라플라스 변환

틀:상태상자 틀:위키백과잇기 $L(f(t))=\underset{0}{\stackrel{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-st}dt$로 주어지는 함수 $L(f(t))$를 $f(t)$의 라플라스 변환(Lapalce Transform)이라고 합니다.

기본적인 라플라스 변환

아래는 라플라스 변환과 관련된 문제에서 자주 등장하는 함수의 형태입니다. 이것을 숙지해두면 라플라스 변환의 응용에서 상당한 도움을 얻을 수 있습니다.
어떤 함수 $f(t)$ 의 라플라스 변환을 $F(s)$ 라고 하면,

• 초월함수(Exponential Function)

$f(t)=e^{at}⟹F(s)=\frac{1}{s-a}$

• 삼각함수(Trigonometric Function)

$f(t)=\cos at⟹F(s)=\frac{s}{s^2+a^2}$

$f(t)=\sin at⟹F(s)=\frac{a}{s^2+a^2}$

• 다항식(Polynomial)

$f(t)=t^n⟹F(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}$

• 쌍곡선함수(Hyperbolic Function)

$f(t)=\cosh at⟹F(s)=\frac{s}{s^2-a^2}$

$f(t)=\sinh at⟹F(s)=\frac{a}{s^2-a^2}$

• 단위충격함수(Unit Impulse Function) 및 단위계단함수(Unit Step Function)

$f(t)=\delta (t-t_0)⟹F(s)=e^{-t_{0}s}$ (단, $t_0>=0$)

$f(t)=u(t-t_0)⟹F(s)=\frac{e^{-t_{0}s}}{s}$ (단, $t_0>=0$)

라플라스 변환의 중요한 성질

도함수 및 적분에 대한 라플라스 변환

아래는 어떤 함수 $f(t)$의 도함수 및 적분의 라플라스 변환에 대한 공식입니다.

• 도함수의 라플라스 변환

$L(f^{\prime }(t))=sF(s)-f(0)$

$L(f^{″}(t))=s^{2}F(s)-sf(0)-f^{\prime }(0)$

$L(f^{(n)}(t))=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}{f}^{\prime }(0)-$ . . . $-f^{n-1}(0)$

• 적분의 라플라스 변환

$L(\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau )=\frac{F(s)}{s}$

초월함수의 이동 성질(Shifting Property)

초월함수 $e^{at}$ 은 라플라스 변환 $F(s)$ 을 이동시키는 성질이 있습니다.

$L(e^{at}f(t))=F(s-a)$

다항함수의 미분 성질(Differentiating Property)

다항함수 $t^n(n=1,2,3,...)$ 은 라플라스 변환 $F(s)$ 을 $s$ 에 대해 미분하는 성질이 있습니다.

$L(tf(t))=-\frac{d}{ds}F(s)$

$L(t^{n}f(t))=(-1{)}^n\frac{d^n}{d{s}^n}F(s)$

콘볼루션에 대한 라플라스 변환

어떤 두 함수 $f(t)$ , $g(t)$의 콘볼루션(Convolution)은

$f(t)*g(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

으로 정의됩니다. 이때 이 함수의 라플라스 변환은 아래와 같습니다.

$L(f(t)*g(t))=F(s)G(s)$

라플라스 변환의 추가적인 정리

충격함수 및 계단함수와 관련된 정리

• $L(f(t)u(t-t_0))=e^{-t_{0}s}L(f(t+t_0)),t_0>=0$
• $L(f(t)\delta (t-t_0))=f(t_0)e^{-t_{0}s},t_0>=0$

초깃값 및 최종값에 관한 정리

아래는 어떤 함수 $f(t)$의 초깃값과 최종값을 구하는 데 사용될 수 있는 정리입니다. 단, 두 식 모두 좌변값이 존재한다는 것을 전제로 합니다.

• 초깃값 정리 : $f(0^{+})=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }sF(s)$

• 최종값 정리 : $f(\mathrm{\infty })=\underset{s\to 0^{+}}{\lim }sF(s)$

라플라스 역변환

어떤 라플라스 변환 $F(s)$을 원래의 함수$f(t)$로 변환하는 것을 뜻하며, 기호로는 아래와 같이 나타냅니다.

$f(t)=L^{-1}(F(s))$

라플라스 변환의 응용

미분방정식의 풀이

라플라스 변환을 이용하면, 초깃값($t=0$에서의 값)이 주어진 미분방정식을 간단히 풀 수 있습니다.

예제 1 : 1계 미분방정식(1)

초깃값 문제 $x^{\prime }+2x=e^{3t},x(0)=1$ 의 해를 라플라스 변환을 이용하여 구하여라.

[풀이] 양변에 라플라스 변환을 취하면

$[sX(s)-x(0)]+2X(s)=\frac{1}{s-3}$

$[sX(s)-1]+2X(s)=\frac{1}{s-3}$

식을 $X(s)$에 관해 정리하면

$X(s)=\frac{s-2}{(s+2)(s-3)}$

이때 위 식의 우변을 아래와 같이 부분분수화할 수 있습니다.

$\frac{s-2}{(s+2)(s-3)}=\frac{A}{s+2}+\frac{B}{s-3}$ ($A,B$ : 상수)

양변에 $(s+2)(s-3)$을 곱하면

$s-2=A(s-3)+B(s+2)$

$s-2=(A+B)s+(-3A+2B)$

$⟶A+B=1,-3A+2B=-2$

$\therefore A=\frac{4}{5},B=\frac{1}{5}$

따라서 $X(s)$의 식은 아래와 같습니다.

$X(s)=\frac{4}{5}\frac{1}{s+2}+\frac{1}{5}\frac{1}{s-3}$

이를 역변환하면 미분방정식의 해 $x(t)$ 을 얻을 수 있습니다.

$x(t)=\frac{4}{5}{e}^{-2t}+\frac{1}{5}{e}^{3t}$

예제 2 : 1계 미분방정식(2)

초깃값 문제 $x^{″}+x=\sin t,x(0)=1,x^{\prime }(0)=0$ 의 해를 라플라스 변환을 이용하여 구하여라.

양변에 라플라스 변환을 취하면

$[s^{2}X(s)-sx(0)-x^{\prime }(0)]+X(s)=\frac{1}{s^2+1}$

식을 정리하면,

$X(s)=\frac{s}{s^2+1}+\frac{1}{(s^2+1{)}^2}$

을 얻습니다. 이때 $L(\cos t)=\frac{s}{s^2+1}$이고

$\frac{1}{(s^2+1{)}^2}=\frac{1}{s^2+1}\cdot \frac{1}{s^2+1}=L(\sin t)\cdot L(\sin t)=L(\sin t*\sin t)$

$\sin t*\sin t=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sin \tau \sin (t-\tau )d\tau =-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{t}{\int }}(\cos t-\cos (2\tau -t))d\tau =-\frac{1}{2}(t\cos t-\frac{1}{2}(\sin t-\sin (-t)))=-\frac{1}{2}(t\cos t-\sin t)$

이므로

$x(t)=\cos t-\frac{1}{2}t\cos t+\frac{1}{2}\sin t$

를 얻습니다.

예제 3 : 2계 미분방정식

다음의 초깃값 문제를 라플라스 변환을 이용하여 풀어라.

${x_1}^{\prime }-x_1+x_2=e^t$

${x_2}^{\prime }+x_2-x_1=e^{-t}$

$x_1(0)=0,x_2(0)=1$

선형 시스템의 모델링

라플라스 변환을 이용하면 여러 개의 선형 미분 방정식으로 이루어진 시스템을 단 하나의 미분방정식으로 통합할 수 있습니다.

예제 1 : 스프링-질량 시스템(Spring-Mass System)

질량이 각각 $m_1,m_2$ 인 두 물체 및 용수철 상수가 각각 $k_1,k_2$ 인 두 용수철로 구성된 시스템에서 질량 $m_2$ 의 물체에 힘 $f(t)$을 가했다. 두 물체의 위치를 각각 $x_1(t),x_2(t)$ 라 할 때, 두 물체의 운동방정식은 각각 다음과 같았다.

$m_1{x_1}^{″}+(k_1+k_2)x_1-k_2{x}_2=0$

$m_2{x_2}^{″}+k_2{x}_2-k_2{x}_1=f(t)$

$f(t)$ 가 주어진 함수일 때, 위 두 방정식을 각각 (a) 오직 $x_1(t)$ 에 관한 미분방정식으로, (b) 오직 $x_2(t)$ 에 관한 미분방정식으로 통합하여라.

[풀이] $x_1(t)$ 에 관한, 또는 $x_2(t)$ 에 관한 미분방정식은, 모든 초기 조건을 $0$ 으로 둔 뒤 주어진 두 방정식에 각각 라플라스 변환을 취하고 연립하여 $X_1(s)$ 및 $X_2(s)$을 각각 $F(s)$ 에 관한 식으로 나타냄으로써 구할 수 있습니다. 우선, 초기 조건을 모두 $0$ 으로 두고 두 방정식에 라플라스 변환을 취하면

$m_1{s}^2{X}_1(s)+(k_1+k_2)X_1(s)-k_2{X}_2(s)=0$

$m_2{s}^2{X}_2(s)+k_2{X}_2(s)-k_2{X}_1(s)=F(s)$

여기서 첫째 방정식을 $X_2(s)$에 대해 표현하면

$X_2(s)=\frac{m_1{s}^2+(k_1+k_2)}{k_2}{X}_1(s)$

이를 둘째 식에 대입하면

$m_2{s}^2\frac{m_1{s}^2+(k_1+k_2)}{k_2}{X}_1(s)+k_2\frac{m_1{s}^2+(k_1+k_2)}{k_2}{X}_1(s)-k_2{X}_1(s)=F(s)$

$X_1(s)$에 관해 정리하면

$X_1(s)=\frac{k_{2}F(s)}{m_1{m}_2{s}^4+(m_1{k}_2+m_2{k}_1+m_2{k}_2)s^2+k_1{k}_2}$

$\therefore m_1{m}_2{s}^4{X}_1(s)+(m_1{k}_2+m_2{k}_1+m_2{k}_2)s^2{X}_1(s)+k_1{k}_2{X}_1(s)=k_{2}F(s)$

이때, 모든 초기 조건을 $0$ 으로 두었으므로, 양변을 라플라스 역변환하면 아래의 미분방정식을 얻게 됩니다.

$m_1{m}_2{x_1}^{⁗}+(m_1{k}_2+m_2{k}_1+m_2{k}_2){x_1}^{″}+k_1{k}_2{x}_1=k_{2}f(t)$ ------------------------------------------------------ (a)의 정답

한편, 위에서 구한 $X_1(s)$의 식을 이용하여 $X_2(s)$의 식을 구하면

$X_2(s)=\frac{m_1{s}^2+(k_1+k_2)}{k_2}{X}_1(s)$

$=\frac{m_1{s}^2+(k_1+k_2)}{k_2}\frac{k_{2}F(s)}{m_1{m}_2{s}^4+(m_1{k}_2+m_2{k}_1+m_2{k}_2)s^2+k_1{k}_2}$

$=\frac{[m_1{s}^2+(k_1+k_2)]F(s)}{m_1{m}_2{s}^4+(m_1{k}_2+m_2{k}_1+m_2{k}_2)s^2+k_1{k}_2}$

$\therefore m_1{m}_2{s}^4{X}_2(s)+(m_1{k}_2+m_2{k}_1+m_2{k}_2)s^2{X}_2(s)+k_1{k}_2{X}_2(s)=m_1{s}^{2}F(s)+(k_1+k_2)F(s)$

여기서도 마찬가지로 위 결과를 라플라스 역변환하면 아래의 미분방정식을 얻게 됩니다.

$m_1{m}_2{x_2}^{⁗}+(m_1{k}_2+m_2{k}_1+m_2{k}_2){x_2}^{″}+k_1{k}_2{x}_2=m_1{f}^{″}(t)+(k_1+k_2)f(t)$ ------------------------------------------------------------ (b)의 정답