토목공학/응용역학/구조물의 탄성변형 문서 원본 보기

== 용어 ==
* 변형에너지(strain energy) = 탄성 에너지(elastic energy)
카스틸리아노 정리와 연결되는 내용임.

== 카스틸리아노의 정리 ==
=== 제 1정리 ===
* 미지력(모멘트) 구할 때 이용
* 부정정 구조물 해석에 이용

15-2, 16-4

<math>P_j = \frac{\partial U_i}{\partial \delta_j}, \quad M_j = \frac{\partial U_i}{\partial \theta_j}</math>
* U<sub>i</sub> : 전체 변형 에너지(total strain energy)
* P<sub>j</sub>, M<sub>j</sub> : j점의 하중, 모멘트
* <math>\delta_j, \ \theta_j</math> : j점의 처짐, 처짐각

=== 제 2정리 ===
* 처짐, 처짐각을 구할 때 이용
* 부정정 구조물 해석에도 이용.(최소일의 원리)
<math>\delta_j = \frac{\partial U_i}{\partial P_j}, \quad \theta_j = \frac{\partial U_i}{\partial M_j}</math>

== 상반작용의 원리 ==
Reciprocal theorem.

기사 시험에선 그냥 소개하는 정도의 쉬운 난이도로 출제. 계산 문제도 복잡하지 않고 그냥 두 개 곱해서 같다고 놓으면 풀 수 있는 정도다.

=== 베티의 정리(상반 가상일의 정리) ===
"재료가 탄성적이고 훅의 법칙을 따르는 구조물에서 지점침하, 온도변화가 없을 때 한 역계 P<sub>i</sub>에 의해 변형되는 동안 다른 역계 P<sub>j</sub>이 하는 외적인 가상일은 P<sub>j</sub> 역계에 의해 변형하는 동안 P<sub>i</sub> 역계가 하는 외적인 가상일과 같다." (15-1)

δ<sub>ij</sub> : j점 하중에 의한 i점 처짐.

δ<sub>ji</sub> : i점 하중에 의한 j점 처짐.

θ<sub>ij</sub> : j점 모멘트에 의한 i점 처짐각.

θ<sub>ji</sub> : i점 모멘트에 의한 j점 처짐각.

[[File:베티의 정리1.png|545x545px]]

<math>P_i \cdot \delta_{ij} = P_j \cdot \delta_{ji}</math>

[[File:베티의 정리2.png|545px]]

<math>P_i \cdot \delta_{ij} = M_j \cdot \theta_{ji}</math>

[[File:베티의 정리3.png|545px]]

<math>M_i \cdot \theta_{ij} = M_j \cdot \theta_{ji}</math>

일반적인 경우
:<math>\sum P_i \cdot \delta_{ij} = \sum P_j \cdot \delta_{ji}</math>
:<math>\sum P_i \cdot \delta_{ij} = \sum M_j \cdot \theta_{ji}</math>
:<math>\sum M_i \cdot \theta_{ij} = \sum M_j \cdot \theta_{ji}</math>

=== Maxwell의 정리 ===
= 상반 처짐의 정리(theorem of reciprocal deflections)

위 Betti의 정리에서 <math>P_i = P_j = M_i = M_j = 1</math>일 때의 식
:<math>\delta_{ij} = \delta_{ji}</math>
:<math>\delta_{ij} = \theta_{ji}</math>
:<math>\theta_{ij} = \theta_{ji}</math>

== 탄성변형에너지 ==
수직력에 의한 변형에너지

♣♣♣

[[파일:수직력에 의한 변형에너지.png|오른쪽|700x700픽셀]]

전체 변형에너지 <math>U = \frac{P \cdot \delta}{2}</math>

<math>\delta = \frac{Pl}{EA}</math>이므로

<math>U = \int_0^l \frac{P^2}{2EA} dx = \frac{1}{2EA} \int_0^l P^2 dx = \frac{P^2 l}{2EA} </math>
{{-}}

휨으로 인한 변형에너지

♣♣♣ 14-1, 14-2, 14-3, 16-1, 16-2
[[파일:모멘트-처짐각 그래프.png|오른쪽|300x300픽셀]]

<math>\begin{align} U & = \frac{M \cdot \theta}{2} = \frac{M}{2} \cdot \frac{Ml}{EI} = \frac{M^2 l}{2EI} \\
                      & = \int_0^l \frac{M^2}{2EI}dx = \frac{1}{2EI} \int_0^l M^2 dx \\ \end{align}</math>

{{-}}

'''14-3, 17-2, 18-1, 19-2'''

[[File:캔틸레버 보.png|300px|left]]
<math>\begin{align} U & = \frac{1}{2EI} \int M^2 dx \\
                      & = \frac{1}{2EI} \int P^2 x^2 dx \\
                      & = \frac{P^2 L^3}{6EI} \end{align}</math>

{{-}}
'''05-2, 11-1, 16-4'''
[[파일:Elastic deformation energy1.png|오른쪽|프레임없음|300x300픽셀]]
오른쪽 그림에서 휨에 의한 탄성에너지를 구하시오.
----먼저 반력을 구하고, 모멘트도까지 그린다.

<gallery mode="nolines" widths="400" heights="400">
파일:Elastic deformation energy2.png
파일:Elastic deformation energy3.png
파일:Elastic deformation energy4.png
</gallery><math>\begin{align} U & = \frac{1}{2EI} \left( \int_0^L (PL)^2 dx + \int_0^L (-PL + Px)^2 dx \right) \\
                & = \frac{1}{2EI} \left[ P^2 L^2 \cdot L + \int_0^L (P^2 L^2 + P^2 x^2 - 2P^2 L x )dx \right] \\
                & = \frac{1}{2EI} \left[ P^2 L^3 + \cancel{ P^2 L^3 } + \frac{P^2}{3} L^3 - \cancel{ P^2 L^3 } \right] \\
                & = \frac{1}{2EI} \times \frac{4}{3}P^2 L^3 = \frac{2P^2 L^3}{3EI} \end{align}</math>