수리학/동수역학 문서 원본 보기

== 유동의 정의와 분류 ==
* 유속은 단면의 위치에 따라 다르나 일반적으로 단면 전체에 대한 평균값 사용. '''=평균 유속(mean velocity)'''
* '''유선(stream line)''' : 임의 순간에 각 점의 속도벡터에 접하는 곡선
* '''유적선(pathline, path of particle)''' : 유체 입자 실제의 이동 경로

<br />

== 연속 방정식 ==

=== 수직한 단면에 변화하는 흐름이 통과하는 경우 ===

==== 사각형 단면에 변화하는 흐름이 통과하는 경우 ====
[[파일:연속방정식1.png|오른쪽|프레임없음|751x751픽셀]]
<math>dQ = Vbdy = aybdy</math>

<math>\therefore Q = \int^h_0 abydy = \left[ ab \cdot \frac{y^2}{2} \right]^h_0</math>

평균 유속 <math>V = \frac{Q}{A} = \frac{\frac{abh^2}{2}}{bh} = \frac{ah}{2}</math>
<br />
{{-}}

==== 원형 단면에 변화하는 흐름이 통과하는 경우   ====
[[파일:연속방정식2.png|오른쪽|프레임없음|749x749픽셀]]
<math>dQ = udA = u \cdot 2 \pi rdr</math>

<math>\begin{align} Q & = \int_A dQ = \int^R_0 u \cdot 2 \pi rdr \\ & = 2\pi \int^R_0 u_c \left( 1 - \frac{r^2}{R^2} \right) rdr \\ & = \frac{u_c \pi R^2}{2} \end{align}</math>


유속 <math>V = \frac{Q}{A} = \frac{1}{2}u_c</math>

{{-}}

== 베르누이 방정식 ==

=== 펌프 ===

펌프에 의한 동력

<math>P_p = \gamma Q E_p</math>


펌프의 효율

<math>\eta_p = \frac{P_p}{P_{p \ act}}\left( \text{펌 프 의  효 율 } = \frac{\text{이 론 동 력 }}{\text{실 제 동 력 }} \right), \quad P_{p \ act} = \frac{P_p}{\eta_p} </math> 

펌프에 대해 요구되는 실제 동력은 손실로 인해 이론 동력보다 커야함.

<br />

=== 터빈 ===
터빈에 의한 동력

<math>P_T = \gamma Q E_T</math>


터빈의 효율

<math>\eta_T = \frac{P_{T \ act}}{P_T} \left( \text{터 빈 의  효 율 } = \frac{\text{실 제 동 력 }}{\text{이 론 동 력 }} \right)
, \quad P_{T \ act} = \eta_T P_T </math>

터빈은 유체로부터 동력을 얻어내는 경우이므로, 터빈에서 출력되는 동력은 실제 동력보다 작다.
<br />

=== 동수경사선과 에너지 경사선 ===

* 에너지 경사선(Energy Grade Lines; E.G.L) : 총 에너지 수두. H의 높이와 같다.
** 완전유체에서는 마찰에 의한 에너지 손실이 없으므로 H값 일정(에너지선은 기준면과 평행)
** <math>EGL = \frac{V^2}{2g} + \frac{p}{\gamma} + z = H</math>
* 동수경사선(Hydraulic Grade Lines; H.G.L) : 위치수두와 압력수두 합을 연결한 선
** 유속 감소에 따라 서서히 증가
** <math>HGL = \frac{p}{\gamma} + z = EGL - \frac{V^2}{2g}</math>

<br />

=== 베르누이 정리의 응용 ===

==== 토리첼리의 정리 ====

===== 소오리피스로부터의 유출 =====
♣♣♣
[[파일:소오리피스.png|오른쪽|398x398픽셀]]
<math>\frac{p_1}{\gamma} + \frac{{V_1}^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{{V_2}^2}{2g} + z_2</math>

<math>0 + 0 + z_1 = 0 + \frac{{V_2}^2}{2g} + z_2</math>

<math>V_2 = \sqrt{2g(z_1 - z_2)} = \sqrt{2gh} = V_{id}</math>(이론 유속)

<math>V_{act} = C_v V_{id}</math>

* C<sub>v</sub> : 유속계수

<br />
[[파일:Orifice.png|왼쪽]]
<math>C_c = \frac{A_{vc}}{A_2} \approx (0.6 \leq C_c \leq 0.7)</math>

<math>Q_{id} = A_2 V_{id} = A_2 \sqrt{2gh}</math>

<math>\begin{align} Q_{act} & = A_{vc} V_{act} \\ & = C_c \cdot C_v \cdot A_2 \cdot V_{id} \\ & = C_d \cdot Q_{id} \end{align}</math>

유량계수 <math>C_d = C_c \cdot C_v</math>

실제 유량 <math>Q_{act} = C_d \cdot A_{vc} \sqrt{2gh}</math>


작은 오리피스는 수량을 측정하거나 조절할 목적으로 쓰임.

<br />

===== 피토관 =====
<math>\frac{p_1}{\gamma} + \frac{{V_1}^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{{V_2}^2}{2g} + z_2</math>

양변에 γ를 곱하면 압력을 나타내는 항으로 표현할 수 있다.

<math>\frac{\rho {V_1}^2}{2} + p_1 + \gamma z_1 = \frac{\rho {V_2}^2}{2} + p_2 + \gamma z_2</math>

<math>\frac{\rho V^2}{2} + p + \gamma z = constant</math>

동압력(유속에 의한 압력) + 정압력 + 위치압력
[[파일:정체점.png|오른쪽|503x503픽셀]]


오른쪽 그림에서 물체 선단에는 속도가 0이 되는 정체점 S가 생긴다. O와 S에 베르누이 정리를 쓰면
<br /><math>\frac{\rho {V_0}^2}{2} + p_0 = \frac{\rho {V_s}^2}{2} + p_s</math>

<math>p_s = p_0 + \frac{\rho {V_0}^2}{2}</math>

정체점에서의 압력 = 정압력 + 동압력 = 총압력

'''총압력'''과 '''정압력'''을 구하고 이것으로부터 '''점유속'''을 측정하는 장치를 '''피토관'''이라 함.

[[파일:Pitotbuis.jpg|왼쪽|353x353픽셀]]
왼쪽 관이 피토관이며, 관 내 유속은 <math>V = \sqrt{2g \Delta h}</math>

{{-}}

===== 벤추리미터 =====
목 부분에서 관이 축소되어 속도는 증가하고 압력이 감소됨. 이때의 '''압력강하'''를 측정하여 '''유량'''을 구하는 장치.


어려울 것 없이 베르누이 방정식, 유량, 압력의 관계를 이용하면 됨. <u>식 외울 필요 없음.</u>
[[파일:Ventury effect.svg|오른쪽|400x400픽셀]]
<math>\frac{{v_1}^2}{2g} + \frac{p_1}{\gamma} + z_1 = \frac{{v_2}^2}{2g} + \frac{p_2}{\gamma} + z_2</math>

<math>\frac{{v_2}^2 - {v_1}^2}{2g} = \frac{p_1 - p_2}{\gamma}</math>

<math>v_1 = \frac{A_2}{A_1}v_2</math>, <math>\frac{p_1 - p_2}{\gamma} = \left( \frac{\gamma_m}{\gamma} - 1 \right)h</math>

<math>\begin{align} v_2 & = \frac{1}{\sqrt{1 - {A_2}^2 / {A_1}^2}} \sqrt{2gh \left( \frac{\gamma_m}{\gamma} - 1 \right)} \\ & = 
\frac{A_1}{\sqrt{{A_1}^2 - {A_2}^2}} \sqrt{2gh(S - 1)} \\ \end{align}</math>

<math>Q = A_2 v_2 = \frac{A_1 A_2}{\sqrt{{A_1}^2 - {A_2}^2}} \sqrt{2gh (S - 1)}</math>


실제 유량은 유량계수 C<sub>d</sub>를 곱해서 구함.

<math>Q' = C_d Q</math>

== 운동량 방정식 ==
검사체적 내 물질에 작용하는 모든 힘 <math>\sum \vec F</math>

= 검사체적 내의 질량에 작용하는 체력(body force) + 검사표면에 작용하는 모든 표면력(surface force)


'''정상류'''에 대하여, (가정 : <u>정상류, 유속은 단면 내에서 일정)</u>

<math>\sum \vec F = \sum_{out} (\rho Q) \vec V - \sum_{in} (\rho Q) \vec V</math>

=== 정지판에 미치는 충격력 ===
♣♣♣

==== 분류가 고정된 수직평판에 작용하는 경우 ====
[[파일:정지판에 미치는 충격력.png|오른쪽|480x480픽셀]]
질량 보존 법칙 <math>\rho_1 V_1 A_1 + \rho_2 V_2 A_2 = \rho_0 V_0 A_0</math>

비압축성 유체이면 <math>Q_1 + Q_2 = Q_0 </math>

운동량 방정식 <math>\sum F_x = \sum_{out} (\rho V_n A)V_x - \sum_{in} (\rho V_n A)V_x</math>

x방향 수평력은 - R<sub>x</sub> 뿐이고, (V<sub>x</sub>)<sub>out</sub> = 0이므로

<math>- R_x = - \rho Q V_0</math>

{{-}}

==== 경사진 분류가 고정된 수직평판에 작용하는 경우 ====
[[파일:정지판에 미치는 충격력 - 경사진 분류.png|오른쪽|400x400픽셀]]
<math>V_1 = V \sin \theta, \quad V_2 = 0</math>이므로

<math>F = \frac{\gamma_w}{g}QV \sin \theta = \frac{\gamma_w}{g} AV^2 \sin \theta</math>

<math>\therefore F = \frac{\gamma_w}{g}AV^2 \sin \theta</math>

{{-}}

==== 분류가 곡면판에 충돌(θ < 90도) ====
[[파일:곡면판에 충돌하는 분류1.png|오른쪽|400x400픽셀]]
x방향에 대해서 V<sub>1</sub> = V, V<sub>2</sub> = V cos θ이므로

<math>F_x = \frac{\gamma_w}{g}Q (V - V\cos \theta) = \frac{\gamma_w}{g}QV (1 - \cos \theta) = \frac{\gamma_w}{g}AV^2 (1 - \cos \theta)</math>

<math>\therefore F_x = \frac{\gamma_w}{g}AV^2 (1 - \cos \theta)</math>


y방향에 대해서 V<sub>1</sub> = 0, V<sub>2</sub> = V sin θ이므로

<math>F_y = \frac{\gamma_w}{g}Q (0 - V\sin \theta) = - \frac{\gamma_w}{g}QV \sin \theta = - \frac{\gamma_w}{g}AV^2 \sin \theta</math>

<math>\therefore F_y = - \frac{\gamma_w}{g}AV^2 \sin \theta</math>


충격력 <math>F = \sqrt{{F_x}^2 + {F_y}^2}</math>

<math>\alpha = \tan^{-1} \left( \frac{F_y}{F_x} \right)</math>

<br />

==== 분류가 곡면판에 충돌(θ = 180도) ====
<math>\cos \theta = \cos (180 - \theta_0) = - \cos \theta_0</math>

<math>F = \frac{\gamma_w}{g}Q(V + V \cos \theta_0) = \frac{\gamma_w}{g}QV (1+ \cos \theta_0)</math>

여기서 <math>\cos \theta = \cos 180^\circ = -1</math>이므로

<math>F = \frac{2\gamma_w}{g}QV = \frac{2\gamma_w}{g}AV^2</math>

<br />

=== 오일러의 운동 방정식과 연속 방정식 ===

==== 1차원 흐름의 연속 방정식 ====

* 정상류이면 ρVA = 일정
* 정상류이면서 비압축성이면 VA = Q = 일정

==== 연속방정식의 일반형 ====

* 정상류이면 <math>u \frac{\partial \rho}{\partial x} + v \frac{\partial \rho}{\partial y} + w \frac{\partial \rho}{\partial z}
+ \rho \left( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} \right)
= 0</math>
* 정상류이면서 비압축성이면 <math>\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}
= 0</math>

=== 오일러 운동방정식의 적분과 베르누이 방정식 ===

==== 1차원 베르누이 방정식 ====

* 1차원 오일러 운동방정식을 <u>적분</u>하면 베르누이 방정식(에너지 방정식)
* <math>\frac{V^2}{2g} + \frac{p}{\gamma} + z = H</math>
* 속도 수두 + 압력 수두 + 위치 수두 = 전수두
* velocity head + pressure head + elevation head = total head
* 주의점(가정)
** 정상류
** 비압축성
** 비점성(마찰 없음)
** 한 유선을 따른 흐름

=== 속도포텐셜과 항력 ===
♣♣

항력(Drag force; D) : 흐르는 유체 속에 있는 물체가 받는 힘을 유체의 저항력 또는 항력이라 함.

<math>D = C_d A \frac{\rho V^2}{2}, \quad C_d = \frac{24}{Re}</math>

* A : 흐름 방향의 물체 투영 면적

== 오리피스와 위어 ==

=== 오리피스 유량 계산 ===

==== 작은 오리피스 ====
수량을 측정하거나 조절할 목적으로 사용.


'''오리피스 수두 오차와 유량 오차의 관계'''

<math>Q = CA \sqrt{2gH}</math>를 H에 대해 미분하면,

<math>\frac{dQ}{dH} = CA \sqrt{2g} \cdot \frac{1}{2} H^{- \frac{1}{2}}</math>을 유량 Q로 나누어주면

<math>\frac{dQ}{Q} = \frac{CA \sqrt{2g} \cdot \frac{1}{2} H^{- \frac{1}{2}} dH}{CA \sqrt{2gH}} = \frac{1}{2} \frac{dH}{H}</math>

<math>\therefore \frac{dQ}{Q} = \frac{1}{2} \frac{dH}{H}</math>

<br />

=== 사각형 위어 ===

==== Francis 유량 산정 공식(실험식) ====
♣♣

수축에 의한 유량 감소를 고려한 식(C = 0.623)으로 가정.

<math>Q = 1.84 \left( b - \frac{nh}{10} \right)h^{\frac{3}{2}}</math>

* n : 단수축 수(양단이면 2, 일단이면 1, 수축이 없으면 0)

=== 광정 위어 ===
[[File:광정 위어1.png|오른쪽|600픽셀]]

broad crest weir. 월류수심 h에 비해 위어 마루 폭 L이 큰 경우.

위어 상류의 한 지점과, 위어에서 한계수심 나타나는 한 지점사이에 베르누이 정리 사용하여 유량 공식 유도.

<math>\begin{align} H = h + \frac{ {V_a}^2 }{2g} & = h_c + \frac{ {V_c}^2 }{2g} \\
                                             & = \frac 23 H + \frac{ {V_c}^2 }{2g} \\ \end{align}</math>

<math>V_c = \sqrt{ \frac{2g H}{3} } </math>

<math>\begin{align} Q = bh_c V_c & = \frac{2bH}{3} \sqrt{ \frac{2g H}{3} } \\
                           & = 1.7 b H^\frac 32 \\ \end{align}</math><br />

=== 사다리꼴 광정 위어 ===
[[File:사다리꼴 광정 위어.jpg|오른쪽|500픽셀]]

홈마 공식(실험에 의한 것)

<math>Q = C b \sqrt{2g}h^\frac 32</math>

== 참고 문헌 ==
* {{서적인용|제목=수리학|성=김경호|이름=|날짜=2010|판=|출판사=한티미디어|쪽=|장=}}
* {{서적인용|제목=수리학|성=전일권 외|이름=|날짜=2009|판=|출판사=동화기술|쪽=|장=}}