토목공학/응용역학/구조물의 탄성변형

용어

• 변형에너지(strain energy) = 탄성 에너지(elastic energy)

카스틸리아노 정리와 연결되는 내용임.

카스틸리아노의 정리

제 1정리

• 미지력(모멘트) 구할 때 이용
• 부정정 구조물 해석에 이용

15-2, 16-4

$P_j=\frac{\partial U_i}{\partial {\delta }_j},M_j=\frac{\partial U_i}{\partial {\theta }_j}$

• U_i : 전체 변형 에너지(total strain energy)
• P_j, M_j : j점의 하중, 모멘트
• ${\delta }_j,{\theta }_j$ : j점의 처짐, 처짐각

제 2정리

• 처짐, 처짐각을 구할 때 이용
• 부정정 구조물 해석에도 이용.(최소일의 원리)

${\delta }_j=\frac{\partial U_i}{\partial P_j},{\theta }_j=\frac{\partial U_i}{\partial M_j}$

상반작용의 원리

Reciprocal theorem.

기사 시험에선 그냥 소개하는 정도의 쉬운 난이도로 출제. 계산 문제도 복잡하지 않고 그냥 두 개 곱해서 같다고 놓으면 풀 수 있는 정도다.

베티의 정리(상반 가상일의 정리)

"재료가 탄성적이고 훅의 법칙을 따르는 구조물에서 지점침하, 온도변화가 없을 때 한 역계 P_i에 의해 변형되는 동안 다른 역계 P_j이 하는 외적인 가상일은 P_j 역계에 의해 변형하는 동안 P_i 역계가 하는 외적인 가상일과 같다." (15-1)

δ_ij : j점 하중에 의한 i점 처짐.

δ_ji : i점 하중에 의한 j점 처짐.

θ_ij : j점 모멘트에 의한 i점 처짐각.

θ_ji : i점 모멘트에 의한 j점 처짐각.

$P_i\cdot {\delta }_{ij}=P_j\cdot {\delta }_{ji}$

$P_i\cdot {\delta }_{ij}=M_j\cdot {\theta }_{ji}$

$M_i\cdot {\theta }_{ij}=M_j\cdot {\theta }_{ji}$

일반적인 경우

$\sum P_i\cdot {\delta }_{ij}=\sum P_j\cdot {\delta }_{ji}$

$\sum P_i\cdot {\delta }_{ij}=\sum M_j\cdot {\theta }_{ji}$

$\sum M_i\cdot {\theta }_{ij}=\sum M_j\cdot {\theta }_{ji}$

Maxwell의 정리

= 상반 처짐의 정리(theorem of reciprocal deflections)

위 Betti의 정리에서 $P_i=P_j=M_i=M_j=1$일 때의 식

${\delta }_{ij}={\delta }_{ji}$

${\delta }_{ij}={\theta }_{ji}$

${\theta }_{ij}={\theta }_{ji}$

탄성변형에너지

수직력에 의한 변형에너지

♣♣♣

전체 변형에너지 $U=\frac{P\cdot \delta }{2}$

$\delta =\frac{Pl}{EA}$이므로

$U=\underset{0}{\overset{l}{\int }}\frac{P^2}{2EA}dx=\frac{1}{2EA}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{P}^{2}dx=\frac{P^{2}l}{2EA}$ 틀:-

휨으로 인한 변형에너지

♣♣♣ 14-1, 14-2, 14-3, 16-1, 16-2

$\begin{array}{cc}U& =\frac{M\cdot \theta }{2}=\frac{M}{2}\cdot \frac{Ml}{EI}=\frac{M^{2}l}{2EI}\\ & =\underset{0}{\overset{l}{\int }}\frac{M^2}{2EI}dx=\frac{1}{2EI}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{M}^{2}dx\\ \end{array}$

14-3, 17-2, 18-1, 19-2

$\begin{array}{cc}U& =\frac{1}{2EI}\int M^{2}dx\\ & =\frac{1}{2EI}\int P^2{x}^{2}dx\\ & =\frac{P^2{L}^3}{6EI}\end{array}$

틀:- 05-2, 11-1, 16-4

오른쪽 그림에서 휨에 의한 탄성에너지를 구하시오.

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먼저 반력을 구하고, 모멘트도까지 그린다.

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$\begin{array}{cc}U& =\frac{1}{2EI}(\underset{0}{\overset{L}{\int }}(PL{)}^{2}dx+\underset{0}{\overset{L}{\int }}(-PL+Px{)}^{2}dx)\\ & =\frac{1}{2EI}[P^2{L}^2\cdot L+\underset{0}{\overset{L}{\int }}(P^2{L}^2+P^2{x}^2-2P^{2}Lx)dx]\\ & =\frac{1}{2EI}[P^2{L}^3+\cancel{P^2{L}^3}+\frac{P^2}{3}{L}^3-\cancel{P^2{L}^3}]\\ & =\frac{1}{2EI}\times \frac{4}{3}{P}^2{L}^3=\frac{2P^2{L}^3}{3EI}\end{array}$