점화식 예제

틀:상태상자 점화식에 관한 간단한 예제 문제와 논술형 문제를 해결해봅시다.

유형 1 : $a_{n+1}=p{a}_n+q$꼴의 점화식 ( $p\ne 1$ , $q\ne 0$ )

예제 1

$a_1=1$이고, $a_{n+1}=5a_n-3$을 만족할 때, 일반항 $a_n$을 구하시오.

예제 2

$a_1=-\frac{1}{4}$이고, $a_{n+1}=4a_n+1$을 만족할 때, 일반항 $a_n$을 다음과 같이 나타내었다.

$a_n=\frac{3^{-1}}{4^2}\cdot f(n)-\frac{1}{3}$ ( $n$은 자연수 ) 이때,

$f(a_4)+f(5)$의 값을 구하시오.

유형 2 : $a_{n+1}=p(n)\cdot a_n+q(n)$꼴의 점화식 ( 단, $p(n)$은 정수$,$ $q(n)\ne 0$ )

예제 1

$a_1=1$이고, $a_{n+1}=2a_n+2^n$을 만족할 때, 일반항 $a_n$을 다음과 같이 나타내었다.

$a_n=f(n)\cdot 2^n$ ( $n$은 자연수 ) 이때,

$f(a_3)-{a_{f(2)}}^2$의 값을 구하시오.

논술형 문제 $[1]\sim [3]$

양의 정수 $n$에 대하여 집합 $A_n$은 다음과 같다.

$A_n=\{(x_1,$ $x_2,$ $\cdots ,$ $x_n)$ $|$ $x_i\in \{1$, $2,$ $3,$ $4\},$ $x_1+x_2+\cdots +x_n$은 $5$의 배수$\}$

이때, $A_n$의 원소의 개수는 $a_n$이다.

$[1]$ $a_3$의 값을 구하시오.

$[2]$ $n\ge 2$일 때, $a_n$과 $a_{n-1}$의 관계식을 구하시오.

$[3]$ $a_n$을 $n$에 대한 식으로 나타내시오.

문제 풀이

문제 풀이에 앞서 위와 같은 문제를 풀기 위해서는 점화식에 대하여 기본적인 이해와 해결 능력이 필요합니다.

점화식에 대한 자세한 내용은 위키백과 점화식을 참고하시면 될 것 같습니다.

유형 1

예제 1

준 식 $a_{n+1}=5a_n-3$의 다음항을 구해보면, $a_{n+2}=5a_{n+1}-3$

위 식에서 준 식을 빼주면, 계차의 초항을 첫째 항으로 갖고 공비가 $5$인 등비수열이 되고, 식은 다음과 같다.

$b_{n+1}=5b_n$ ( $b_n=a_{n+1}-a_n$ ) 등비수열 $b_n$의 일반항을 구해보면,

$b_n=b_1\cdot 5^{n-1}$이다. 이때, $a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k$이므로,

$a_n=a_1+\frac{(a_2-a_1)\cdot (5^{n-1}-1)}{5-1}$이고, 주어진 조건과 준 식에 의해서 $a_1=1,$ $a_2=2$이므로,

$a_n=1+\frac{1}{4}\cdot (5^{n-1}-1)=\frac{1}{4}\cdot (5^{n-1}+3)$

$\therefore$ $a_n=\frac{1}{4}\cdot (5^{n-1}+3)$

예제 2

준 식 $a_{n+1}=4a_n+1$의 다음항을 구하여 준 식을 빼주면,

계차의 초항을 첫째 항으로 갖고 공비가 $4$인 등비수열이 되고 식은 다음과 같다.

$b_{n+1}=4b_n$ ( $b_n=a_{n+1}-a_n$ ) 등비수열 $b_n$의 일반항은 $b_n=b_1\cdot 4^{n-1}$임을 이용하여

$a_n$의 일반항을 구해보면, $a_n=a_1+\frac{(a_2-a_1)\cdot (4^{n-1}-1)}{4-1}$이고, 주어진 조건과 준 식에 의해서

$a_1=-\frac{1}{4},$ $a_2=0$이므로, $a_n=-\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\cdot (4^{n-1}-1)=\frac{1}{3}\cdot (4^{n-2}-1)=\frac{3^{-1}}{4^2}\cdot f(n)-\frac{1}{3}$

그러므로, $f(n)=4^n$임을 구할 수 있다.

여기서, $f(a_4)=4^{a_4}$이고, 일반항 $a_n$에 의해서 $a_4=5$,

따라서, $f(a_4)=4^5=1024,$ $f(5)=4^5=1024$이므로,

$\therefore$ $f(a_4)+f(5)=2048$

유형 2

예제 1

준 식 $a_{n+1}=2a_n+2^n$에서 양변을 $2^{n+1}$로 나누어주면,

$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{a_n}{2^n}+\frac{1}{2}$ 이는, 첫째 항이 $\frac{a_1}{2}$이고, 공차가 $\frac{1}{2}$인 등차수열이다.

따라서, $\frac{a_n}{2^n}=\frac{a_1}{2}+(n-1)\cdot \frac{1}{2}$이고, 주어진 조건에 의하여 식을 정리하면,

$\frac{a_n}{2^n}=\frac{n}{2}$이므로, $a_n=n\cdot 2^{n-1}$ 이때, $a_n=f(n)\cdot 2^n$를 만족하므로,

$f(n)=\frac{n}{2}$임을 구할 수 있다. 여기서, $f(a_3)=\frac{a_3}{2}$이고, 일반항 $a_n$에 의해서 $a_3=12$,

따라서, $f(a_3)=6,$ $a_{f(2)}=a_1=1$이므로,

$\therefore$ $f(a_3)-{a_{f(2)}}^2=5$

논술형 문제 [1]~[3]

[1]

양의 정수 $n$에 대하여 집합 $A_n$은 다음과 같다.

$A_n=\{(x_1,$ $x_2,$ $\cdots ,$ $x_n)$ $|$ $x_i\in \{1$, $2,$ $3,$ $4\},$ $x_1+x_2+\cdots +x_n$은 $5$의 배수$\}$

이때, $A_n$의 원소의 개수는 $a_n$이다.

위 조건에 의해서 $A_3=\{(x_1,$ $x_2,$ $x_3)$ $|$ $x_i\in \{1$, $2,$ $3,$ $4\},$ $x_1+x_2+x_3$은 $5$의 배수$\}$이다.

I) $x_1+x_2+x_3=5$일 때,

$A_3=\{$$(1,$ $1,$ $3)$$,$ $(1,$ $2,$ $2)$$,$ $(1,$ $3,$ $1)$$,$ $(2,$ $1,$ $2)$$,$ $(2,$ $2,$ $1)$$,$ $(3,$ $3,$ $1)$$\}$이므로,

이때의 원소의 개수는 $6$개이다.

II) $x_1+x_2+x_3=10$일 때,

$A_3=\{$$(2,$ $4,$ $4)$$,$ $(3,$ $3,$ $4)$$,$ $(3,$ $4,$ $3)$$,$ $(4,$ $2,$ $4)$$,$ $(4,$ $3,$ $3)$$,$ $(4,$ $4,$ $2)$$\}$이므로,

이때의 원소의 개수는 $6$개이다.

따라서, $a_3$의 값은 $12$이다.

[2]

$A_n=\{(x_1,$ $x_2,$ $\cdots ,$ $x_n)$ $|$ $x_i\in \{1$, $2,$ $3,$ $4\},$ $x_1+x_2+\cdots +x_n$은 $5$의 배수$\}$에서

조건을 고려하지 않았을 때 만들어 질 수 있는 모든 순서쌍들의 개수는 $4^n$개이다.

이때, 조건을 만족하는 순서쌍들의 개수는 $a_n$이므로,

조건을 만족하지 못하는 순서쌍들의 개수는 $(4^n-a_n)$개로 나타낼 수 있다.

또한, $4^n-a_n=b_n$으로 치환하여 정리하면 다음과 같은 등식이 성립한다.

$a_n+b_n=4^n$ ( $b_n$은 조건을 만족하지 못하는 순서쌍들의 개수 )

여기서, 예시를 들어 관계식을 유도해보면,

순서쌍 $(1,3)$은 문제에서 주어진 조건을 만족하지 못한다. 따라서 이는 $b_2$에 해당된다.

그러나, 순서쌍 $(1,3)$에 $1$을 더해주면, 주어진 조건을 만족하므로 이는 $a_3$에 해당된다.

순서쌍 $(4,4,4)$에서도 마찬가지이다. 순서쌍 $(4,4,4)$는 주어진 조건을 만족하지 못하므로 이는 $b_3$에 해당된다.

그러나, 순서쌍 $(4,4,4)$에 $3$을 더해주면, 주어진 조건을 만족하므로 이는 $a_4$에 해당된다.

이러한 예시들에 의하여 다음과 같은 관계식이 성립함을 알 수 있다.

$a_n=b_{n-1}$ $(n\ge 2)$ 이때, $a_n+b_n=4^n$를 만족하므로, $a_n$과 $a_{n-1}$의 관계식은

$a_{n-1}+a_n=4^{n-1}$ $(n\ge 2)$

[3]

$[2]$에서 구한 $a_n$과 $a_{n-1}$의 관계식을 이용하여 $a_n$을 $n$에 대한 식으로 나타낼 수 있다.

관계식 $a_{n+1}=-a_n+4^n$에서 양변을 $4^{n+1}$로 나누어 주면,

$\frac{a_{n+1}}{4^{n+1}}=-\frac{1}{4}\cdot \frac{a_n}{4^n}+\frac{1}{4}$이고, 이는 계차의 초항을 첫째 항으로 갖고 공비가 $-\frac{1}{4}$인 등비수열이므로,

$\frac{a_n}{4^n}=\frac{a_1}{4}+\frac{(\frac{a_2}{4^2}-\frac{a_1}{4})\cdot \{1-(-\frac{1}{4}{)}^{n-1}\}}{1-(-\frac{1}{4})}$이다. $a_1=0$, $a_2=4$이므로,

$\frac{a_n}{4^n}=\frac{1}{5}\cdot \{1-{(-\frac{1}{4})}^{n-1}\}$이다.

따라서, $a_n=\frac{4}{5}\cdot \{4^{n-1}-(-1{)}^{n-1}\}$이다.