토목공학/응용역학/보의 처짐

기사 출제 1위 ♣♣♣

부호 약속

• 처짐 : 하향 +, 상향 -
• 처짐각 : 변형 전 축 기준 시계방향 +, 반시계방향 -

계산 방법

15-2 종류 물어봄

1. 모멘트 면적법
2. 탄성하중법 : 단순보에만
3. 공액보법 : 내민보, 외팔보, 연속보에 적용 가능. 단순보에만 적용가능한 탄성하중법을, 이러한 형태의 보에도 가능하도록 보를 바꾼 것을 공액보라고 함. 뼈대에는 어려움
4. (공액구조법(conjugate structure method))
5. 가상일법(가상단위하중법)
6. 카스틸리아노의 제 2법칙

이 방법들은 부정정보, 골조와 트러스 반력 계산에도 사용된다.

그 외

• 이중적분법(Double Integration Method)

모멘트면적법

Saint Venant에 의해 발견. Mohr, Greene이 개선.

♣♣♣ 15-2, 16-1, 17-2 등등

• 제 1정리 : 부재 두 점에서 그은 탄성곡선 접선 사이 처짐각 변화량은 두 점 사이 모멘트도 면적을 EI로 나눈 것과 동일

${\theta }_{AB}=\underset{A}{\overset{B}{\int }}\frac{M}{EI}dx$

• 제 2정리 : 보의 탄성곡선 한 점에서의 접선이 탄성곡선의 다른 점과 이루는 상대적인 처짐량은 처짐을 계산코자 하는 점에서 취한 두 점 사이 모멘트도 면적의, A점을 지나는 축에 대한 단면 1차 모멘트를 EI로 나눈 것과 동일

${\mathrm{\Delta }}_{AB}=\underset{A}{\overset{B}{\int }}\frac{Mx}{EI}dx$

탄성하중법

• 탄성하중 : 모멘트를 EI로 나눈 값. 이것을 하중으로 작용시키기 때문에 탄성 '하중'이라고 함.

17-4

파일:탄성하중법.jpg

• A를 M/EI도의 면적이라고 하면, 처짐($\mathrm{\Delta }$)은 ${\mathrm{\Delta }}_L=Ax,{\mathrm{\Delta }}_R=Ay$이고, 두 접선 사이의 각은 A이다.
• 가상의 보에 M/EI도에 따라 하중이 재하되면, 반력은 $R_L=\frac{Ay}{L}$, $R_R=\frac{Ax}{L}$이다.
• 처짐각$(\theta )$은 ${\theta }_L=\frac{{\mathrm{\Delta }}_R}{L}=\frac{Ay}{L},{\theta }_R=\frac{{\mathrm{\Delta }}_L}{L}=\frac{Ax}{L}$

탄성하중법에 대한 핵심 정리

이게 모멘트면적법, 탄성하중법에 대한 핵심임!

1. 단순보 임의 점에서 탄성곡선의 처짐각$(\theta )$(양쪽 지점을 현으로 하였을 때 측정한 값)은 M/EI도가 하중으로 작용하는 보에서 그 점의 전단력과 동일하다.
2. 단순보 임의 점에서 탄성곡선의 처짐($\mathrm{\Delta }$)(양쪽 지점을 현으로 하였을 때 측정한 값)은 M/EI도가 하중으로 작용하는 보에서 그 점의 모멘트와 동일하다.

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17-4

D점 처짐각, 수직처짐? EI는 일정

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곡률도(EI는 편의상 생략함.)만큼이 분포하중으로 보고 반력부터 계산한다.

틀:-$\begin{array}{cc}{V}_A& =\frac{1}{2}\times \frac{Pl}{4}\times \frac{l}{2}\\ & =\frac{P{l}^2}{16}\\ \end{array}$

D점 처짐각은 곡률도만큼 분포하중이 작용할 때 D점에서 전단력과 동일

$\begin{array}{cc}{\theta }_D& =V_A-\frac{1}{2}\times \frac{Pl}{8}\times \frac{l}{4}\\ & =\frac{P{l}^2}{16}-\frac{1}{2}\times \frac{Pl}{8}\times \frac{l}{4}\\ & =\frac{3P{l}^2}{64}\\ \end{array}$

D점 수직처짐은 곡률도만큼 분포하중이 작용할 때 D점에서 모멘트와 동일

$\frac{P{l}^2}{16}\times \frac{l}{4}+M=\frac{P{l}^2}{64}\times \frac{l}{12}$

$\begin{array}{cc}M& =P{l}^3(\frac{1}{64\times 12}-\frac{1}{16\times 4})\\ & =P{l}^3\times (-\frac{11}{768})\\ \end{array}$

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14-1, 16-4

A점의 처짐각은? EI는 일정하다.

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탄성하중법을 쓸 것이다. 먼저 반력을 구하고, 휨모멘트를 구한다음 EI로 나눈 값만큼을 하중으로 재하시킨 탄성하중도를 그린다.

$\sum M_B=0$

$M_B=V_A\cdot l$

$V_A=\frac{M_B}{l}$

틀:-

$\sum M_B=0$

$V_A\times l=\frac{M_{B}l}{2EI}\times \frac{l}{3}$

$V_A=\frac{M_{B}l}{6EI}$

A점 처짐각은 A점에서의 전단력과 같다. A점 전단력은 V_A이므로

${\theta }_A=\frac{M_{B}l}{6EI}$

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16-2 보의 최대처짐 위치

Deflection

EI가 일정할 때 최대처짐 위치는 A로부터 얼마 떨어진 곳인가?

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탄성하중법을 쓸 것이다. 공액보에 탄성하중을 재하했을 때 전단력이 0인 점이 최대모멘트 발생점이고, 그곳이 최대처짐점이다.

우선 원구조물에서 전단력도를 그리고, 공액보의 탄성하중도를 그린다.

A점에서 모멘트합을 취하면 B점 반력을 구할 수 있다. 계산은 생략.

다음 단계로, B점에서부터 x만큼 떨어진 임의 지점에서의 전단력이 0이 되는 지점을 구한다.

$\frac{125}{\cancel{8}}\cancel{P}=\cancel{\frac{1}{2}}\times \frac{\cancel{P}x}{\cancel{4}}\times x$

$x^2=125$

x = 11.18m

A로부터의 거리는 20 - 11.18 = 8.82m

공액보법

♣♣♣

원 구조에서 모멘트도를 구한 뒤, EI로 나눈 곡률도만큼 탄성하중을 원 구조의 공액보에 재하하여 처짐, 처짐각을 계산

Real support vs Conjugate support

Real beam		Conjugate beam
Fixed support		Free end
$v=0$ $\theta =0$		$\bar{M}=0$ $\bar{Q}=0$
Free end		Fixed support
$v=0$ $\theta =0$		$\bar{M}=0$ $\bar{Q}=0$
Hinged support		Hinged support
$v=0$ $\theta =0$		$\bar{M}=0$ $\bar{Q}=0$
Middle support		Middle hinge
$v=0$ $\theta$:continue		$\bar{M}=0$ $\bar{Q}$:continue
Middle hinge		Middle support
$v$:continue $\theta$:discontinue		$\bar{M}$:continue $\bar{Q}$:discontinue

Examples of conjugate beam

Real beam		Conjugate beam
Simple beam
Cantilever beam
Left-end Overhanging beam
Both-end overhanging beam
Gerber's beam (2 span)
Gerber's beam (3 span)

00, 16-1 기출

최대처짐각 θ_B를 구하시오.

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반력계산

A에서 B까지 탄성하중도의 면적을 구하면 B에서의 최대처짐각이다.

사다리꼴 면적 + 포물선 면적하면 된다.

$\frac{w{l}^3}{8EI}+\frac{1}{3}\times \frac{l}{2}\times \frac{w{l}^2}{8EI}=\frac{7w{l}^3}{48EI}$

가상일의 방법

♣♣♣ 14-3, 15-1, 17-4, 18-1

구하고자 하는 점에 가상 단위 하중 1을 작용시켜 처짐을 구하는 방법.

$y_x=\underset{0}{\overset{l}{\int }}\frac{M\cdot m}{EI}dx$

처짐각을 구하고자 한다면 가상 단위 모멘트 1을 작용시켜야 된다. 처짐각 계산은 모멘트면적법이 편함.

Product Integral

$\underset{0}{\overset{L}{\int }}{m}_1{m}_{2}dx=\frac{L}{6}[a(2c+d)+b(2d+c)]$

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16-1

B점의 수평변위는? EI는 일정.

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M, m을 찾는다.

$M=-P\times 2r=-2Pr$

$m=-1\times x=-x$

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }& =\frac{1}{EI}\underset{0}{\overset{h}{\int }}2Prxdx\\ & =\frac{2Pr}{EI}\underset{0}{\overset{h}{\int }}xdx\\ & =\frac{Pr{h}^2}{EI}\end{array}$

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15-2, 18-3

수직외력이 없으니 수직반력도 0임!!

$\begin{array}{cc}EI\mathrm{\Delta }& =\frac{7}{6}[4(2\times 105)+4\times 105]\\ & =1470kg\cdot m^3\\ \end{array}$

문제 조건에서 $EI=2\times 10^{9}kg\cdot c{m}^2$

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }& =\frac{1470kg\cdot m^3}{EI}\\ & =\frac{1470\times 10^{6}kg\cdot c{m}^3}{2\times 10^{9}kg\cdot c{m}^2}\\ & =0.735cm=7.35mm\end{array}$

암기해야할 변형값

♣♣♣ 14-2, 14-3, 16-2, 18-1, 18-3, 19-1

확실히 못 외우겠으면 그냥 계산하는 것도 나쁘지 않은 듯. 시간 남는다면.

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19-2 기출

중앙점 처짐 δ=0이 되도록 양쪽 지점에 모멘트 M을 작용시키려고 한다. M을 P, L로 나타내면?

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δ는 암기한 값을 쓰거나 정 안 되면 계산해서 구한다.

$\delta =\frac{P{L}^3}{48EI}$

양쪽 지점에 모멘트를 가한 것에 의해 발생하는 변위가 위 δ와 상쇄되면 된다.

모멘트도를 그리고, M을 제거한 단순보의 변위를 구하고자 하는 점에 단위하중을 재하한 가상계의 모멘트도 m을 구한다. 변위일치법을 이용해 M에 의한 변위 Δ 계산

$\begin{array}{cc}EI\mathrm{\Delta }& =2\times \frac{1}{6}\times \frac{L}{2}(\frac{L}{4}(M+2M))\\ & =\frac{M{L}^2}{8}\\ \end{array}$

$\mathrm{\Delta }=\delta$이므로

$\frac{M{L}^2}{8EI}=\frac{P{L}^3}{48EI}$

$\therefore M=\frac{PL}{6}$

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02-1, 08-1, 12-1, 12-3, 15-2, 16-2 기출

w = 1tf/m, δ = 1cm, $EI=2.0\times 10^{12}kg\cdot c{m}^2$일 때 가운데 지점의 수직반력 R_c는 얼마가 생기는가?

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분포하중에 의한 처짐값(암기)

$\frac{5w{L}^4}{384EI}$

수직반력을 집중하중이라고 봤을 때 처짐을 상쇄하는 변위량(암기하든, 탄성하중법으로 구하든)

$\frac{R_c\cdot L^3}{48EI}$

$\frac{5w{L}^4}{384EI}-\frac{R_c\cdot L^3}{48EI}=0.01m$

$\frac{5\times 1000kgf\times 20^4{m}^4}{384\times 2.0\times 10^{8}kg\cdot m^2}-\frac{R_c\cdot 20^3{m}^3}{48\times 2.0\times 10^{8}kg\cdot m^2}=0.01m$

$\therefore R_c=500kgf$

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04-3, 06-2, 12-1, 15-3 일부 구간 EI가 무한대인 단순보의 처짐

우측 그림과 같은 보에서 중앙점 처짐량을 계산하시오. 가운데 구간 휨강성은 EI이다.

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$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }& =2\times \frac{1}{6}\times \frac{L}{4}[\frac{L}{8}(\frac{PL}{4EI}+\frac{PL}{4EI})+\frac{L}{4}(\frac{PL}{8EI}+\frac{PL}{2EI})]\\ & =\frac{7}{384}\frac{P{L}^3}{EI}\\ \end{array}$

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유사 15-1

자유단에서의 처짐을 구하시오. $EI=3.2\times 10^{11}kg\cdot c{m}^2$

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모멘트도 그려서 변위일치법 쓰기엔 시간이 너무 오래걸린다.

처짐곡선을 그리고 처짐각이 B 기준 좌우로 같음을 이용해야 함.

$\begin{array}{cc}\theta & =\frac{q{L}^3}{24EI}\\ & =\frac{3t/m\times 6^3{m}^3}{24\times 3.2\times 10^{11}kg\cdot c{m}^2}\\ & =\frac{3000kg\times 6^3\times 10^{4}c{m}^2}{24\times 3.2\times 10^{11}kg\cdot c{m}^2}\\ & =0.00084375rads\end{array}$

$\theta =\frac{\mathrm{\Delta }}{200cm}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }& =200cm\times \theta \\ & =0.169cm\\ \end{array}$

트러스에 가상일법 적용

♣♣♣14-1, 14-3, 16-4, 17-2, 19-1

1. 외부하중에 의한 부재력 계산
2. 외력 제거, 변위 구하고자하는 절점에 변위 방향으로 단위하중(무차원)
3. 단위하중에 의한 부재력 μ 계산
4. $\mu \frac{FL}{EA}$ 계산
5. $\mathrm{\Delta }=\sum \mu \frac{FL}{EA}$

부재 하나하나의 변형량은 $\frac{FL}{EA}$이다. 어디서 많이 보던 식이지?