수리학/상사 법칙

모형과 원형의 상사성

• 기하학적 상사성 : 형태만의 상사, 크기의 비
• 운동학적 상사성 : 기하학적 상사시에 유속(시간)의 비가 동일할 때 성립
• 동역학적 상사성 : 기하학적, 운동학적 상사성이 성립하는 흐름에서 각 대응점의 힘의 비가 같고 유체의 질량비가 같을 때 성립.

특별상사의 법칙

프루드의 법칙

중력과 관성력이 흐름을 지배하는 경우(개수로, 오리피스, 위어, 하천 모형 실험, 댐, 여수로, 수공 구조물 등)

암기하지 않고 유도하면 됨.

$F{r}_p=F{r}_m$

$\frac{V_p}{\sqrt{g_p{D}_p}}=\frac{V_m}{\sqrt{g_m{D}_m}}$

양변을 모델값으로 나누면

$\frac{V_r}{\sqrt{g_r{D}_r}}=1$

g_r = 1이므로

$\frac{V_r}{\sqrt{D_r}}=1$

$\therefore V_r=\sqrt{D_r}=\sqrt{L_r}$

이를 이용해 T_r, Q_r을 계산할 수 있다.

결과식

$T_r=\frac{T_m}{T_p}=\sqrt{L_r}$

$V_r=\frac{V_m}{V_p}=\sqrt{L_r}$

$Q_r=\frac{Q_m}{Q_p}={L_r}^{\frac{5}{2}}$

• r : 실물(p)에 대한 모델(m)의 비(ratio)$\left(\frac{m}{p}\right)$
• m : 모델값
• p : 실물값(practical)
• L_r : 축척

레이놀드의 법칙

• 관수로와 같이 마찰력, 점성력이 흐름을 지배하는 경우
• 레이놀즈 수 : 점성력에 대한 관성력의 상대적인 크기
• $Re=\frac{VD}{\nu }$

역시 암기하지 않고 유도하면 됨.

$R{e}_p=R{e}_m$

$\frac{V_p{D}_p}{{\nu }_p}=\frac{V_m{D}_m}{{\nu }_m}$

양변을 모델값으로 나눠주면

$\frac{V_r{D}_r}{{\nu }_r}=1$

${\nu }_r=1$이므로

$\therefore V_r={D_r}^{-1}={L_r}^{-1}$

웨버의 법칙

• 위어의 월류 수심이 작을 때, 또는 파고가 극히 작은 파동 등, 표면장력이 유체운동을 지배하는 경우

왜곡모형의 상사

X, Y방향의 축척이 다른 경우 왜곡모형이라고 함. X, Y방향으로 동일 축척으로 줄였을 때 너무 값이 작아져서? X방향 따로, Y방향 따로 축척을 주는 경우에 해당함.

위의 특별상사 법칙에서 쓴대로 하면 되는데 Q = AV를 사용할 때 A값이 L²이 아니라 XY라고 바꿔서 계산해주는 등으로 해주면 된다.