점화식 예제 문서 원본 보기

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점화식에 관한 간단한 예제 문제와 논술형 문제를 해결해봅시다.

== 유형 1 :  <math>a_{n+1}=pa_n+q</math>꼴의 점화식   ( <math>p\neq1</math> , <math>q\neq0</math> ) ==

=== 예제 1 ===
<math>a_1=1</math>이고, <math>a_{n+1}=5a_n-3</math>을 만족할 때, 일반항 <math>a_n</math>을 구하시오.

=== 예제 2 ===
<math>a_1=-\frac{1}{4}</math>이고, <math>a_{n+1}=4a_n+1</math>을 만족할 때, 일반항 <math>a_n</math>을 다음과 같이 나타내었다.

<math>a_n=\frac{3^{-1}}{4^{2}}\cdot f(n)-\frac{1}{3}</math>    ( <math>n</math>은 자연수 ) 이때,

<math>f(a_4)+f(5)</math>의 값을 구하시오.

== 유형 2 :  <math>a_{n+1}=p(n)\cdot a_n+q(n)</math>꼴의 점화식   ( 단, <math>p(n)</math>은 정수<math>,</math> <math>q(n)\neq0</math> ) ==

=== 예제 1 ===
<math>a_1=1</math>이고, <math>a_{n+1}=2a_n+2^{n}</math>을 만족할 때, 일반항 <math>a_n</math>을 다음과 같이 나타내었다.

<math>a_n=f(n)\cdot 2^{n}</math>    ( <math>n</math>은 자연수 ) 이때,

<math>f(a_3)-{a_{f(2)}}^2</math>의 값을 구하시오.

== 논술형 문제 <math>[1]\sim[3]</math> ==
양의 정수 <math>n</math>에 대하여 집합 <math>A_n</math>은 다음과 같다.

<math>A_n=\{(x_1,</math> <math>x_2,</math> <math>\cdots,</math> <math>x_n)</math> <math>|</math> <math>x_i\in \{1</math>, <math>2,</math> <math>3,</math> <math>4\},</math> <math>x_1+x_2+\cdots+x_n</math>은 <math>5</math>의 배수<math>\}</math>

이때, <math>A_n</math>의 원소의 개수는 <math>a_n</math>이다.

<math>[1]</math> <math>a_3</math>의 값을 구하시오.

<math>[2]</math> <math>n\geq2</math>일 때, <math>a_n</math>과 <math>a_{n-1}</math>의 관계식을 구하시오.

<math>[3]</math> <math>a_n</math>을 <math>n</math>에 대한 식으로 나타내시오.

== 문제 풀이 ==
문제 풀이에 앞서 위와 같은 문제를 풀기 위해서는 점화식에 대하여 기본적인 이해와 해결 능력이 필요합니다.

점화식에 대한 자세한 내용은 [[w:점화식|위키백과 점화식]]을 참고하시면 될 것 같습니다.

=== 유형 1 ===

==== 예제 1 ====
준 식 <math>a_{n+1}=5a_n-3</math>의 다음항을 구해보면, <math>a_{n+2}=5a_{n+1}-3</math>

위 식에서 준 식을 빼주면, 계차의 초항을 첫째 항으로 갖고 공비가 <math>5</math>인 등비수열이 되고, 식은 다음과 같다.

<math>b_{n+1}=5b_n</math>  ( <math>b_n=a_{n+1}-a_n</math> ) 등비수열 <math>b_n</math>의 일반항을 구해보면,

<math>b_n=b_1\cdot 5^{n-1}</math>이다. 이때, <math>a_{n}=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k</math>이므로,

<math>a_{n}=a_1+\frac{(a_2-a_1)\cdot(5^{n-1}-1)}{5-1}</math>이고, 주어진 조건과 준 식에 의해서 <math>a_1=1,</math> <math>a_2=2</math>이므로,

<math>a_{n}=1+\frac{1}{4}\cdot(5^{n-1}-1)=\frac{1}{4}\cdot(5^{n-1}+3)</math>

<math>\therefore</math> <math>a_n=\frac{1}{4}\cdot(5^{n-1}+3)</math>

==== 예제 2 ====
준 식 <math>a_{n+1}=4a_n+1</math>의 다음항을 구하여 준 식을 빼주면,

계차의 초항을 첫째 항으로 갖고 공비가 <math>4</math>인 등비수열이 되고 식은 다음과 같다.

<math>b_{n+1}=4b_n</math>  ( <math>b_n=a_{n+1}-a_n</math> ) 등비수열 <math>b_n</math>의 일반항은 <math>b_n=b_1\cdot 4^{n-1}</math>임을 이용하여

<math>a_n</math>의 일반항을 구해보면, <math>a_{n}=a_1+\frac{(a_2-a_1)\cdot(4^{n-1}-1)}{4-1}</math>이고, 주어진 조건과 준 식에 의해서 

<math>a_1=-\frac{1}{4},</math> <math>a_2=0</math>이므로, <math>a_{n}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\cdot(4^{n-1}-1)=\frac{1}{3}\cdot(4^{n-2}-1)=\frac{3^{-1}}{4^{2}}\cdot f(n)-\frac{1}{3}</math>

그러므로, <math>f(n)=4^n</math>임을 구할 수 있다.

여기서, <math>f(a_4)=4^{a_4}</math>이고, 일반항 <math>a_n</math>에 의해서 <math>a_4=5</math>,

따라서, <math>f(a_4)=4^5=1024,</math> <math>f(5)=4^5=1024</math>이므로,

<math>\therefore</math> <math>f(a_4)+f(5)=2048</math>

=== 유형 2 ===

==== 예제 1 ====
준 식 <math>a_{n+1}=2a_n+2^{n}</math>에서 양변을 <math>2^{n+1}</math>로 나누어주면,

<math>\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{a_n}{2^n}+\frac{1}{2}</math> 이는, 첫째 항이 <math>\frac{a_1}{2}</math>이고, 공차가 <math>\frac{1}{2}</math>인 등차수열이다.

따라서, <math>\frac{a_n}{2^n}=\frac{a_1}{2}+(n-1)\cdot \frac{1}{2}</math>이고, 주어진 조건에 의하여 식을 정리하면,

<math>\frac{a_n}{2^n}=\frac{n}{2}</math>이므로, <math>a_n=n\cdot2^{n-1}</math> 이때, <math>a_n=f(n)\cdot2^n</math>를 만족하므로,

<math>f(n)=\frac{n}{2}</math>임을 구할 수 있다. 여기서, <math>f(a_3)=\frac{a_3}{2}</math>이고, 일반항 <math>a_n</math>에 의해서 <math>a_3=12</math>,

따라서, <math>f(a_3)=6,</math> <math>a_{f(2)}=a_1=1</math>이므로,

<math>\therefore</math> <math>f(a_3)-{a_{f(2)}}^2=5</math>

=== 논술형 문제 [1]~[3] ===

==== [1] ====
양의 정수 <math>n</math>에 대하여 집합 <math>A_n</math>은 다음과 같다.

<math>A_n=\{(x_1,</math> <math>x_2,</math> <math>\cdots,</math> <math>x_n)</math> <math>|</math> <math>x_i\in \{1</math>, <math>2,</math> <math>3,</math> <math>4\},</math> <math>x_1+x_2+\cdots+x_n</math>은 <math>5</math>의 배수<math>\}</math>

이때, <math>A_n</math>의 원소의 개수는 <math>a_n</math>이다.

위 조건에 의해서 <math>A_3=\{(x_1,</math> <math>x_2,</math> <math>x_3)</math> <math>|</math> <math>x_i\in \{1</math>, <math>2,</math> <math>3,</math> <math>4\},</math> <math>x_1+x_2+x_3</math>은 <math>5</math>의 배수<math>\}</math>이다.

I) <math>x_1+x_2+x_3=5</math>일 때,

<math>A_3=\{</math><math>(1,</math> <math>1,</math> <math>3)</math><math>,</math> <math>(1,</math> <math>2,</math> <math>2)</math><math>,</math> <math>(1,</math> <math>3,</math> <math>1)</math><math>,</math> <math>(2,</math> <math>1,</math> <math>2)</math><math>,</math> <math>(2,</math> <math>2,</math> <math>1)</math><math>,</math> <math>(3,</math> <math>3,</math> <math>1)</math><math>\}</math>이므로,

이때의 원소의 개수는 <math>6</math>개이다.

II) <math>x_1+x_2+x_3=10</math>일 때,

<math>A_3=\{</math><math>(2,</math> <math>4,</math> <math>4)</math><math>,</math> <math>(3,</math> <math>3,</math> <math>4)</math><math>,</math> <math>(3,</math> <math>4,</math> <math>3)</math><math>,</math> <math>(4,</math> <math>2,</math> <math>4)</math><math>,</math> <math>(4,</math> <math>3,</math> <math>3)</math><math>,</math> <math>(4,</math> <math>4,</math> <math>2)</math><math>\}</math>이므로,

이때의 원소의 개수는 <math>6</math>개이다.

따라서, <math>a_3</math>의 값은 <math>12</math>이다.

==== [2] ====
<math>A_n=\{(x_1,</math> <math>x_2,</math> <math>\cdots,</math> <math>x_n)</math> <math>|</math> <math>x_i\in \{1</math>, <math>2,</math> <math>3,</math> <math>4\},</math> <math>x_1+x_2+\cdots+x_n</math>은 <math>5</math>의 배수<math>\}</math>에서

조건을 고려하지 않았을 때 만들어 질 수 있는 모든 순서쌍들의 개수는 <math>4^n</math>개이다.

이때, 조건을 만족하는 순서쌍들의 개수는 <math>a_n</math>이므로,

조건을 만족하지 못하는 순서쌍들의 개수는 <math>(4^n-a_n)</math>개로 나타낼 수 있다.

또한, <math>4^n-a_n=b_n</math>으로 치환하여 정리하면 다음과 같은 등식이 성립한다.

<math>a_n+b_n=4^n</math>  ( <math>b_n</math>은 조건을 만족하지 못하는 순서쌍들의 개수 )

여기서, 예시를 들어 관계식을 유도해보면,

순서쌍 <math>(1,3)</math>은 문제에서 주어진 조건을 만족하지 못한다. 따라서 이는 <math>b_2</math>에 해당된다.

그러나, 순서쌍 <math>(1,3)</math>에 <math>1</math>을 더해주면, 주어진 조건을 만족하므로 이는 <math>a_3</math>에 해당된다.

순서쌍 <math>(4,4,4)</math>에서도 마찬가지이다. 순서쌍 <math>(4,4,4)</math>는 주어진 조건을 만족하지 못하므로 이는 <math>b_3</math>에 해당된다.

그러나, 순서쌍 <math>(4,4,4)</math>에 <math>3</math>을 더해주면, 주어진 조건을 만족하므로 이는 <math>a_4</math>에 해당된다.

이러한 예시들에 의하여 다음과 같은 관계식이 성립함을 알 수 있다.

<math>a_n=b_{n-1}</math>  <math>(n\geq2)</math> 이때, <math>a_n+b_n=4^n</math>를 만족하므로, <math>a_n</math>과 <math>a_{n-1}</math>의 관계식은 

<math>a_{n-1}+a_n=4^{n-1}</math> <math>(n\geq2)</math>

==== [3] ====
<math>[2]</math>에서 구한 <math>a_n</math>과 <math>a_{n-1}</math>의 관계식을 이용하여 <math>a_n</math>을 <math>n</math>에 대한 식으로 나타낼 수 있다.

관계식 <math>a_{n+1}=-a_n+4^n</math>에서 양변을 <math>4^{n+1}</math>로 나누어 주면,

<math>\frac{a_{n+1}}{4^{n+1}}=-\frac{1}{4}\cdot\frac{a_n}{4^n}+\frac{1}{4}</math>이고, 이는 계차의 초항을 첫째 항으로 갖고 공비가 <math>-\frac{1}{4}</math>인 등비수열이므로,

<math>\frac{a_{n}}{4^{n}}=\frac{a_1}{4}+\frac{(\frac{a_2}{4^2}-\frac{a_1}{4})\cdot\{1-(-\frac{1}{4})^{n-1}\}}{1-(-\frac{1}{4})}</math>이다. <math>a_1=0</math>, <math>a_2=4</math>이므로,

<math>\frac{a_{n}}{4^{n}}=\frac{1}{5}\cdot\left\{1-\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}\right\}</math>이다.

따라서, <math>{a_{n}}=\frac{4}{5}\cdot\{4^{n-1}-({-1})^{n-1}\}</math>이다.