지중응력 분포

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흙의 무게로 인한 지반 내 응력

예제 기사 시험 출제되는데 암기보단 이해임

모관현상에 의해 두번째 층까지 포화됨. 바닥면 유효응력은?

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$\begin{array}{ccc}\sigma & =& Z\cdot {\gamma }_{sat}+h_2\cdot {\gamma }_{sat}+h_1\cdot {\gamma }_1\\ & =& {\gamma }_{sat}(Z+h_2)+{\gamma }_1{h}_1\end{array}$

$u={\gamma }_{w}Z+{\gamma }_w{h}_2-h_2\cdot {\gamma }_w=Z{\gamma }_w$

$\begin{array}{ccc}\overline{\sigma }=\sigma -u& =& {\gamma }_{sat}(Z+h_2)+{\gamma }_1{h}_1-Z{\gamma }_w\\ & =& Z\cdot {\gamma }_{sub}+{\gamma }_{sat}\cdot h_2+{\gamma }_1{h}_1\\ & =& (Z+h_2){\gamma }_{sub}+{\gamma }_1{h}_1+{\gamma }_w{h}_2\end{array}$

지하수위 이하의 흙은 부력을 받으니까 ${\gamma }_{sub}={\gamma }_{sat}-{\gamma }_w$의 개념을 이용하지만, 지하수위 위의 흙은 포화되었더라도 γ_sub가 아닌 γ_sat을 그대로 쓴다.

지표 하중 재하로 인한 지중응력 증가

기본적으로 집중하중(point load)에 의한 응력 증가량, 선하중(line load)에 의한 응력 증가량을 가지고 나머지 경우들이 파생됨. 좌표계는 Cartesian, 원통형 좌표계 두 개가 각각 이용됨.

부호 규약

여기서 쓰는 부호규약은 구조역학과 정반대. 즉

• 수직응력은 압축이 +, 인장이 -
• 전단응력은 입자가 반시계방향 회전하면 +, 시계방향 회전하면 -

집중하중에 의한 응력 증가량

μ는 포아송비이다.

연직 응력 증가량 $\mathrm{\Delta }{\sigma }_z=-\frac{3P}{2\pi R^2}{\cos }^3\theta$

방사선 응력 증가량 $\mathrm{\Delta }{\sigma }_r=\frac{P}{2\pi R^2}(-3\cos \theta {\sin }^2\theta +\frac{1-2\mu }{1+\cos \theta })$

접선 응력 증가량 $\mathrm{\Delta }{\sigma }_t=\frac{P}{2\pi R^2}(1-2\mu )(\cos \theta -\frac{1}{1+\cos \theta })$

전단 응력 증가량 $\mathrm{\Delta }\tau =-\frac{3P}{2\pi R^2}{\cos }^2\theta \sin \theta$

그림에서 $\cos \theta =\frac{z}{R}$, $R=\sqrt{r^2+z^2}$이므로 연직응력증가량 $\mathrm{\Delta }{\sigma }_z=-\frac{3P{z}^3}{2\pi R^5}=-\frac{3P}{2\pi }\frac{z^3}{(r^2+z^2{)}^{5/2}}=-\frac{3P}{2\pi z^2{[1+{\left(\frac{r}{z}\right)}^2]}^{\frac{5}{2}}}$으로도 나타낼 수 있다.

원형 등분포하중에 의한 응력증가량

원형 등분포 하중에 의한 연직응력증가

반지름이 r₀인 원형 등분포하중에 의한 z 깊이에서의 연직응력증가량 q_z는 접촉압(contact pressure)을 $q_0=\frac{P}{A}$라 할 때 다음과 같다. 이는 미소요소에 대한 집중하중에 의한 연직응력증가량 식을 적분하여 구한 것이다.

$q_z=q_0\{1-{[1+{\left(\frac{r_0}{z}\right)}^2]}^{-\frac{3}{2}}\}$

Δτ_xz = 0

선하중에 의한 응력 증가량

선하중에 의한 연직응력증가

$\mathrm{\Delta }{\sigma }_z=\frac{2q{z}^3}{\pi (x^2+z^2{)}^2}=\frac{2q}{\pi z{[{\left(\frac{x}{z}\right)}^2+1]}^2}$

$\mathrm{\Delta }{\sigma }_x=\frac{2q{x}^{2}z}{\pi (x^2+z^2{)}^2}$

$\mathrm{\Delta }{\tau }_{xz}=\frac{2qx{z}^2}{\pi (x^2+z^2{)}^2}$

대상등분포하중으로 인한 응력 증가량

대상등분포하중(strip load)이란 줄기초에 q/단위면적의 응력이 작용하는 것.

$\mathrm{\Delta }{\sigma }_z=\frac{q}{\pi }[\beta +\sin \beta \cdot \cos (\beta +2\delta )]$

$\mathrm{\Delta }{\sigma }_x=\frac{q}{\pi }[\beta -\sin \beta \cdot \cos (\beta +2\delta )]$

$\mathrm{\Delta }{\tau }_{xz}=\frac{q}{\pi }\sin \beta \cdot \sin (\beta +2\delta )$

예제1

간이법

간이법은 2:1법이라고도 부른다. 만약 지표면 위에 기초가 있는 게 아니라 지표면을 굴착해서 기초가 설치되었다면 굴착된 부분만큼의 응력감소와, 지하수의 부력에 의한 응력감소분을 P에서 빼주어야 한다.

$PBL=Q=\mathrm{\Delta }{\sigma }_z(B+z)(L+z)$

$\mathrm{\Delta }{\sigma }_z=\frac{PBL}{(B+z)(L+z)}$

띠하중인 경우는

$\mathrm{\Delta }{\sigma }_z=\frac{PB}{B+z}$

모어원

${\sigma }_{max,min}={\sigma }_{1,2}=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{({\sigma }_x-{\sigma }_y{)}^2+4{{\tau }_{xy}}^2}$

• 토질역학에서 전단응력이 0인 세 개의 평면을 주응력면
• 3개 주응력 중 가장 큰 응력 : 최대주응력 σ₁
• 3개 주응력 중 가장 작은 응력 : 최소주응력 σ₃
• 나머지 응력 : σ₂

평면기점 예제

그림에서 $\theta =35^{\circ }$일 때 경사면에 작용하는 σ, τ를 구하시오.

• ${\sigma }_1=5.2kg/c{m}^2$
• ${\sigma }_3=1.2kg/c{m}^2$

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극점

p-q 다이어그램

모어원의 정점을 연결한 선

하중 재하 전 상재압력

$p=\frac{{\sigma }_v+{\sigma }_h}{2}=\frac{(1+K_0){\sigma }_{v0}}{2}$

$q=\frac{{\sigma }_v-{\sigma }_h}{2}=\frac{(1-K_0){\sigma }_{v0}}{2}$

하중 재하 후 응력

$\begin{array}{cc}p& =\frac{({\sigma }_{v0}+\mathrm{\Delta }{\sigma }_v)+({\sigma }_{h0}+\mathrm{\Delta }{\sigma }_h)}{2}\\ & =\frac{{\sigma }_{v0}(1+K_0)}{2}+\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_v+\mathrm{\Delta }{\sigma }_h}{2}\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}q& =\frac{({\sigma }_{v0}+\mathrm{\Delta }{\sigma }_v)-({\sigma }_{h0}+\mathrm{\Delta }{\sigma }_h)}{2}\\ & =\frac{{\sigma }_{v0}(1-K_0)}{2}+\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_v-\mathrm{\Delta }{\sigma }_h}{2}\\ \end{array}$

p-q 다이어그램의 기울기를 나타내는 선이 K₀선.

$\beta =\frac{1-K_0}{1+K_0}$

초기 상재압력의 p, q값은 K₀선 상에 있다. 하중 재하 후 p, q 값은 K₀선을 벗어난다.

틀:형광펜 이인모 <<토질역학의 원리>> 예제 5.9 참조!! 전단응력이 있는 경우 q값이 항상 양(+)은 아니다!