포털:고등학교/수학/수학 I/케일리-해밀턴의 정리

틀:수학잇기 틀:위키백과잇기 틀:상태상자 고등학교 교육과정에서 케일리-해밀턴(Cayley-Hamiltion)의 정리란, 다음과 같은 2차 정사각행렬들에 대해,

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

다음과 같은 식이 성립한다는 것입니다.

$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$

케일리-해밀턴 정리에서 주의할 점

케일리-해밀턴의 정리에서 역은 성립하지 않습니다. $A=kE$를 만족하는 행렬의 경우를 생각해 봅니다.

가령, $A=3E$라고 가정하면, 다음을 만족합니다.

$A^2-4A+3E=O$

그러나 식에서 케일리-해밀턴의 정리를 이용하면 $a+d=6\mathrm{\ne }4,ad-bc=9\ne 3$입니다.

그러므로, 케일리-해밀턴의 정리의 역은 성립하지 않는 것입니다.