토목기사 요약/철근콘크리트 및 강구조/RC 보의 휨

콘크리트 응력은 중립축에서 거리에 비례하지 않음. 변형률은 비례(80)
콘크리트 압축 연단 최대 변형률은 0.003 (99)

보의 휨파괴와 균형보

14-2, 19-2, 19-3 종합적인 이해

연성파괴 : 인장철근이 약해서 파괴되는 것
취성파괴 : 압축측 콘크리트가 약해서 파괴되는 것. 철근량이 많은 경우 철근 항복 전에 콘크리트 변형률이 극한변형률 0.003에 도달하여 파괴 시 변형이 생기지 크게 생기지 않고 갑자기 콘크리트의 파괴를 일으킨다. 이런 파괴를 취성파괴, 압축파괴라 한다. 취성 파괴는 위험을 예측할 수 없을 뿐만 아니라, 철근 재료 특성인 항복강도와 연성을 활용하지 못해 비경제적인 설계가 되게 한다.

균형보(평형보, balanced beam)
- 보의 취성파괴는 사고에 대한 안전 대책을 세울 시간 없이 갑자기 일어나므로 이를 방지하기 위해 철근 사용량을 규제해야 함. 이 한계의 철근비를 균형철근비(balanced steel ratio) 또는 평형 철근비라 함. 철근이 항복함과 동시에 콘크리트의 압축변형률이 0.003에 도달할 때의 철근비가 균형철근비임.
- 균형철근비를 쓴 보를 균형보, 평형보라 함. 이때의 철근량은 균형철근량, 평형 철근량

과소 철근보 : 균형철근비보다 철근을 적게 넣어 연성파괴가 일어나게 한 보. 중립축이 압축부쪽으로 이동.
과다 철근보 : 균형철근비보다 철근을 많이 넣어 취성파괴가 일어나게 한 보. 중립축이 인장부쪽으로 이동.

철근비

90

$ρ = \frac{A_{s}}{b \cdot d}$

균형보의 중립축과 균형 철근비

♣♣♣균형보의 중립축 위치(89, 94, 95, 96, 99, 19-3)

$\begin{matrix} c_{b} & = \frac{0.003}{0.003 + ϵ_{y}} d = \frac{0.0033}{0.0033 + \frac{f_{y}}{E_{s}}} d \\ = \frac{660}{660 + f_{y}} d \end{matrix}$

♣♣♣균형철근비 14-3, 18-3 까먹으면 유도 가능. 균형철근비에서 0.003이 콘크리트 강도 40 이하 일때 0.0033으로 변경되었음으로 600보다 660이 적합하다. $0.85 f_{c k} a b = A_{s b} f_{y}$

$A_{s b} = \frac{0.85 f_{c k} β_{1} c_{b} b}{f_{y}}$

$\begin{matrix} ρ_{b} & = \frac{A_{s b}}{b d} = \frac{0.85 f_{c k} β_{1} c_{b} b}{f_{y} b d} \\ = \frac{0.85 f_{c k} β_{1}}{f_{y} d} \cdot \frac{660}{660 + f_{y}} d \\ = \frac{0.85 f_{c k}}{f_{y}} β_{1} \cdot (\frac{660}{660 + f_{y}}) \\ = \frac{0.85 f_{c k} a}{f_{y} \cdot d} \end{matrix}$

$\begin{matrix} ρ_{b} & = 0.85 β_{1} \frac{f_{c k}}{f_{y}} \frac{0.0033}{0.0033 + ϵ_{y}} \\ = 0.85 β_{1} \frac{f_{c k}}{f_{y}} \frac{660}{660 + f_{y}} \end{matrix}$

최소철근비

♣♣12-3, 13-1, 14-2, 15-1, 15-2, 15-3

휨부재 정철근량은 해석 상 소요 철근량보다 1/3만큼 추가하지 않은 경우 철근비가

$\frac{0.25 \sqrt{f_{c k}}}{f_{y}}$ 또는 $\frac{1.4}{f_{y}}$ 중 큰값 이상이어야 한다.

최대 철근비

f_y (MPa)	최소 허용 인장변형률 ε_tmin
400 이하	0.004
400 초과	$2.0 ϵ_{y}$

최대철근비는 다음으로부터 계산된 값이다.

$ρ_{b} = 0.85 β_{1} \frac{f_{c k}}{f_{y}} \frac{0.003}{0.003 + ϵ_{y}}$

$ρ_{m a x} = 0.85 β_{1} \frac{f_{c k}}{f_{y}} \frac{0.003}{0.003 + ϵ_{t m i n}}$

위 두 식을 조합하면 아래처럼 된다.

$\begin{matrix} ρ_{m a x} & = \frac{ϵ_{c} + ϵ_{y}}{ϵ_{c} + ϵ_{t m i n}} ρ_{b} \\ = \frac{0.003 + ϵ_{y}}{0.003 + ϵ_{t m i n}} ρ_{b} \end{matrix}$

1. 90

강도 설계법에서 균형 철근비 ρ_b = 0.0365, b = 300mm, d = 500mm일 때 유효 철근량은?

풀이

다른 조건이 없으므로 최대 철근비에 의해 구한다.

$ρ = \frac{A_{s}}{b \cdot d}$ 에서 $A_{s} = ρ \cdot b \cdot d$

$ρ_{m a x} = 0.75 ρ_{b}$ 이므로 (별 조건 없으면 최대값인 0.75로 한다고 함.)

$A_{s} = 0.75 ρ \cdot b \cdot d = 4106 m m^{2}$

2. 92, 18-3(다른 숫자로)

단철근 직사각형보 b = 300mm, d = 620mm에서 사용 가능한 최대 인장철근 단면적은? 강도 설계법을 사용하고 f_ck = 24MPa, f_y = 300MPa이다.

풀이

f_y = 300MPa일 때 ρ_max = 0.643 ρ_b

$ρ_{b} = \frac{0.85 f_{c k} β_{1}}{f_{y}} \times \frac{600}{600 + f_{y}}$

$\begin{matrix} ρ_{m a x} & = 0.643 ρ_{b} \\ = 0.643 \frac{0.85 f_{c k} β_{1}}{f_{y}} \times \frac{600}{600 + f_{y}} \\ = 0.02478 \end{matrix}$

A_s = ρ_max b d = 0.02478×300×620 = 4609 mm²

단철근 직사각형보의 단면 해석

유효깊이 계산

19-1

오른쪽 그림에서 유효깊이 d를 구하시오. D19 철근 공칭단면적은 287mm²

바리뇽의 정리를 이용하는 문제다.

$5 d = 2 \times 350 m m + 3 \times 450 m m$

d = 410mm

복철근보에서 압축철근 있어도 유효깊이 구할 땐 인장부 철근만 가지고 함. 틀:-

휨 강도

♣♣♣ 14-2, 18-1 등등 이 부분은 전반적으로 중요

최외단 철근 변형률 $ϵ_{t} = \frac{d_{t} - c}{c} \times 0.003$

♣♣♣ 콘크리트의 압축력

$C = 0.85 f_{c k} \cdot a \cdot b$

♣♣♣ 18-3 등등

$β_{1} = {\begin{matrix} 0.85 - (f_{c k} - 28) \times 0.007 \geq 0.65 & (f_{c k} > 28 M P a) \\ 0.85 & (f_{c k} \leq 28 M P a) \end{matrix}$

♣♣♣ 단철근 직사각형 보

C = T

$0.85 f_{c k} a b = A_{s} f_{y}$

공칭 휨강도

♣♣♣ 14-3

$\begin{matrix} M_{n} & = T \cdot z = f_{y} A_{s} (d - \frac{a}{2}) \\ = C \cdot z = 0.85 f_{c k} \cdot a \cdot b (d - \frac{a}{2}) \end{matrix}$

주의!! 만약 직사각형 단면이 아니라 삼각형과 같은 단면이라면, 모멘트 팔길이 달라짐(위 식에서 빨간색 부분)

계수하중 1.2D + 1.6L^[1]^[2]

설계 휨강도

79, 99, 16-4 등등 ♣♣♣

$\begin{matrix} M_{d} & = ϕ M_{n} \\ = ϕ {0.85 f_{c k} a b (d - \frac{a}{2})} \\ = ϕ A_{s} f_{y} (d - \frac{a}{2}) \\ = ϕ f_{y} ρ b d^{2} (1 - 0.59 ρ \frac{f_{y}}{f_{c k}}) \end{matrix}$

19-1

$q = \frac{f_{y} ρ}{f_{c k}}$ 라고 하면

$\begin{matrix} M_{d} & = ϕ f_{y} ρ b d^{2} (1 - 0.59 q) \\ = ϕ f_{c k} q b d^{2} (1 - 0.59 q) \end{matrix}$

97

계산 상 철근비 $ρ > \frac{0.003 + f_{y} / E_{s}}{0.007} ρ_{b}$ 이면 $ρ = \frac{0.003 + f_{y} / E_{s}}{0.007} ρ_{b}$

1. 79, 86

b = 300mm, d = 550mm, A_s = 1600mm² 단철근 직사각형 보의 계수 강도 모멘트 M_u를 구하시오.(ρ < 0.75ρ_b, f_ck = 21MPa, f_y = 300MPa)

풀이

$\begin{matrix} a & = \frac{f_{y} \cdot A_{s}}{0.85 f_{c k} \cdot b} \\ = \frac{300 \times 1600}{0.85 \times 21 \times 300} = 89.6 m m \end{matrix}$

음... 지배단면 결정하고 강도감소계수 Φ 결정해야됨...

$\begin{matrix} M_{u} = M_{d} & = ϕ M_{n} = ϕ A_{s} f_{y} (d - \frac{a}{2}) \\ = 0.85 \times 1600 \times 300 (550 - \frac{89.6}{2}) \\ = 206 k N \cdot m \end{matrix}$

2. 84, 93

보 자중 10kN/m, 활하중 15kN/m 등분포 하중을 받는 10m 경간 단순 지지보의 극한 설계 모멘트는? (감소율 미고려)

풀이

w_u = 1.2 w_d + 1.6 w_l = 36kN/m

$M_{u} = \frac{w_{u} \cdot l^{2}}{8} = 450 k N \cdot m$

휨균열 제어 - 표피철근 배치

12-3

표피철근(skin reinforcement). 보 또는 장선의 깊이 h가 900mm를 초과하면 종방향 표피 철근을 인장 연단으로부터 h/2 지점까지 부재 양 측면을 따라 균일하게 배치해야 한다.

틀:-

보 및 1방향 슬래브의 휨철근 배치규정

콘크리트의 인장 연단에 가장 가까이 배치되는 철근의 중심간격 s는 다음 중 작은값 이하여야 한다.

20-1+2

$s = {\begin{matrix} 375 \frac{κ_{c r}}{f_{s}} - 2.5 C_{c} \\ 300 \frac{κ_{c r}}{f_{s}} \end{matrix}$

$κ_{c r} = {\begin{matrix} 280 (건 조 환 경 ) \\ 210 (그 외 ) \end{matrix}$
C_c : 순피복두께(Clear Cover of Reinforcement). 인장철근이나 긴장재 표면과 콘크리트 표면 사이 최소두께
f_s : 철근응력(근삿값 : $f_{s} = \frac{2}{3} f_{y}$ )

복철근 직사각형 보의 해석

13-1, 15-2, 16-2, 16-4, 18-2 종합적 이해 필요

$0.85 f_{c k} a b + {A_{s}}^{'} f_{y} = A_{s} f_{y}$

$0.85 f_{c k} a b = f_{y} (A_{s} - {A_{s}}^{'})$

등가응력 직사각형의 깊이

$a = \frac{(A_{s} - {A_{s}}^{'}) f_{y}}{0.85 f_{c k} \cdot b}$

13-1, 14-2, 18-2

압축철근 효과

지속하중에 의한 처짐 감소
파괴 시 압축응력 깊이 감소. 연성 증대
철근 조립 쉽게 함.
단철근 보에 비해 압축철근이 들어간다고 휨 내력이 크게 증가하진 않는다.

압축철근 항복 변형률(가끔 출제. 단철근 보와 어떻게 다른지 구별할 것. 원리는 같음. 그림 그려서 이해하기)

$ϵ_{s}' = \frac{c - d^{'}}{c} \times 0.003 \geq ϵ_{y}$

틀:- 14-2, 16-1

공칭강도 : 복철근보는 단철근 직사각형보가 부담할 수 있는 휨모멘트와, 압축철근과 이에 해당하는 인장철근이 부담할 수 있는 휨모멘트로 구분하여 계산.

$\begin{matrix} M_{n} & = M_{n 1} + M_{n 2} \\ = (A_{s} - {A_{s}}^{'}) f_{y} (d - \frac{a}{2}) + {A_{s}}^{'} f_{y} (d - d^{'}) \end{matrix}$

단철근 T형보의 단면 해석(단면이 주어진 경우)

T형보 : 교량이나 건물에서 슬래브와 보를 일체로 친 경우, 슬래브가 양쪽 플랜지를 이루는 보. T형의 단일체가 되어 외력에 저항한다.
횡방향 철근 : 주철근이 보와 같은 방향일 때 하중이 직접적으로 플랜지에 작용하면 플랜지가 아래로 휘면서 파괴될 수 있다. 이 휨파괴를 막기 위해 설치.(19-3)

T형보 플랜지 유효폭

♣♣♣99, 12-3, 13-2, 15-3

세 값 중 작은 값

$16 t_{f} + b_{w}$
양쪽 슬래브 중심간 거리
경간의 1/4

반T형보 플랜지 유효폭

♣♣♣84, 86, 18-2

세 값 중 작은 값

$6 t_{f} + b_{w}$
인접보와 내측거리 $\times \frac{1}{2} + b_{w}$
$보 경 간 \times \frac{1}{12} + b_{w}$

구한 유효폭 b_e가 아래 계산에서 b로 쓰임.

T형보의 판정

아 G로 비교하는 건 안 나오네... 그래도 알고 싶다면 T형보의 판정 보충 참고.

81, 84

$a = \frac{A_{s} f_{y}}{0.85 f_{c k} b}$

a > t_f : T형보
a ≤ t_f : 폭이 b인 단철근 직사각형보

a를 가지고 T형보 판정을 한다.^[3]^[4]^[5]

또는 플랜지 전체가 받는 압축력과 인장철근이 받는 인장력을 비교해서 판정해도 된다.

T형보 강도 계산

♣♣♣ 14-2, 14-3, 15-1, 15-2, 18-1, 18-2, 19-3

f_ck = 21MPa, f_y = 300MPa, b = 1000mm, t_f = 60mm, b_w = 300mm, d = 600mm, A_s = 4000mm²일 때 설계휨강도 φM_n을 구하시오.

1) T형보 판정

전체에 대해서 응력블록의 깊이 a 계산.

$0.85 f_{c k} a b = A_{s} f_{y}$

a = 67.2mm

a > t_f이므로 T형보로 해석한다.

2) 응력사각형 깊이 a 계산

플랜지 내민 부분 압축력에 대응하는 가상의 인장철근 단면적

C_f = T_f에서 $0.85 f_{c k} \cdot t_{f} (b - b_{w}) = f_{y} A_{s f}$

$\begin{matrix} A_{s f} & = \frac{0.85 f_{c k} t_{f} (b - b_{w})}{f_{y}} \\ = \frac{0.85 \times 21 \times 60 \times (1000 - 300)}{300} \\ = 2499 m m^{2} \end{matrix}$

틀:-

C_w = T_w에서

$\begin{matrix} a & = \frac{f_{y} (A_{s} - A_{s f})}{0.85 f_{c k} b_{w}} \\ = \frac{300 \times (4000 - 2499)}{0.85 \times 21 \times 300} \\ = 84.1 m m \end{matrix}$

Φ 계산(그냥 0.85가 아님!!!!!!!!!!!!!)

$β = 0.85$

$c = \frac{a}{β} = \frac{84.1}{0.85} = 98.94 m m$

틀:-

$\frac{ϵ_{t}}{600 - 98.94} = \frac{0.003}{98.94}$

$ϵ_{t} = 0.0152 > ϵ_{t, t c l} = 0.005$

$∴ ϕ = 0.85$

3) 설계강도 M_d

$\begin{matrix} M_{d} = ϕ M_{n} & = ϕ (M_{n f} + M_{n w}) \\ = 0.85 {A_{s f} f_{y} (d - \frac{t_{f}}{2}) + (A_{s} - A_{s f}) f_{y} (d - \frac{a}{2})} \\ = 0.85 {2499 \times 300 (600 - \frac{60}{2}) + (4000 - 2499) \times 300 \times (600 - \frac{84.1}{2})} \\ = 576787802.3 N \cdot m m = 576.79 k N \cdot m \end{matrix}$

깊은 보의 설계 제한

깊은 보(deep beam) 정의

순경간 l_n이 부재 깊이의 4배 이하인 보 (16-1)
하중이 받침부로부터 부재 깊이의 2배 거리 이내에 작용하는 보

제한사항(16-1)

깊은 보의 공칭 전단강도 $V_{n} \leq 5 V_{c} = \frac{5}{6} λ \sqrt{f_{c k}} b_{w} \cdot d$ 이어야 함.
휨인장철근과 직각인 수직전단철근 단면적^[6] $A_{v} \geq 0.0025 b_{w} s$
휨인장철근과 평행한 수평전단철근 단면적 $A_{v h} \geq 0.0015 b_{w} s_{h}$

각주

↑ KDS 41 10 15 :2019 건축구조기준 설계하중
↑ 전찬기 외, <<토목기사 과년도 - 철근콘크리트 및 강구조>>(2015), 성안당, 114쪽
↑ 윤영수, <<철근콘크리트 역학 및 설계>>(3판), 씨아이알
↑ 이학민, <<토목설계>>(2017), 탑스팟
↑ http://contents.kocw.net/KOCW/document/2014/Seowon/Leehongwoo/05.pdf
↑ KDS 14 20 22 :2018 콘크리트구조 전단 및 비틀림 설계기준 4.7.2 최소 철근량 산정 및 배치

[1] KDS 41 10 15 :2019 건축구조기준 설계하중

[2] 전찬기 외, <<토목기사 과년도 - 철근콘크리트 및 강구조>>(2015), 성안당, 114쪽

[3] 윤영수, <<철근콘크리트 역학 및 설계>>(3판), 씨아이알

[4] 이학민, <<토목설계>>(2017), 탑스팟

[5] ttp://contents.kocw.net/KOCW/document/2014/Seowon/Leehongwoo/05.pdf

[6] KDS 14 20 22 :2018 콘크리트구조 전단 및 비틀림 설계기준 4.7.2 최소 철근량 산정 및 배치

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

토목기사 요약/철근콘크리트 및 강구조/RC 보의 휨

목차

보의 휨파괴와 균형보

철근비

균형보의 중립축과 균형 철근비

최소철근비

최대 철근비

단철근 직사각형보의 단면 해석

유효깊이 계산

휨 강도

휨균열 제어 - 표피철근 배치

복철근 직사각형 보의 해석

단철근 T형보의 단면 해석(단면이 주어진 경우)

T형보 플랜지 유효폭

반T형보 플랜지 유효폭

T형보의 판정

T형보 강도 계산

깊은 보의 설계 제한

각주

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토목기사 요약/철근콘크리트 및 강구조/RC 보의 휨

보의 휨파괴와 균형보

철근비

균형보의 중립축과 균형 철근비

최소철근비

최대 철근비

단철근 직사각형보의 단면 해석

유효깊이 계산

휨 강도

휨균열 제어 - 표피철근 배치

복철근 직사각형 보의 해석

단철근 T형보의 단면 해석(단면이 주어진 경우)

T형보 플랜지 유효폭

반T형보 플랜지 유효폭

T형보의 판정

T형보 강도 계산

깊은 보의 설계 제한

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