포털:고등학교/수학/수학 Ⅰ(2007 개정)/이차 정사각행렬의 역행렬

틀:상태상자 학습 목표: 이차 정사각행렬의 역행렬을 구할 수 있다.

이차 정사각행렬의 역행렬

이차 정사각행렬 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$의 역행렬이 존재하기 위한 필요충분조건과 그 역행렬을 구하는 방법을 알아보겠습니다.

행렬 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$의 역행렬 $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$를 가진다고 가정하면 $AX=E$이므로

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ax+bz& ay+bw\\ cx+dz& cy+dw\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

입니다. 따라서 두 행렬이 서로 같을 조건으로부터 다음 두 연립방정식을 얻습니다.

$\{\begin{array}{cc}ax+bz=1& \cdots \cdots \left(1\right)\\ cx+dz=0& \cdots \cdots \left(2\right)\end{array},\{\begin{array}{cc}ay+bw=0& \cdots \cdots \left(3\right)\\ cy+dw=1& \cdots \cdots \left(4\right)\end{array}$

$\left(1\right),\left(2\right)$에서

$(ad-bc)x=d\cdots \cdots \left(5\right),(ad-bc)z=-c\cdots \cdots \left(6\right)$

$\left(3\right),\left(4\right)$에서

$(ad-bc)y=-b\cdots \cdots \left(7\right),(ad-bc)w=a\cdots \cdots \left(8\right)$

그런데 $ad-bc=0$이면 $\left(5\right),\left(6\right),\left(7\right),\left(8\right)$에서 $a=b=c=d=0$이므로 $A=O$가 되어 $AX=E$일 수 없습니다. 따라서 $ad-bc\ne 0$입니다. 이때 $\left(5\right),\left(6\right),\left(7\right),\left(8\right)$에서

$x=\frac{d}{ad-bc},y=\frac{-b}{ad-bc},z=\frac{-c}{ad-bc},w=\frac{a}{ad-bc}$

입니다. 따라서 행렬 $A$의 역행렬 $X$는 다음과 같습니다.

$X=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$

역으로 $ad-bc\ne 0$이면 행렬 $X=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$에 대하여 $AX=XA=E$이므로, 행렬 $X$는 행렬 $A$의 역행렬입니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.

이차 정사각행렬의 역행렬 행렬 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$에 대하여 ① $ad-bc\ne 0$일 때, $A$의 역행렬이 존재하고 $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$ ② $ad-bc=0$일 때, $A$의 역행렬이 존재하지 않습니다.

정사각행렬 $A$의 역행렬 $A^{-1}$가 존재할 때,

$A{A}^{-1}=A^{-1}A=E$

이므로 $A^{-1}$의 역행렬이 $A$임을 알 수 있습니다. 즉

$(A^{-1}{)}^{-1}=A$

입니다. 또 두 정사각행렬 $A,B$의 역행렬 $A^{-1},B^{-1}$가 존재할 때,

$(AB)(B^{-1}{A}^{-1})=A(B{B}^{-1})A^{-1}=AE{A}^{-1}=A{A}^{-1}=E$

$(B^{-1}{A}^{-1})(AB)=B^{-1}(A{A}^{-1})B=AE{A}^{-1}=B^{-1}B=E$

이므로 $AB$의 역행렬이 $B^{-1}{A}^{-1}$임을 알 수 있습니다. 즉

$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

입니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.

역행렬의 성질 두 정사각행렬 $A,B$의 역행렬 $A^{-1},B^{-1}$가 존재할 때, ① $(A^{-1}{)}^{-1}=A$ ② $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$