포털:고등학교/수학/수학 II/기본적인 미분 공식

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기본적인 미분법

• 들어가기 전에... c는 상수이며, k는 상수함수인 것을 알아두기 바란다.

기본 성질

• $(k{)}^{\prime }=0$

• $(cf(x){)}^{\prime }=c{f}^{\prime }(x)$

• $(f(x)+g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$

증명

• $(k{)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{k-k}{h}=0$
• $(cf(x){)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }c\cdot \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=c{f}^{\prime }(x)$
• $(f(x)+g(x){)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x))}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h})=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$

곱의 법칙

• $(f(x)g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

증명

• $(f(x)g(x){)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h)(f(x+h)-f(x))+f(x)(g(x+h)-g(x))}{h}$

$=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

연쇄법칙

• $(f(g(x)){)}^{\prime }=g^{\prime }(x)f^{\prime }(g(x))$

연쇄법칙의 증명은 생략합니다.

몫의 법칙

• $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}$

증명

연쇄법칙과 곱의 법칙을 이용합니다.

• $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=f^{\prime }(x)\cdot \frac{1}{g(x)}-f(x)\cdot \frac{g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}$

여러 가지 함수의 미분법

다항함수의 미분

• $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ (단, n은 자연수)

증명

• $(x^n{)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^n-x^n}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h-x)((x+h{)}^{n-1}+x(x+h{)}^{n-2}+\cdots +x^{n-2}(x+h)+x^{n-1})}{h}=n{x}^{n-1}$

삼각함수의 미분

• $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$
• $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

증명

• $(\sin x{)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2\cos (x+\frac{h}{2})\sin \frac{h}{2}}{h}=\cos x$
• $(\cos x{)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (x+h)-\cos x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-2\sin (x+\frac{h}{2})\sin \frac{h}{2}}{h}=-\sin x$

지수함수의 미분

• $(e^x{)}^{\prime }=e^x$
• $(a^x{)}^{\prime }=a^x\cdot \ln a$

증명

• $(e^x{)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^x(e^h-1)}{h}=e^x$
• $(a^x{)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^x(a^h-1)}{h}=a^x\cdot \ln a$

로그함수의 미분

• $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
• $(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$

증명

• $(\ln x{)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln (x+h)-\ln x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+\frac{h}{x})}{\frac{h}{x}\cdot x}=\frac{1}{x}$
• $(\log x{)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\log (x+h)-\log x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\log (1+\frac{h}{x})}{\frac{h}{x}\cdot x}=\frac{1}{x\ln a}$