포털:고등학교/수학/수학 II/미분법:1회차

• 안녕하세요? 이 페이지에서는 미분계수에 대한 강의를 할 것입니다. 미분계수를 이해하기 위해서는 평균 변화율의 개념을 먼저 이해해야 합니다. 그럼, 아래를 보세요.

평균변화율?

바로 이것! $x$증분, $y$증분, 기울기

어떤 함수 $f(x)$에 대해서, $x$의 값이 $a$에서 $b$까지 변하면, 함숫값은 $f(a)$에서 $f(b)$까지 변하게 됩니다. 이때 $x$값의 변화량, 즉 $b-a$를 $x$변화량, 또는 $x$의 증분이라고 합니다. 그렇다면 $y$값의 변화량, $f(b)-f(a)$는 $y$변화량 또는 $y$의 증분이라고 하겠지요? 이들을 기호로 각각 $\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y$로 나타냅니다. '델타'라고 읽으면 됩니다.

평균변화율이란, $x$변화량에 대한 $y$변화량의 비를 나타낸 것입니다. 즉, 아래와 같습니다.

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)}{\mathrm{\Delta }x}$

$\frac{f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)}{\mathrm{\Delta }x}$는 뭐냐구요? $b-a=\mathrm{\Delta }x$이니까 $b=a+\mathrm{\Delta }x$도 성립하죠!

평균변화율의 기하학적 의미

어디서 많이 본 형태가 아닌가요? $x$증가량/$y$증가량...? :)

그렇죠. 직선의 기울기에서 본 적이 있지 않나요? 즉, 평균변화율은 $(a,f(a)),(b,f(b))$의 두 점을 지나는 직선의 기울기가 됩니다.

미분계수?

바로 위에서 평균변화율에 대해서 배웠었지요? $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$라구요. 그럼 여러분, 생각을 한번 해 봅시다. $\mathrm{\Delta }x$를 0에 한없이 가깝게 만들면 어떻게 될까요? 무한대로 갈까요?

예를 들면 가장 빠를 것입니다. $y=x^3$라는 함수가 있다고 합시다. 그럼, $1\le x\le 1+\mathrm{\Delta }x$에서의 평균변화율을 구하면,

$\frac{f(1+\mathrm{\Delta }x)-f(1)}{1+\mathrm{\Delta }x-1}=\frac{(1+\mathrm{\Delta }x{)}^3-1^3}{\mathrm{\Delta }x}=(\mathrm{\Delta }x{)}^2+3(\mathrm{\Delta }x)+3$가 되죠.

그럼 $\mathrm{\Delta }x$를 0으로 한없이 보내면,

미분계수, 접선의 기울기

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }(\mathrm{\Delta }x{)}^2+3(\mathrm{\Delta }x)+3=3$이 됩니다.

자, 그럼 이제 다음으로 넘어가 봅시다.

구간 $a\le x\le a+\mathrm{\Delta }x$에서의 함수 $y=f(x)$의 평균변화율 $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$에서 $\mathrm{\Delta }x\to 0$으로 한없이 보낼 때, 즉 극한값

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)}{\mathrm{\Delta }x}$

의 값이 존재할 경우, 이 값을 함수 $y=f(x)$에서의 미분계수 또는 순간변화율이라고 합니다. 왜 순간변화율인지는 아시겠지요? 평균변화율에서 $\mathrm{\Delta }x$를 0으로 한없이 보내면, 탁! $a$라는 점에서의 변화율이 되는 것이지요. :) 기호로는 $f^{\prime }(a)$로 나타낸답니다. 읽으실 때엔 '에프 프라임 에이'와 같이 읽으면 됩니다. $\frac{d}{dx}f(x)$꼴도 미분을 나타내는 표현이니 알아두세요.

미분계수의 기하학적 의미

$a$라는 점에서 $a$에 한없이 가까워지는 점과 기울기를 이루는 것이죠? 결국 점 $a$에서 기울기를 나타내는 것과 마찬가지가 되겠네요. 이것은 $x=a$에서의 접선의 기울기와 같아지게 됩니다.

정리

함수 $y=f(x)$의 $x=a$에서 평균변화율 (직선의 기울기) $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)}{\mathrm{\Delta }x}$ 미분계수 (순간변화율, 접선의 기울기) $f^{\prime }(a)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 접선의 기울기 $f^{\prime }(a)$는 $f(x)$위의 점 $(a,f(a))$에서의 접선의 기울기이다.