극수압 B계수. 포화도 S에 따른 함수. S=0이면 B=0(완전건조된 흙은 수압이 있을 수 없다). S=1이면 B=1

일축압축하중의 경우

이때의 과잉간극수압 $u=BA\mathrm{\Delta }{\sigma }_1$

A : Skempton의 A계수. 체적 감소 시 +, 체적 증가 시 -

D = B A

삼축압축하중의 경우

이때의 과잉간극수압은 등방압밀하중과 일축압축하중의 경우를 합친 것으로 생각한다.

Skempton의 과잉간극수압 공식(암기)

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }u& =B\mathrm{\Delta }{\sigma }_3+BA(\mathrm{\Delta }{\sigma }_1-\mathrm{\Delta }{\sigma }_3)\\ & =B[\mathrm{\Delta }{\sigma }_3+A(\mathrm{\Delta }{\sigma }_1-\mathrm{\Delta }{\sigma }_3)]\\ \end{array}$

예제

q = 60kN/m, x = 5m, z = 5m일 때, 오른쪽 하단의 흙입자에 작용하는 과잉간극수압은? 물은 잘 빠져나가지 않으며, A = 0.65

---

$\mathrm{\Delta }{\sigma }_z=\frac{2q{z}^3}{\pi (x^2+z^2{)}^2}$

$\mathrm{\Delta }{\sigma }_x=\frac{2q{x}^{2}z}{\pi (x^2+z^2{)}^2}$

$\mathrm{\Delta }{\tau }_{xz}=\frac{2qx{z}^2}{\pi (x^2+z^2{)}^2}$

$\mathrm{\Delta }{\sigma }_z=\mathrm{\Delta }{\sigma }_x=\mathrm{\Delta }{\tau }_{xz}=1.909kN/m^2$

응력증가량을 주응력으로 착각하지 말 것. 주응력을 구해야 한다.

$\begin{array}{cc}{\sigma }_1& =\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_z+\mathrm{\Delta }{\sigma }_x}{2}+\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_z-\mathrm{\Delta }{\sigma }_x}{2}\right)}^2+{\mathrm{\Delta }{\tau }_{xz}}^2}\\ & =1.910+1.910\\ & =3.82kN/m^2\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\sigma }_3& =\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_z+\mathrm{\Delta }{\sigma }_x}{2}-\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_z-\mathrm{\Delta }{\sigma }_x}{2}\right)}^2+{\mathrm{\Delta }{\tau }_{xz}}^2}\\ & =1.910-1.910\\ & =0\end{array}$

$\begin{array}{cc}\therefore \mathrm{\Delta }u& =B[\mathrm{\Delta }{\sigma }_3+A(\mathrm{\Delta }{\sigma }_1-\mathrm{\Delta }{\sigma }_3)]\\ & =0+0.65\times 3.82\\ & =2.483kN/m^2\end{array}$

09 기사

지하수위가 지표면과 일치하는 연약지반 위에 양질의 흙으로 매립 성토하였다. 매립 끝난 후 매립 지표로부터 5m 깊이의 과잉간극수압은?

---

$\mathrm{\Delta }u=B[\mathrm{\Delta }{\sigma }_3+A(\mathrm{\Delta }{\sigma }_1-\mathrm{\Delta }{\sigma }_3)]$

이용.

$\mathrm{\Delta }{\sigma }_1=1.8\times 5=9.0t/m^2$

$\mathrm{\Delta }{\sigma }_3=K_0\mathrm{\Delta }{\sigma }_1=5.4t/m^2$

전부 대입하면

$\mathrm{\Delta }u=7.92t/m^2$ 틀:-

횡방향 구속하의 축하중의 경우

$\mathrm{\Delta }u=C\mathrm{\Delta }{\sigma }_1$

C : 포화도에 따른 계수. 건조 시 0, 포화 시 1

등방압밀하중의 경우와 마찬가지로 횡방향 구속 하의 축하중 재하 시에도 응력 증가량은 모두 과잉간극수압 상승을 유발한다.