구조역학/에너지법을 이용한 방법

• 에너지 보존 법칙 : 외부 하중에 의한 일과 부재 내부 힘에 의한 일은 동일하다.

외적 일

어떤 기둥을 축방향으로 F₁만큼 당겨서 Δ₁의 변형이 생겼다. 여기에 F₂만큼 추가하중을 줘서 총 변형이 Δ₁ + Δ₂가 됐다면 외적 일은

$W_e=\frac{1}{2}{F}_1{\mathrm{\Delta }}_1+\frac{1}{2}{F}_2{\mathrm{\Delta }}_2+F_1{\mathrm{\Delta }}_2$

내적 일

dA 부분에 작용하는 힘$=\left(\frac{M}{I}y\right)dA$

dx 부분 변형량$=ϵdx=\frac{\sigma }{E}dx=\frac{My}{EI}dx$

$\begin{array}{cc}\text{내 적 일 }& =\frac{1}{2}\underset{Vol}{\int }\left(\frac{M}{I}ydA\right)\left(\frac{My}{EI}dx\right)\\ & =\frac{1}{2}\underset{L}{\int }\frac{M^2}{EI}dx\\ \end{array}$

가상일의 원리를 이용한 단위하중법

• 
  가상계
• 
  실제계

$\mathrm{\Delta }=\int \overline{S}dv(\overline{P}=1)$

예시

틀:- $\mathrm{\Delta }=\int \overline{m}\frac{M}{EI}dx=\underset{0}{\overset{L}{\int }}(-x)(-\frac{Px}{EI})dx=\frac{P{L}^3}{3EI}$

Product Integral

$\underset{0}{\overset{L}{\int }}{m}_1{m}_{2}dx=A\cdot y$

$\underset{0}{\overset{L}{\int }}{m}_1{m}_{2}dx=\frac{Lab}{3}$

$\underset{0}{\overset{L}{\int }}{m}_1{m}_{2}dx=\frac{Lab}{6}$

$\underset{0}{\overset{L}{\int }}{m}_1{m}_{2}dx=\frac{L}{6}[a(2c+d)+b(2d+c)]$

$\underset{0}{\overset{L}{\int }}{m}_1{m}_{2}dx=\frac{Lab}{2}$

$\underset{0}{\overset{L}{\int }}{m}_1{m}_{2}dx=\frac{L}{6}a(2c+d)$

온도처짐

$\mathrm{\Delta }=\frac{L^2}{2}\frac{\alpha (T_1-T_2)}{h}$

프레임 처짐 계산 예제1

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반력 계산

전단력도

모멘트도

이제 처짐을 구하길 원하는 점에 원하는 방향의 단위하중만을 재하한 가상계를 생각한다. 반력까지 구하면

전단력도

모멘트도

이제 실제계의 모멘트도와 가상계의 모멘트도를 이용하여 처짐을 계산한다.

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }& =\frac{1}{EI}(\frac{H}{3}H\cdot PH+\frac{L}{3}H\cdot PH)\\ & =\frac{1}{EI}\frac{H^{2}P}{3}(H+L)\\ \end{array}$

트러스에 가상일의 원리 적용

• 
  실제계
• 
  가상계

$\mathrm{\Delta }=\int \overline{S}dv=\sum \overline{p}\frac{FL}{EA}$

카스틸리아노의 2 정리

$\mathrm{\Delta }=\frac{\partial U}{\partial P}$

길이 L인 단순보에서 예를 들면

$U=\frac{1}{2}\int \frac{M^2}{EI}dx$

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }& =\frac{\partial U}{\partial P}\\ & =\frac{\partial U}{\partial M}\frac{\partial M}{\partial P}\\ & =\int \frac{M}{EI}\frac{\partial M}{\partial P}dx\end{array}$

트러스에서 예를 들면

$U=\frac{1}{2}\sum \frac{F^{2}L}{EA}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }& =\frac{\partial U}{\partial P}\\ & =\frac{\partial U}{\partial F}\frac{\partial F}{\partial P}\\ & =\sum \frac{FL}{EA}\left(\frac{\partial F}{\partial P}\right)\end{array}$