구조역학/에너지법을 이용한 방법 문서 원본 보기

* 에너지 보존 법칙 : 외부 하중에 의한 일과 부재 내부 힘에 의한 일은 동일하다.

== 외적 일 ==
[[File:외적 일.png|오른쪽|500픽셀]]

어떤 기둥을 축방향으로 F<sub>1</sub>만큼 당겨서 Δ<sub>1</sub>의 변형이 생겼다. 여기에 F<sub>2</sub>만큼 추가하중을 줘서 총 변형이 Δ<sub>1</sub> + Δ<sub>2</sub>가 됐다면 외적 일은
:<math>W_e = \frac{1}{2}F_1 \Delta_1 + \frac{1}{2}F_2 \Delta_2 + F_1 \Delta_2</math>

== 내적 일 ==
[[File:내적 일.png|왼쪽|500픽셀]]
{{-}}

dA 부분에 작용하는 힘<math>= \left( \frac{M}{I}y \right)dA</math>

dx 부분 변형량<math>= \epsilon dx = \frac{\sigma}{E} dx = \frac{My}{EI} dx</math>

<math>\begin{align} \text{내 적  일 }& = \frac{1}{2} \int_{Vol} \left( \frac{M}{I}y dA \right)\left( \frac{My}{EI}dx \right) \\ 
                                     & = \frac{1}{2}\int_L \frac{M^2}{EI}dx \\ \end{align}</math>

== 가상일의 원리를 이용한 단위하중법 ==
<gallery widths=300px heights=300px>
File:가상계.png|가상계
File:실제계.png|실제계
</gallery>

<math>\Delta = \int \bar S dv \quad (\bar P = 1)</math>

== 예시 ==
[[File:캔틸레버 보 가상일법.png|left|700px]]
{{-}}
<math>\Delta = \int \bar m \frac{M}{EI}dx = \int_0^L (-x)\left( - \frac{Px}{EI} \right) dx = \frac{PL^3}{3EI}</math>

== Product Integral ==
[[File:Product Integral.png|left|300px]]

<math>\int_0^L m_1 m_2 dx = A \cdot y</math>

{{-}}

[[File:Product Integral1.png|left|200px]]

<math>\int_0^L m_1 m_2 dx = \frac{Lab}{3}</math>

{{-}}

[[File:Product Integral2.png|left|200px]]

<math>\int_0^L m_1 m_2 dx = \frac{Lab}{6}</math>

{{-}}

[[File:Product Integral3.png|left|200px]]

<math>\int_0^L m_1 m_2 dx = \frac{L}{6}[a(2c+d) + b(2d+c)]</math>

{{-}}

[[File:Product Integral4.png|left|200px]]

<math>\int_0^L m_1 m_2 dx = \frac{Lab}{2}</math>

{{-}}

[[File:Product Integral5.png|left|200px]]

<math>\int_0^L m_1 m_2 dx = \frac{L}{6} a(2c + d)</math>

{{-}}

== 온도처짐 ==
[[File:캔틸레버 보 온도처짐.png|right|900픽셀]]

<math>\Delta = \frac{L^2}{2} \frac{\alpha (T_1 - T_2)}{h}</math>

{{-}}

== 프레임 처짐 계산 예제1 ==
[[File:프레임 처짐1.png|left|450px]]
{{-}}

----

반력 계산

[[File:프레임 처짐2.png|left|450px]]

{{-}}

전단력도

[[File:프레임 처짐3.png|left|450px]]

{{-}}

모멘트도

[[File:프레임 처짐4.png|left|450px]]

{{-}}

이제 처짐을 구하길 원하는 점에 원하는 방향의 단위하중만을 재하한 가상계를 생각한다. 반력까지 구하면

[[File:프레임 처짐5.png|left|450px]]

{{-}}

전단력도

[[File:프레임 처짐6.png|left|450px]]

{{-}}

모멘트도

[[File:프레임 처짐7.png|left|450px]]

{{-}}

이제 실제계의 모멘트도와 가상계의 모멘트도를 이용하여 처짐을 계산한다.
:<math>\begin{align} \Delta & = \frac{1}{EI} \left( \frac{H}{3} H \cdot PH + \frac{L}{3} H \cdot PH \right) \\
                            & = \frac{1}{EI} \frac{H^2 P}{3} (H + L) \\ \end{align}</math>

== 트러스에 가상일의 원리 적용 ==
<gallery widths=400px heights=200px>
File:트러스 실제계.png|실제계
File:트러스 가상계.png|가상계
</gallery>

<math>\Delta = \int \bar S dv = \sum \bar p \frac{FL}{EA}</math>

== 카스틸리아노의 2 정리 ==
<math>\Delta = \frac{\partial U}{\partial P}</math>

길이 L인 단순보에서 예를 들면
:<math>U = \frac{1}{2} \int \frac{M^2}{EI} dx</math>
:<math>\begin{align} \Delta & = \frac{\partial U}{\partial P} \\
                            & = \frac{\partial U}{\partial M} \frac{\partial M}{\partial P} \\
                            & = \int \frac{M}{EI} \frac{\partial M}{\partial P} dx \end{align}</math>

트러스에서 예를 들면
:<math>U = \frac{1}{2} \sum \frac{F^2 L}{EA}</math>
:<math>\begin{align} \Delta & = \frac{\partial U}{\partial P} \\
                            & = \frac{\partial U}{\partial F}\frac{\partial F}{\partial P} \\
                            & = \sum \frac{FL}{EA} \left( \frac{\partial F}{\partial P} \right) \end{align}</math>