지중응력 분포 문서 원본 보기

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== 흙의 무게로 인한 지반 내 응력 ==
[[File:유효응력5.png|right|500px]]

'''예제''' 기사 시험 출제되는데 암기보단 이해임

모관현상에 의해 두번째 층까지 포화됨. 바닥면 유효응력은?
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<math>\begin{matrix}
\sigma
&=& Z \cdot \gamma_{sat} + h_2 \cdot \gamma_{sat} + h_1 \cdot \gamma_1 \\
&=& \gamma_{sat} (Z + h_2) + \gamma_1 h_1
\end{matrix}</math>

<math>u = \gamma_w Z + \gamma_w h_2 - h_2 \cdot \gamma_w = Z \gamma_w</math>

<math>\begin{matrix}
\bar \sigma = \sigma - u
&=& \gamma_{sat}(Z + h_2) + \gamma_1 h_1 - Z \gamma_w \\
&=& Z \cdot \gamma_{sub} + \gamma_{sat} \cdot h_2 + \gamma_1 h_1 \\
&=& (Z + h_2)\gamma_{sub} + \gamma_1 h_1 + \gamma_w h_2
\end{matrix}</math>

지하수위 이하의 흙은 부력을 받으니까 <math>\gamma_{sub} = \gamma_{sat} - \gamma_w</math>의 개념을 이용하지만, 지하수위 위의 흙은 포화되었더라도 γ<sub>sub</sub>가 아닌 γ<sub>sat</sub>을 그대로 쓴다.

== 지표 하중 재하로 인한 지중응력 증가 ==

기본적으로 집중하중(point load)에 의한 응력 증가량, 선하중(line load)에 의한 응력 증가량을 가지고 나머지 경우들이 파생됨. 좌표계는 Cartesian, 원통형 좌표계 두 개가 각각 이용됨.

=== 부호 규약 ===
여기서 쓰는 부호규약은 구조역학과 정반대. 즉

* 수직응력은 압축이 +, 인장이 -
* 전단응력은 입자가 반시계방향 회전하면 +, 시계방향 회전하면 -

=== 집중하중에 의한 응력 증가량 ===
[[파일:집중하중 응력.png|right|600px]]
μ는 포아송비이다.
:연직 응력 증가량 <math>\Delta \sigma_z = - \frac{3P}{2\pi R^2}\cos^3 \theta</math>
:방사선 응력 증가량 <math>\Delta \sigma_r = \frac{P}{2\pi R^2}(-3\cos \theta \sin^2 \theta + \frac{1-2\mu}{1+\cos \theta})</math>
:접선 응력 증가량 <math>\Delta \sigma_t = \frac{P}{2\pi R^2}(1-2\mu)(\cos \theta - \frac{1}{1+\cos \theta})</math>
:전단 응력 증가량 <math>\Delta \tau = - \frac{3P}{2 \pi R^2}\cos^2 \theta \sin \theta</math>
그림에서 <math>\cos \theta = \frac{z}{R}</math>, <math>R = \sqrt{r^2 + z^2}</math>이므로
연직응력증가량 <math>\Delta \sigma_z = - \frac{3Pz^3}{2\pi R^5} = - \frac{3P}{2\pi}\frac{z^3}{(r^2 + z^2)^{5/2}} = - \frac{3P}{2\pi z^2 \left[ 1+ \left(\frac{r}{z}\right)^2 \right]^{\frac{5}{2}}}</math>으로도 나타낼 수 있다.

=== 원형 등분포하중에 의한 응력증가량 ===
[[파일:원형 등분포 하중 응력.png|섬네일|left|300px|원형 등분포 하중에 의한 연직응력증가]]
반지름이 r<sub>0</sub>인 원형 등분포하중에 의한 z 깊이에서의 연직응력증가량 q<sub>z</sub>는 접촉압(contact pressure)을 <math>q_0 = \frac{P}{A}</math>라 할 때 다음과 같다. 이는 미소요소에 대한 집중하중에 의한 연직응력증가량 식을 적분하여 구한 것이다.<ref>이인모, <<토질역학의 원리>>, 108쪽</ref>
:<math>q_z = q_0 \left\{ 1 - \left[ 1 + \left( \frac{r_0}{z} \right)^2 \right]^{ - \frac{3}{2}} \right\}</math>
:Δτ<sub>xz</sub> = 0

{{-}}

=== 선하중에 의한 응력 증가량 ===
[[파일:선하중에 의한 연직응력 증가.png|대체글=|섬네일|300x300픽셀|선하중에 의한 연직응력증가]]
<math>\Delta \sigma_z = \frac{2q z^3}{\pi (x^2 + z^2)^2} = \frac{2q}{\pi z \left[ \left( \frac{x}{z} \right)^2 +1 \right]^2}</math>

<math>\Delta \sigma_x = \frac{2q x^2 z}{\pi (x^2 + z^2)^2}</math>

<math>\Delta \tau_{xz} = \frac{2q x z^2}{\pi (x^2 + z^2)^2}</math>

=== 대상등분포하중으로 인한 응력 증가량 ===
대상등분포하중(strip load)이란 줄기초에 q/단위면적의 응력이 작용하는 것.<ref>이인모, <<토질역학의 원리>>, 111쪽</ref>

[[File:대상등분포하중 응력증가량.png|left|400px]]

<math>\Delta \sigma_z = \frac{q}{\pi}[\beta + \sin \beta \cdot \cos (\beta + 2\delta)]</math>

<math>\Delta \sigma_x = \frac{q}{\pi} [\beta - \sin \beta \cdot \cos(\beta + 2\delta)]</math>

<math>\Delta \tau_{xz} = \frac{q}{\pi} \sin \beta \cdot \sin (\beta + 2\delta)</math>

{{-}}

==== 예제1 ====
[[File:대상등분포하중 응력증가량1.png|왼쪽|400픽셀]]

{{-}}

=== 간이법 ===
간이법은 2:1법이라고도 부른다. 만약 지표면 위에 기초가 있는 게 아니라 <span style="color: red">지표면을 굴착해서 기초가 설치되었다면 굴착된 부분만큼의 응력감소와, 지하수의 부력에 의한 응력감소분을 P에서 빼주어야 한다.</span>
[[파일:간이법.png|left|300px]]
<math>PBL = Q = \Delta \sigma_z (B+z)(L+z)</math>

<math>\Delta \sigma_z = \frac{PBL}{(B+z)(L+z)}</math>

띠하중인 경우는<ref>장연수, <<토질역학>> 127쪽</ref>
:<math>\Delta \sigma_z = \frac{PB}{B + z}</math>

{{-}}

== 모어원 ==
[[File:Mohr Circle plane stress (angle).svg|오른쪽|600픽셀]]

<math>\sigma_{max, min} = \sigma_{1, 2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{(\sigma_x - \sigma_y)^2 + 4 {\tau_{xy}}^2}</math>

* 토질역학에서 전단응력이 0인 세 개의 평면을 '''주응력면'''
* 3개 주응력 중 가장 큰 응력 : 최대주응력 σ<sub>1</sub>
* 3개 주응력 중 가장 작은 응력 : 최소주응력 σ<sub>3</sub>
* 나머지 응력 : σ<sub>2</sub>

=== 평면기점 예제 ===
[[File:2축응력 상태 임의면 응력.png|300px]]

그림에서 <math>\theta = 35^\circ</math>일 때 경사면에 작용하는 σ, τ를 구하시오.
* <math>\sigma_1 = 5.2kg/cm^2</math>
* <math>\sigma_3 = 1.2kg/cm^2</math>

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[[File:2축응력 상태 임의면 응력 모어원.png|500px]]

=== 극점 ===
[[File:Mohr Circle plane stress (pole).svg]]

== p-q 다이어그램 ==
모어원의 정점을 연결한 선

하중 재하 전 상재압력
:<math>p = \frac{\sigma_v + \sigma_h}{2} = \frac{(1 + K_0) \sigma_{v0}}{2}</math>
:<math>q = \frac{\sigma_v - \sigma_h}{2} = \frac{(1 - K_0) \sigma_{v0}}{2}</math>

하중 재하 후 응력
:<math>\begin{align} p & = \frac{(\sigma_{v0} + \Delta \sigma_v) + (\sigma_{h0} + \Delta \sigma_h)}{2} \\
                       & = \frac{\sigma_{v0} (1 + K_0)}{2} + \frac{\Delta \sigma_v + \Delta \sigma_h}{2} \\ \end{align}</math>
:<math>\begin{align} q & = \frac{(\sigma_{v0} + \Delta \sigma_v) - (\sigma_{h0} + \Delta \sigma_h)}{2} \\
                       & = \frac{\sigma_{v0} (1 - K_0)}{2} + \frac{\Delta \sigma_v - \Delta \sigma_h}{2} \\ \end{align}</math>

p-q 다이어그램의 기울기를 나타내는 선이 K<sub>0</sub>선.
:<math>\beta = \frac{1 - K_0}{1 + K_0}</math>

초기 상재압력의 p, q값은 K<sub>0</sub>선 상에 있다. 하중 재하 후 p, q 값은 K<sub>0</sub>선을 벗어난다.

{{형광펜|pink|주의점}} 이인모 <<토질역학의 원리>> 예제 5.9 참조!! 전단응력이 있는 경우 q값이 항상 양(+)은 아니다!

== 각주 ==
<references />