포털:고등학교/수학/수학 Ⅰ(2007 개정)/행렬과 그 연산

행렬의 뜻

두 다항식 $A = 2 x^{2} - 5 x - 3, B = y - 1$ 은 다음과 같이 계수만을 직사각형 모양으로 나타낼 수 있습니다.

\begin{matrix} 2 & - 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 1 \end{matrix}

이때 계수를 가로로 배열한 줄은 위에서부터 차례로 다항식 $A, B$ 를 나타내고, 계수를 세로로 배열한 줄에 있는 수는 왼쪽에서부터 차례로 해당되는 다항식의 이차항, 일차항, 상수항의 계수입니다.

또 $A, B$ 두 과일 가게에서 판매되는 사과 10 kg의 가격이 각각 22000원, 24000원이고, 배 10 kg의 가격이 각각 25000원, 27500원일 때, 이것을 다음과 같이 과일 가격을 직사각형 모양으로 배열하고 괄호로 묶어 나타낼 수 있습니다.

(\begin{matrix} 22000 & 24000 \\ 25000 & 27500 \end{matrix})

이와 같이 수 또는 문자를 직사각형 모양으로 배열하여 괄호로 묶은 것을 행렬이라고 하며, 행렬을 이루는 각각의 수 또는 문자를 그 행렬의 성분이라고 합니다.^[1]^[2]

행렬에서 성분을 가로로 배열한 줄을 행이라고 하며, 위에서부터 차례로 제1행, 제2행, 제3행, ⋯이라고 합니다. 또 성분을 세로로 배열한 줄을 열이라고 하며, 왼쪽에서부터 차례로 제1열, 제2열, 제3열, ⋯이라고 합니다.^[3]

한편 $m$ 개의 행과 $n$ 개의 열로 이루어진 행렬을 $m \times n$ 행렬이라고 합니다.^[4] 특히 행의 개수와 열의 개수가 서로 같은 행렬을 정사각행렬이라고 하며, $n \times n$ 행렬을 $n$ 차 정사각행렬이라고 합니다.^[5]

행렬은 알파벳 대문자 $A, B, C, \dots$ 로 나타내고, 행렬의 성분은 알파벳 소문자 $a, b, c, \dots$ 로 나타냅니다. 또 행렬 $A$ 에서 제 $i$ 행과 제 $j$ 열이 만나는 위치에 있는 성분을 행렬 $A$ 의 $(i, j)$ 성분이라고 하며, 이것을 기호로

a_{i j}

와 같이 나타냅니다. 예를 들어 $2 \times 3$ 행렬 $A$ 를 기호 $a_{i j}$ 를 사용하여 나타내면 다음과 같습니다.

A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{matrix})

두 행렬 $A, B$ 의 행의 개수와 열의 개수가 각각 같을 때, $A$ 와 $B$ 는 같은 꼴이라고 합니다. 같은 꼴인 두 행렬 $A, B$ 의 대응하는 성분이 각각 같을 때, $A$ 와 $B$ 는 서로 같다고 하며, 이것을 기호로

A = B

와 같이 나타냅니다.^[6] 예를 들어 $2 \times 2$ 행렬이 서로 같을 조건은 다음과 같습니다.^[7]

두 행렬이 서로 같을 조건

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix})$ 일 때,

A = B \Leftrightarrow {\begin{matrix} a_{11} = b_{11}, & a_{12} = b_{12} \\ a_{21} = b_{21}, & a_{22} = b_{22} \end{matrix}

행렬의 덧셈, 뺄셈의 뜻과 그 연산

같은 꼴인 두 행렬 $A, B$ 에 대하여 $A$ 와 $B$ 의 대응하는 성분의 합을 성분으로 하는 행렬을 $A$ 와 $B$ 의 합이라고 하며, 이것을 기호로

A + B

와 같이 나타냅니다.^[8] 예를 들어 $2 \times 2$ 행렬의 덧셈은 다음과 같습니다.^[9]

행렬의 덧셈

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix})$ 일 때,

A + B = (\begin{matrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{matrix})

실수의 덧셈에서 교환법칙과 결합법칙이 성립하는 것과 마찬가지로, 행렬의 덧셈에서도 다음과 같은 성질이 성립합니다.

행렬의 덧셈에 대한 성질 ⑴

같은 꼴인 세 행렬 $A, B, C$ 에 대하여

① $A + B = B + A$	(교환법칙)
② $(A + B) + C = A + (B + C)$	(결합법칙)^[10]

모든 성분이 $0$ 인 행렬을 영행렬이라고 합니다.^[11] 예를 들어

(\begin{matrix} 0 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

은 모두 영행렬입니다. 영행렬은 각 꼴에 대하여 하나씩 있으나, 혼동의 염려가 없을 때에는 보통 기호 $O$ 로 나타냅니다. 행렬 $A$ 와 영행렬 $O$ 가 같은 꼴일 때,

A + O = O + A = A

가 성립함을 알 수 있습니다. 즉 영행렬은 같은 꼴의 행렬의 집합에서 덧셈에 대한 항등원입니다. 또 행렬 $A$ 의 모든 성분의 부호를 바꾼 행렬을 $- A$ 와 같이 나타냅니다. 예를 들어

A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})

일 때,

- A = (\begin{matrix} - a_{11} & - a_{12} \\ - a_{21} & - a_{22} \end{matrix})

입니다. 이때 행렬의 덧셈의 정의에 의하여 행렬 $A$ 와 영행렬 $O$ 가 같은 꼴일 때,

A + (- A) = (- A) + A = O

가 성립함을 알 수 있습니다. 따라서 행렬 $- A$ 는 같은 꼴의 행렬의 집합에서 행렬 $A$ 의 덧셈에 대한 역원입니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.

행렬의 덧셈에 대한 성질 ⑵

같은 꼴인 행렬 $A$ 와 영행렬 $O$ 에 대하여

③ $A + O = O + A = A$	( $O$ 는 덧셈에 대한 항등원)
④ $A + (- A) = (- A) + A = O$	( $- A$ 는 $A$ 의 덧셈에 대한 역원)

같은 꼴의 두 행렬 $A, B$ 에 대하여 $A$ 에 $B$ 의 덧셈에 대한 역원 $- B$ 를 더한 $A + (- B)$ 를 기호로

A - B

와 같이 나타내고, 이것을 행렬 $A$ 에서 행렬 $B$ 를 뺀 차라고 합니다.^[12]^[13] 이때 $A - B$ 는 행렬 $A$ 의 각 성분에서 그에 대응하는 행렬 $B$ 의 성분을 뺀 차를 성분으로 하는 행렬임을 알 수 있습니다. 예를 들어 $2 \times 2$ 행렬의 뺄셈은 다음과 같습니다.^[14]

행렬의 뺄셈

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix})$ 일 때,

A - B = (\begin{matrix} a_{11} - b_{11} & a_{12} - b_{12} \\ a_{21} - b_{21} & a_{22} - b_{22} \end{matrix})

한편 같은 꼴의 세 행렬 $A, B, X$ 에 대하여

X + A = B

가 성립할 때, 이 등식의 양변에 행렬 $A$ 의 덧셈의 역원 $- A$ 를 더하여 간단히 하면 다음 결과를 얻습니다.^[15]

\begin{matrix} X + A = B & \Leftrightarrow X + A + (- A) = B + (- A) \\ \Leftrightarrow X + O = B - A \\ \Leftrightarrow X = B - A \end{matrix}

따라서 행렬의 덧셈과 뺄셈으로 이루어진 등식은 다항식의 덧셈과 뺄셈으로 이루어진 등식과 같이 이항을 이용하여 계산할 수 있습니다.

행렬의 실수배의 뜻과 그 연산

임의의 실수 $k$ 에 대하여 행렬 $A$ 의 각 성분을 $k$ 배한 것을 성분으로 하는 행렬을 행렬 $A$ 의 $k$ 배라고 하며, 이것을 기호로 $k A$ 와 같이 나타냅니다. 예를 들어 $2 \times 2$ 행렬의 실수배는 다음과 같습니다.^[16]

행렬의 실수배

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})$ 와 실수 $k$ 에 대하여 $k A = (\begin{matrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{matrix})$

행렬 $A$ 와 영행렬 $O$ 가 같은 꼴이고 $k$ 가 실수일 때, 행렬의 실수배의 정의에 의하여 다음이 성립함을 알 수 있습니다.^[17]

1 A = A, (- 1) A = A, 0 A = O, k O = O

행렬의 실수배에 대하여 다음과 같은 성질이 성립합니다.

행렬의 실수배에 대한 성질

같은 꼴의 두 행렬 $A, B$ 와 두 실수 $k, l$ 에 대하여

①

(k l) A = k (l A)

②

(k + l) A = k A + l A, k (A + B) = k A + k B

행렬의 곱셈의 뜻과 그 연산

두 행렬 $A, B$ 에 대하여 행렬 $A$ 의 열의 개수와 행렬 $B$ 의 행의 개수가 같을 때, 행렬 $A$ 의 제 $i$ 행의 성분과 행렬 $B$ 의 제 $j$ 열의 성분을 각각 차례로 곱하여 더한 값을 $(i, j)$ 성분으로 하는 행렬을 두 행렬 $A, B$ 의 곱이라고 하며, 이것을 기호로

A B

와 같이 나타냅니다.^[18] 이때 행렬 $A$ 가 $m \times l$ 행렬이고 행렬 $B$ 가 $l \times n$ 행렬이면 행렬 $A B$ 는 $m \times n$ 행렬입니다. 예를 들어 $2 \times 2$ 행렬의 덧셈은 다음과 같습니다.^[19]

행렬의 곱셈

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix})$ 일 때,

A B = (\begin{matrix} a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} & a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} \\ a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} \end{matrix})

한편 수의 거듭제곱과 마찬가지로 정사각행렬 $A$ 에 대하여

A^{2} = A A, A^{3} = A^{2} A, A^{4} = A^{3} A, \dots, A^{n + 1} = A^{n} A

와 같이 행렬의 거듭제곱을 정의합니다.^[20]^[21]^[22]

두 실수 $a, b$ 에 대하여 교환법칙 $a b = b a$ 가 성립함을 알고 있습니다. 그러나 두 행렬 $A = (\begin{matrix} 2 & 3 \\ - 4 & 1 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 2 & 1 \end{matrix})$ 에 대하여

A B = (\begin{matrix} 6 & 1 \\ 2 & 5 \end{matrix}), B A = (\begin{matrix} 4 & - 1 \\ 0 & 7 \end{matrix})

이므로 : $A B \neq B A$ 입니다. 즉 행렬의 곱셈에서는 실수의 곱셈에서와는 달리 교환법칙이 성립하지 않습니다.

행렬의 곱셈에 대하여 다음과 같은 성질이 성립합니다.

행렬의 곱셈에 대한 성질

합과 곱이 정의되는 세 행렬 $A, B, C$ 와 실수 $k$ 에 대하여

① $(A B) C = A (B C)$	(결합법칙)^[23]
② $A (B + C) = A B + A C$	(분배법칙)
③ $k (A B) = (k A) B = A (k B)$

두 행렬 $A, B$ 에 대하여

(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}

입니다.^[24] 그런데 행렬의 곱셈에서는 교환법칙이 성립하지 않으므로 어떤 두 행렬 $A, B$ 에 대하여

(A + B)^{2} \neq A^{2} + 2 A B + B^{2}

입니다.

정사각행렬 $A$ 와 같은 꼴의 영행렬 $O$ 에 대하여

A O = O A = A

가 성립합니다.^[25] 그러나 같은 꼴의 정사각행렬 $A, B$ 에 대하여

A \neq O, B \neq O

이지만

A B = O

인 경우가 있습니다.^[26] 예를 들어 $A = (\begin{matrix} 2 & 3 \\ - 4 & - 6 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 9 & - 3 \\ - 6 & 2 \end{matrix})$ 일 때, $A \neq O, B \neq O$ 이지만 $A B = O$ 입니다.

단위행렬의 뜻

실수의 집합에서 곱셈에 대한 항등원은 $1$ 입니다. 행렬의 집합에서 이와 같은 역할을 하는 행렬에 대하여 알아보겠습니다.

정사각행렬 중에서

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

과 같이 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려가는 대각선 위의 성분은 모두 $1$ 이고, 그 외의 성분은 모두 $0$ 인 정사각행렬을 단위행렬이라고 하며, 보통 기호 $E$ 로 나타냅니다.^[27]^[28]^[29]

두 행렬 $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ 와 $E = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ 에 대하여

A E = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = A,

E A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = A

이므로 $A E = E A = A$ 가 성립함을 알 수 있습니다.

$E$ 가 $n$ 차 단위행렬일 때, 임의의 $n$ 차 정사각행렬 $A$ 에 대하여

A E = E A = A

가 성립합니다. 따라서 $n$ 차 단위행렬 $E$ 는 $n$ 차 정사각행렬의 집합에서 곱셈에 대한 항등원입니다.^[30]^[31]

역행렬의 뜻

실수의 연산에서 $0$ 이 아닌 임의의 실수 $a$ 에 대하여

a x = x a = 1

을 만족시키는 실수 $x = \frac{1}{a}$ 을 $a$ 의 곱셈에 대한 역원임을 알고 있습니다.

한편 두 행렬 $A = (\begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} - 1 & 4 \\ 1 & - 3 \end{matrix})$ 에 대하여

A B = (\begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} - 1 & 4 \\ 1 & - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = E,

B A = (\begin{matrix} - 1 & 4 \\ 1 & - 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = E

이므로 $A B$ 와 $B A$ 를 계산한 결과가 모두 단위행렬 $E$ 임을 알 수 있습니다.

이와 같이 같은 꼴의 정사각행렬 $A$ 와 단위행렬 $E$ 에 대하여

A X = X A = E

를 만족시키는 행렬 $X$ 가 존재할 때, $X$ 를 $A$ 의 역행렬이라고 하며, 이것을 기호로

A^{- 1}

와 같이 나타냅니다.^[32]^[33] 이때 역행렬의 정의에 의하여 다음이 성립합니다.^[34]

A A^{- 1} = A^{- 1} A = E

이차 정사각행렬의 역행렬

이차 정사각행렬 $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ 의 역행렬이 존재하기 위한 필요충분조건과 그 역행렬을 구하는 방법을 알아보겠습니다.

행렬 $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ 의 역행렬 $X = (\begin{matrix} x & y \\ z & w \end{matrix})$ 를 가진다고 가정하면 $A X = E$ 이므로

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} x & y \\ z & w \end{matrix}) = (\begin{matrix} a x + b z & a y + b w \\ c x + d z & c y + d w \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

입니다. 따라서 두 행렬이 서로 같을 조건으로부터 다음 두 연립방정식을 얻습니다.

{\begin{matrix} a x + b z = 1 & \dots \dots (1) \\ c x + d z = 0 & \dots \dots (2) \end{matrix}, {\begin{matrix} a y + b w = 0 & \dots \dots (3) \\ c y + d w = 1 & \dots \dots (4) \end{matrix}

$(1), (2)$ 에서

(a d - b c) x = d \dots \dots (5), (a d - b c) z = - c \dots \dots (6)

$(3), (4)$ 에서

(a d - b c) y = - b \dots \dots (7), (a d - b c) w = a \dots \dots (8)

그런데 $a d - b c = 0$ 이면 $(5), (6), (7), (8)$ 에서 $a = b = c = d = 0$ 이므로 $A = O$ 가 되어 $A X = E$ 일 수 없습니다. 따라서 $a d - b c \neq 0$ 입니다. 이때 $(5), (6), (7), (8)$ 에서

x = \frac{d}{a d - b c}, y = \frac{- b}{a d - b c}, z = \frac{- c}{a d - b c}, w = \frac{a}{a d - b c}

입니다. 따라서 행렬 $A$ 의 역행렬 $X$ 는 다음과 같습니다.

X = \frac{1}{a d - b c} (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix})

역으로 $a d - b c \neq 0$ 이면 행렬 $X = \frac{1}{a d - b c} (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix})$ 에 대하여 $A X = X A = E$ 이므로, 행렬 $X$ 는 행렬 $A$ 의 역행렬입니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.

이차 정사각행렬의 역행렬

행렬 $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ 에 대하여

① $a d - b c \neq 0$ 일 때, $A$ 의 역행렬이 존재하고

A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix})

② $a d - b c = 0$ 일 때, $A$ 의 역행렬이 존재하지 않습니다.

정사각행렬 $A$ 의 역행렬 $A^{- 1}$ 가 존재할 때,

A A^{- 1} = A^{- 1} A = E

이므로 $A^{- 1}$ 의 역행렬이 $A$ 임을 알 수 있습니다. 즉

(A^{- 1})^{- 1} = A

입니다. 또 두 정사각행렬 $A, B$ 의 역행렬 $A^{- 1}, B^{- 1}$ 가 존재할 때,

(A B) (B^{- 1} A^{- 1}) = A (B B^{- 1}) A^{- 1} = A E A^{- 1} = A A^{- 1} = E

(B^{- 1} A^{- 1}) (A B) = B^{- 1} (A A^{- 1}) B = A E A^{- 1} = B^{- 1} B = E

이므로 $A B$ 의 역행렬이 $B^{- 1} A^{- 1}$ 임을 알 수 있습니다. 즉

(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}

입니다.^[35]^[36]

이상을 정리하면 다음과 같습니다.^[37]^[38]^[39]

역행렬의 성질

두 정사각행렬 $A, B$ 의 역행렬 $A^{- 1}, B^{- 1}$ 가 존재할 때,

① $(A^{- 1})^{- 1} = A$

② $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$

참고

↑ 행렬(行列)을 영어로 matrix, 성분(成分)을 영어로 entry라고 합니다.
↑ 여기서는 행렬의 성분이 실수인 경우만 다루기로 합니다.
↑ 행(行)을 영어로 row, 열(列)을 영어로 column이라고 합니다.
↑ $m \times n$ 행렬은 ' $m$ by $n$ 행렬'이라고 읽습니다.
↑ 정사각행렬(正四角行列)을 영어로 square matrix라고 합니다.
↑ 두 행렬 $A, B$ 가 서로 같지 않을 때, 이것을 기호로 $A \neq B$ 와 같이 나타냅니다.
↑ 두 행렬 $A = (\begin{matrix} a_{i j} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} b_{i j} \end{matrix})$ 가 같을 꼴일 때,
$A = B \Leftrightarrow a_{i j} = b_{i j}$
↑ 같은 꼴이 아닌 두 행렬의 덧셈은 정의되지 않습니다.
↑ 두 행렬 $A = (\begin{matrix} a_{i j} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} b_{i j} \end{matrix})$ 가 같을 꼴일 때,
$A + B = (\begin{matrix} a_{i j} + b_{i j} \end{matrix})$
↑ 행렬의 덧셈에서 결합법칙이 성립하므로 $(A + B) + C$ 와 $A + (B + C)$ 를 괄호를 사용하지 않고
$A + B + C$
와 같이 나타내기도 합니다.
↑ 영행렬(零行列)을 영어로 zero matrix라고 합니다.
↑ 같은 꼴이 아닌 두 행렬의 뺄셈은 정의되지 않습니다.
↑ 두 실수 $a, b$ 에 대하여
$a - b = a + (- b)$
↑ 두 행렬 $A = (\begin{matrix} a_{i j} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} b_{i j} \end{matrix})$ 가 같을 꼴일 때,
$A - B = (\begin{matrix} a_{i j} - b_{i j} \end{matrix})$
↑ $a, b, x$ 가 실수일 때,
$x + a = b \Leftrightarrow x = b - a$
↑ $A = (\begin{matrix} a_{i j} \end{matrix})$ 이고 $k$ 가 실수일 때,
$k A = (\begin{matrix} k a_{i j} \end{matrix})$
↑ 실수 $a$ 에 대하여
$1 a = a, (- 1) a = - a, 0 \cdot a = 0$
↑ 두 행렬 $A, B$ 의 곱 $A B$ 는 행렬 $A$ 의 열의 개수와 행렬 $B$ 의 행의 개수가 같을 때에만 정의됩니다.
↑ 두 행렬 $A = (\begin{matrix} a_{i k} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} b_{k j} \end{matrix}), A B = (\begin{matrix} c_{i j} \end{matrix})$ 이고 $k = 1, 2, \dots, l$ 일 때,
$c_{i j} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{i l} b_{l j}$
↑ $A^{1} = A$ 입니다.
↑ 행렬의 곱셈의 정의에 의하여 $A$ 가 정사각행렬일 때에만 행렬의 거듭제곱 $A^{n}$ 이 정의됨을 알 수 있습니다.
↑ 임의의 자연수 $n$ 에 대하여
${(\begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix})}^{n} = (\begin{matrix} 1 & n a \\ 0 & 1 \end{matrix}), {(\begin{matrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{matrix})}^{n} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ n a & 1 \end{matrix}), {(\begin{matrix} a & 0 \\ 0 & b \end{matrix})}^{n} = (\begin{matrix} a^{n} & 0 \\ 0 & b^{n} \end{matrix})$
↑ 행렬의 곱셈에서 결합법칙이 성립하므로 $(A B) C$ 와 $A (B C)$ 를 괄호를 사용하지 않고
$A B C$
와 같이 나타내기도 합니다.
↑ 두 행렬 $A, B$ 에 대하여
$\begin{matrix} (A + B)^{2} & = (A + B) (A + B) \\ = A (A + B) + B (A + B) \\ = A^{2} + A B + B A + B^{2} \end{matrix}$
↑ 실수 $a$ 에 대하여
$a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$
↑ 두 실수 $a, b$ 에 대하여
$a \neq 0, b \neq 0 \Leftrightarrow a b \neq 0$
↑ 단위행렬(單位行列)을 영어로 unit matrix라고 하며, 기호 $I$ 로 나타내기도 합니다.
↑ $(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ 은 각각 이차, 삼차 단위행렬입니다.
↑ 행렬 $E = (\begin{matrix} e_{i j} \end{matrix})$ 가 단위행렬일 때,
$e_{i j} = {\begin{matrix} 1 & (i = j) \\ 0 & (i \neq j) \end{matrix}$
↑ 임의의 자연수 $n$ 에 대하여
$E^{n} = E$
↑ 행렬 $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ 에 대하여 다음 등식이 성립합니다.
$A^{2} - (a + d) A + (a d - b c) E = O$
위의 등식을 케일리-해밀턴 정리라고 합니다. 케일리-해밀턴 정리는 정사각행렬 $A$ 에 대하여 $A^{n} = p A + q E$ ( $n$ 은 자연수, $p, q$ 는 실수)의 꼴로 나타내는 데에 편리합니다.
↑ 역행렬(逆行列)을 영어로 inverse matrix라고 합니다. 또 $A^{- 1}$ 는 ' $A$ 의 역행렬' 또는 ' $A^{- 1}$ inverse'라고 읽습니다.
↑ 여기서는 역행렬을 $2 \times 2$ 행렬인 경우만 다루기로 합니다.
↑ 단위행렬 $E$ 에 대하여 $E E = E$ 이므로
$E^{- 1} = E$
↑ $(A B)^{- 1} \neq A^{- 1} B^{- 1}$ 임에 유의하시기 바랍니다.
↑ 세 정사각행렬 $A, B, C$ 의 역행렬 $A^{- 1}, B^{- 1}, C^{- 1}$ 가 모두 존재할 때,
$(A B C)^{- 1} = C^{- 1} B^{- 1} A^{- 1}$
↑ 역행렬이 존재하는 정사각행렬 $A$ 와 임의의 자연수 $n$ 에 대하여
$\begin{matrix} (A^{n})^{- 1} & = (\underset{n}{\underset{⏟}{A A \dots A}})^{- 1} \\ = \underset{n}{\underset{⏟}{A^{- 1} A^{- 1} \dots A^{- 1}}} \\ = (A^{- 1})^{n} \end{matrix}$
↑ 역행렬이 존재하는 정사각행렬 $A$ 와 $0$ 이 아닌 임의의 실수 $k$ 에 대하여
$(k A)^{- 1} = \frac{1}{k} A^{- 1}$
↑ 역행렬이 존재하는 두 정사각행렬 $A, B$ 와 임의의 자연수 $n$ 에 대하여
$(A^{- 1} B A)^{n} = A^{- 1} B^{n} A$

[1] 행렬(行列)을 영어로 matrix, 성분(成分)을 영어로 entry라고 합니다.

[2] 여기서는 행렬의 성분이 실수인 경우만 다루기로 합니다.

[3] 행(行)을 영어로 row, 열(列)을 영어로 column이라고 합니다.

[4] $m \times n$ 행렬은 ' $m$ by $n$ 행렬'이라고 읽습니다.

[5] 정사각행렬(正四角行列)을 영어로 square matrix라고 합니다.

[6] 두 행렬 $A, B$ 가 서로 같지 않을 때, 이것을 기호로 $A \neq B$ 와 같이 나타냅니다.

[7] 두 행렬 $A = (\begin{matrix} a_{i j} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} b_{i j} \end{matrix})$ 가 같을 꼴일 때,
$A = B \Leftrightarrow a_{i j} = b_{i j}$

[8] 같은 꼴이 아닌 두 행렬의 덧셈은 정의되지 않습니다.

[9] 두 행렬 $A = (\begin{matrix} a_{i j} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} b_{i j} \end{matrix})$ 가 같을 꼴일 때,
$A + B = (\begin{matrix} a_{i j} + b_{i j} \end{matrix})$

[10] 행렬의 덧셈에서 결합법칙이 성립하므로 $(A + B) + C$ 와 $A + (B + C)$ 를 괄호를 사용하지 않고
$A + B + C$
와 같이 나타내기도 합니다.

[11] 영행렬(零行列)을 영어로 zero matrix라고 합니다.

[12] 같은 꼴이 아닌 두 행렬의 뺄셈은 정의되지 않습니다.

[13] 두 실수 $a, b$ 에 대하여
$a - b = a + (- b)$

[14] 두 행렬 $A = (\begin{matrix} a_{i j} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} b_{i j} \end{matrix})$ 가 같을 꼴일 때,
$A - B = (\begin{matrix} a_{i j} - b_{i j} \end{matrix})$

[15] $a, b, x$ 가 실수일 때,
$x + a = b \Leftrightarrow x = b - a$

[16] $A = (\begin{matrix} a_{i j} \end{matrix})$ 이고 $k$ 가 실수일 때,
$k A = (\begin{matrix} k a_{i j} \end{matrix})$

[17] 실수 $a$ 에 대하여
$1 a = a, (- 1) a = - a, 0 \cdot a = 0$

[18] 두 행렬 $A, B$ 의 곱 $A B$ 는 행렬 $A$ 의 열의 개수와 행렬 $B$ 의 행의 개수가 같을 때에만 정의됩니다.

[19] 두 행렬 $A = (\begin{matrix} a_{i k} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} b_{k j} \end{matrix}), A B = (\begin{matrix} c_{i j} \end{matrix})$ 이고 $k = 1, 2, \dots, l$ 일 때,
$c_{i j} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{i l} b_{l j}$

[20] $A^{1} = A$ 입니다.

[21] 행렬의 곱셈의 정의에 의하여 $A$ 가 정사각행렬일 때에만 행렬의 거듭제곱 $A^{n}$ 이 정의됨을 알 수 있습니다.

[22] 임의의 자연수 $n$ 에 대하여
${(\begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix})}^{n} = (\begin{matrix} 1 & n a \\ 0 & 1 \end{matrix}), {(\begin{matrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{matrix})}^{n} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ n a & 1 \end{matrix}), {(\begin{matrix} a & 0 \\ 0 & b \end{matrix})}^{n} = (\begin{matrix} a^{n} & 0 \\ 0 & b^{n} \end{matrix})$

[23] 행렬의 곱셈에서 결합법칙이 성립하므로 $(A B) C$ 와 $A (B C)$ 를 괄호를 사용하지 않고
$A B C$
와 같이 나타내기도 합니다.

[24] 두 행렬 $A, B$ 에 대하여
$\begin{matrix} (A + B)^{2} & = (A + B) (A + B) \\ = A (A + B) + B (A + B) \\ = A^{2} + A B + B A + B^{2} \end{matrix}$

[25] 실수 $a$ 에 대하여
$a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$

[26] 두 실수 $a, b$ 에 대하여
$a \neq 0, b \neq 0 \Leftrightarrow a b \neq 0$

[27] 단위행렬(單位行列)을 영어로 unit matrix라고 하며, 기호 $I$ 로 나타내기도 합니다.

[28] $(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ 은 각각 이차, 삼차 단위행렬입니다.

[29] 행렬 $E = (\begin{matrix} e_{i j} \end{matrix})$ 가 단위행렬일 때,
$e_{i j} = {\begin{matrix} 1 & (i = j) \\ 0 & (i \neq j) \end{matrix}$

[30] 임의의 자연수 $n$ 에 대하여
$E^{n} = E$

[31] 행렬 $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ 에 대하여 다음 등식이 성립합니다.
$A^{2} - (a + d) A + (a d - b c) E = O$
위의 등식을 케일리-해밀턴 정리라고 합니다. 케일리-해밀턴 정리는 정사각행렬 $A$ 에 대하여 $A^{n} = p A + q E$ ( $n$ 은 자연수, $p, q$ 는 실수)의 꼴로 나타내는 데에 편리합니다.

[32] 역행렬(逆行列)을 영어로 inverse matrix라고 합니다. 또 $A^{- 1}$ 는 ' $A$ 의 역행렬' 또는 ' $A^{- 1}$ inverse'라고 읽습니다.

[33] 여기서는 역행렬을 $2 \times 2$ 행렬인 경우만 다루기로 합니다.

[34] 단위행렬 $E$ 에 대하여 $E E = E$ 이므로
$E^{- 1} = E$

[35] $(A B)^{- 1} \neq A^{- 1} B^{- 1}$ 임에 유의하시기 바랍니다.

[36] 세 정사각행렬 $A, B, C$ 의 역행렬 $A^{- 1}, B^{- 1}, C^{- 1}$ 가 모두 존재할 때,
$(A B C)^{- 1} = C^{- 1} B^{- 1} A^{- 1}$

[37] 역행렬이 존재하는 정사각행렬 $A$ 와 임의의 자연수 $n$ 에 대하여
$\begin{matrix} (A^{n})^{- 1} & = (\underset{n}{\underset{⏟}{A A \dots A}})^{- 1} \\ = \underset{n}{\underset{⏟}{A^{- 1} A^{- 1} \dots A^{- 1}}} \\ = (A^{- 1})^{n} \end{matrix}$

[38] 역행렬이 존재하는 정사각행렬 $A$ 와 $0$ 이 아닌 임의의 실수 $k$ 에 대하여
$(k A)^{- 1} = \frac{1}{k} A^{- 1}$

[39] 역행렬이 존재하는 두 정사각행렬 $A, B$ 와 임의의 자연수 $n$ 에 대하여
$(A^{- 1} B A)^{n} = A^{- 1} B^{n} A$

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포털:고등학교/수학/수학 Ⅰ(2007 개정)/행렬과 그 연산

목차

행렬의 뜻

행렬의 덧셈, 뺄셈의 뜻과 그 연산

행렬의 실수배의 뜻과 그 연산

행렬의 곱셈의 뜻과 그 연산

단위행렬의 뜻

역행렬의 뜻

이차 정사각행렬의 역행렬

참고

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포털:고등학교/수학/수학 Ⅰ(2007 개정)/행렬과 그 연산

행렬의 뜻

행렬의 덧셈, 뺄셈의 뜻과 그 연산

행렬의 실수배의 뜻과 그 연산

행렬의 곱셈의 뜻과 그 연산

단위행렬의 뜻

역행렬의 뜻

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