포털:고등학교/수학/수학 Ⅰ(2007 개정)/연립일차방정식과 행렬

행렬로 나타낸 연립일차방정식

미지수가 2개인 연립일차방정식을 행렬을 이용하여 나타내어 보겠습니다.

미지수 $x,y$에 대한 연립일차방정식

$\{\begin{array}{c}ax+by=p\\ cx+dy=q\end{array}$

를 행렬을 이용하여 나타내면 다음과 같습니다.

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)$

이때 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)$로 놓으면

$AX=B$

입니다. 따라서 주어진 연립일차방정식의 해를 구하는 것은 $AX=B$를 만족시키는 행렬 $X$를 구하는 것과 같습니다.

행렬을 이용한 연립일차방정식의 풀이

미지수 $x,y$에 대한 연립일차방정식

$\{\begin{array}{c}ax+by=p\\ cx+dy=q\end{array}\cdots \cdots \left(1\right)$

을 행렬을 이용하여 풀어 보겠습니다.

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)$로 놓으면

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)$

이므로 연립일차방정식 $\left(1\right)$을

$AX=B\cdots \cdots \left(2\right)$

와 같이 나타낼 수 있습니다.

① $A$의 역행렬이 존재하는 경우, 즉 $ad-bc\ne 0$일 때

등식 $\left(2\right)$의 양변의 왼쪽에 $A^{-1}$를 곱하면 다음과 같습니다.

$A^{-1}AX=A^{-1}B\iff X=A^{-1}B$

따라서 연립일차방정식 $\left(1\right)$은 다음과 같은 단 한 쌍의 해를 갖습니다.

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)$

② $A$의 역행렬이 존재하지 않는 경우, 즉 $ad-bc=0$일 때

1. $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{p}{q}$이면 연립일차방정식 $\left(1\right)$의 해가 무수히 많습니다.
2. $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\ne \frac{p}{q}$이면 연립일차방정식 $\left(1\right)$의 해가 없습니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.

역행렬을 이용한 연립일차방정식의 풀이 미지수 $x,y$에 대한 연립일차방정식 $\{\begin{array}{c}ax+by=p\\ cx+dy=q\end{array}$는 ① $ad-bc\ne 0$일 때, 단 한 쌍의 해를 갖고 그 해는 $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)$ ② $ad-bc=0$일 때, 해가 무수히 많거나 해가 없습니다.