라플라스 변환 문서 원본 보기

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<math>L(f(t))=\underset{0}{\overset{\infty}{\int}}{f(t)}{e}^{-{st}}dt</math>로 주어지는 함수 <math>L(f(t))</math>를 <math>f(t)</math>의 '''라플라스 변환(Lapalce Transform)'''이라고 합니다.

== 기본적인 라플라스 변환 ==
아래는 라플라스 변환과 관련된 문제에서 자주 등장하는 함수의 형태입니다. 이것을 숙지해두면 라플라스 변환의 응용에서 상당한 도움을 얻을 수 있습니다.
<br />
어떤 함수 <math>f(t)</math>  의 라플라스 변환을 <math>F(s)</math> 라고 하면,

* '''초월함수(Exponential Function)'''
::<math>f(t)=e^{at} \Longrightarrow F(s)=\frac{1}{s-a} </math>
* '''삼각함수(Trigonometric Function)'''
::<math>f(t)=\cos at \Longrightarrow F(s)=\frac{s}{s^2+a^2} </math>
::<math>f(t)=\sin at \Longrightarrow F(s)=\frac{a}{s^2+a^2} </math>
* '''다항식(Polynomial)''' 
::<math>f(t)=t^n \Longrightarrow F(s)=\frac{n!}{s^{n+1}} </math>
* '''쌍곡선함수(Hyperbolic Function)'''
::<math>f(t)=\cosh at \Longrightarrow F(s)=\frac{s}{s^2-a^2} </math>
::<math>f(t)=\sinh at \Longrightarrow F(s)=\frac{a}{s^2-a^2} </math>
* '''단위충격함수(Unit Impulse Function) 및 단위계단함수(Unit Step Function)'''
::<math>f(t)=\delta (t-t_0) \Longrightarrow F(s)=e^{-t_0s} </math> (단, <math>t_0>=0</math>)
::<math>f(t)=u(t-t_0) \Longrightarrow F(s)=\frac{e^{-t_0s}}{s} </math> (단, <math>t_0>=0</math>)

== 라플라스 변환의 중요한 성질 ==
=== 도함수 및 적분에 대한 라플라스 변환 ===
아래는 어떤 함수 <math>f(t)</math>의 도함수 및 적분의 라플라스 변환에 대한 공식입니다.
* 도함수의 라플라스 변환
:: <math>L(f'(t))=sF(s)-f(0)</math>
:: <math>L(f''(t))=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)</math>
:: <math>L(f^{(n)}(t))=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-</math>  .  .  .  <math>-f^{n-1}(0)</math>
* 적분의 라플라스 변환
:: <math>L(\int_0^t f(\tau)d\tau)=\frac{F(s)}{s}</math>
<br />

=== 초월함수의 이동 성질(Shifting Property) ===
초월함수 <math>e^{at}</math> 은 라플라스 변환 <math>F(s)</math> 을 이동시키는 성질이 있습니다. 
<br />

:<math> L(e^{at}f(t)) = F(s-a) </math>
<br />

=== 다항함수의 미분 성질(Differentiating Property) ===
다항함수 <math>t^n \;(n=1,2,3, ...)</math> 은 라플라스 변환 <math>F(s)</math> 을 <math>s</math> 에 대해 미분하는 성질이 있습니다.
:<math>L(tf(t))=-\frac{d}{ds}\;\;F(s)</math>
:<math>L(t^n f(t))=(-1)^n \frac{d^n}{ds^n}\;\;F(s)</math>
<br />

=== 콘볼루션에 대한 라플라스 변환 ===
어떤 두 함수 <math>f(t)</math> , <math>g(t)</math>의 '''콘볼루션(Convolution)'''은
:<math>f(t) * g(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)d\tau</math>
으로 정의됩니다. 이때 이 함수의 라플라스 변환은 아래와 같습니다.
:<math>L(f(t) * g(t))=F(s)G(s)</math>
<br />
<br />
<br />

== 라플라스 변환의 추가적인 정리 ==

=== 충격함수 및 계단함수와 관련된 정리 ===
* <math>L(f(t)u(t-t_0))=e^{-t_0 s}L(f(t+t_0)), t_0>=0</math>
* <math>L(f(t)\delta (t-t_0))=f(t_0)e^{-t_0 s}, t_0 >= 0 </math>


=== 초깃값 및 최종값에 관한 정리===
아래는 어떤 함수 <math>f(t)</math>의 '''초깃값'''과 '''최종값'''을 구하는 데 사용될 수 있는 정리입니다. 단, 두 식 모두 좌변값이 존재한다는 것을 전제로 합니다.
* 초깃값 정리 : <math>f(0^+)=\lim_{s \to \infty}sF(s)</math>

* 최종값 정리 : <math>f(\infty)=\lim_{s \to 0^+}sF(s)</math>
</br>
</br>

== 라플라스 역변환 ==
어떤 라플라스 변환 <math>F(s)</math>을 원래의 함수<math>f(t)</math>로 변환하는 것을 뜻하며, 기호로는 아래와 같이 나타냅니다.
:<math>f(t)=L^{-1}(F(s))</math>

</br>
<br />
<br />

== 라플라스 변환의 응용 ==
=== 미분방정식의 풀이 ===
라플라스 변환을 이용하면, 초깃값(<math>t=0</math>에서의 값)이 주어진 미분방정식을 간단히 풀 수 있습니다.
==== 예제 1 : 1계 미분방정식(1) ====
초깃값 문제 <math> x'+2x=e^{3t},\; x(0)=1 </math> 의 해를 '''라플라스 변환을 이용하여''' 구하여라.

</br>[풀이] 양변에 라플라스 변환을 취하면
:<math>[sX(s)-x(0)]+2X(s)=\frac{1}{s-3}</math>
:<math>[sX(s)-1]+2X(s)=\frac{1}{s-3}</math>
식을 <math>X(s)</math>에 관해 정리하면
:<math>X(s)=\frac{s-2}{(s+2)(s-3)}</math>
이때 위 식의 우변을 아래와 같이 부분분수화할 수 있습니다.
:<math>\frac{s-2}{(s+2)(s-3)}=\frac{A}{s+2}+\frac{B}{s-3}</math>  (<math>A,\;B</math> : 상수)
양변에 <math>(s+2)(s-3)</math>을 곱하면
:<math>s-2=A(s-3)+B(s+2)</math>
:<math>s-2=(A+B)s+(-3A+2B)</math>
:<math>\longrightarrow A+B=1, -3A+2B=-2</math>
:<math>\therefore A=\frac{4}{5}, B=\frac{1}{5}</math>
따라서 <math>X(s)</math>의 식은 아래와 같습니다.
:<math>X(s)=\frac{4}{5}\;\frac{1}{s+2}+\frac{1}{5}\;\frac{1}{s-3}</math>
이를 역변환하면 미분방정식의 해 <math>x(t)</math> 을 얻을 수 있습니다.
:<math>x(t)=\frac{4}{5}\;e^{-2t}+\frac{1}{5}\;e^{3t}</math>
<br />
<br />

==== 예제 2 : 1계 미분방정식(2) ====
초깃값 문제 <math> x''+x=\sin t,\; x(0)=1,\; x'(0)=0</math> 의 해를 '''라플라스 변환을 이용하여''' 구하여라. 

<br>양변에 라플라스 변환을 취하면
:<math>[s^2X(s)-sx(0)-x'(0)]+X(s)=\frac{1}{s^2+1}</math>
식을 정리하면,
:<math>X(s)=\frac{s}{s^2+1}+\frac{1}{(s^2+1)^2}</math>
을 얻습니다. 이때 <math>L(\cos t)=\frac{s}{s^2+1}</math>이고
:<math>\frac{1}{(s^2+1)^2}=\frac{1}{s^2+1}\cdot\frac{1}{s^2+1}= L(\sin t)\cdot L(\sin t)=L(\sin t * \sin t)</math>
:<math>\sin t * \sin t= \int_0^t \sin \tau \sin(t-\tau)d\tau =-\frac{1}{2} \int_0^t (\cos t -\cos(2\tau -t )) d\tau=-\frac{1}{2}(t\cos t -\frac{1}{2}(\sin t-\sin(-t))) = -\frac{1}{2}(t\cos t - \sin t)</math>
이므로
:<math>x(t)=\cos t -\frac{1}{2}t\cos t + \frac{1}{2} \sin t</math>
를 얻습니다.
<br />
<br />
<br />

==== 예제 3 : 2계 미분방정식 ====
다음의 초깃값 문제를 라플라스 변환을 이용하여 풀어라.
::<math>x_1 '-x_1+x_2=e^t</math>
::<math>x_2 '+x_2 -x_1 = e^{-t}</math>
::<math>x_1(0)=0 , x_2(0)=1 </math>
<br />
<br />

=== 선형 시스템의 모델링 ===
라플라스 변환을 이용하면 여러 개의 선형 미분 방정식으로 이루어진 시스템을 단 하나의 미분방정식으로 통합할 수 있습니다.

==== 예제 1 : 스프링-질량 시스템(Spring-Mass System) ====
질량이 각각 <math>m_1 , m_2</math> 인 두 물체 및 용수철 상수가 각각 <math> k_1 , k_2 </math> 인 두 용수철로 구성된 시스템에서 질량 <math>m_2</math> 의 물체에 힘 <math>f(t)</math>을 가했다. 두 물체의 위치를 각각 <math>x_1(t) , x_2(t)</math> 라 할 때, 두 물체의 운동방정식은 각각 다음과 같았다.

::<math>m_1 x_1 '' + (k_1+k_2)x_1 -k_2 x_2 = 0 </math>
::<math>m_2 x_2 '' + k_2 x_2 - k_2 x_1 = f(t) </math>

<math>f(t)</math> 가 주어진 함수일 때, 위 두 방정식을 각각 (a) 오직 <math>x_1(t)</math> 에 관한 미분방정식으로, (b) 오직 <math>x_2(t)</math> 에 관한 미분방정식으로 통합하여라.

</br>
</br> [풀이]  <math>x_1 (t)</math> 에 관한, 또는 <math>x_2 (t)</math> 에 관한 미분방정식은, 모든 초기 조건을 <math>0</math> 으로 둔 뒤 주어진 두 방정식에 각각 라플라스 변환을 취하고 연립하여 <math>X_1(s)</math> 및 <math>X_2(s)</math>을 각각 <math>F(s)</math> 에 관한 식으로 나타냄으로써 구할 수 있습니다. 우선, 초기 조건을 모두 <math>0</math> 으로 두고 두 방정식에 라플라스 변환을 취하면<br />

::<math>m_1 s^2 X_1(s) + (k_1 + k_2 )X_1(s) - k_2 X_2 (s) = 0 </math>
::<math>m_2 s^2 X_2(s) + k_2 X_2(s) - k_2 X_1(s) = F(s) </math>
<br />

여기서 첫째 방정식을 <math>X_2(s)</math>에 대해 표현하면<br />

::<math> X_2(s) = \frac{m_1 s^2 + (k_1+k_2)}{k_2}\;\;X_1(s)</math>
<br />

이를 둘째 식에 대입하면<br />

::<math> m_2 s^2 \frac{m_1 s^2 + (k_1 + k_2)}{k_2}\;\;X_1(s) + k_2 \frac{m_1 s^2 + (k_1 + k_2)}{k_2}\;\;X_1(s) - k_2 X_1(s) = F(s) </math>
<br />
<math>X_1(s)</math>에 관해 정리하면<br />

::<math> X_1(s)=\frac{k_2 F(s)}{m_1 m_2 s^4 + (m_1 k_2 + m_2 k_1 + m_2 k_2 )\;s^2 +k_1 k_2} </math> 
::<math>\therefore m_1m_2 s^4 X_1(s) + (m_1 k_2 + m_2 k_1 + m_2 k_2 ) s^2 X_1(s) + k_1 k_2 X_1(s) = k_2 F(s) </math><br />
<br />

이때, 모든 초기 조건을 <math>0</math> 으로 두었으므로, 양변을 라플라스 역변환하면 아래의 미분방정식을 얻게 됩니다.
<br />

::<math> m_1 m_2 x_1 '''' + (m_1 k_2 + m_2 k_1 + m_2 k_2 ) x_1 '' + k_1 k_2 x_1 = k_2 f(t) </math>       ------------------------------------------------------ (a)의 정답
<br />

한편, 위에서 구한 <math>X_1(s)</math>의 식을 이용하여 <math>X_2(s)</math>의 식을 구하면
::<math> X_2(s) = \frac{m_1 s^2 + (k_1+k_2)}{k_2}\;\;X_1(s) </math>
<br />

::::<math>=\frac{m_1 s^2 + (k_1+k_2)}{k_2}\;\;\frac{k_2 F(s)}{m_1 m_2 s^4 + (m_1 k_2 + m_2 k_1 + m_2 k_2 )\;s^2 +k_1 k_2}</math>
<br />

::::<math>=\frac{[\; m_1 s^2 + (k_1+k_2)\;]\; F(s)}{m_1 m_2 s^4 + (m_1 k_2 + m_2 k_1 + m_2 k_2 )\;s^2 +k_1 k_2}</math>

<br />
::<math>\therefore m_1 m_2 s^4 X_2(s) + (m_1 k_2 + m_2 k_1 + m_2 k_2)s^2 X_2(s) + k_1 k_2 X_2(s) = m_1 s^2 F(s) + (k_1 +k_2)F(s)</math>
<br />

여기서도 마찬가지로 위 결과를 라플라스 역변환하면 아래의 미분방정식을 얻게 됩니다.
::<math>m_1 m_2 x_2 '''' + (m_1 k_2 + m_2 k_1 + m_2 k_2 ) x_2 '' + k_1 k_2 x_2 = m_1 f''(t) + (k_1 +k_2)f(t) </math> ------------------------------------------------------------ (b)의 정답

[[Category:수학]]