토목공학/응용역학/보의 처짐 문서 원본 보기

<span style="color: red">기사 출제 1위 ♣♣♣</span>

== 부호 약속 ==
* 처짐 : 하향 +, 상향 -
* 처짐각 : 변형 전 축 기준 시계방향 +, 반시계방향 -

== 계산 방법 ==
15-2 종류 물어봄
# 모멘트 면적법
# 탄성하중법 : 단순보에만
# 공액보법 : 내민보, 외팔보, 연속보에 적용 가능. 단순보에만 적용가능한 탄성하중법을, 이러한 형태의 보에도 가능하도록 보를 바꾼 것을 공액보라고 함.<ref>전찬기 외, <<토목기사 필기 과년도 - 응용역학>>(2015), 성안당 출판사, 396쪽</ref> <u>뼈대에는 어려움</u>
# (공액구조법(conjugate structure method))
# 가상일법(가상단위하중법)
# 카스틸리아노의 제 2법칙<ref>{{서적인용|제목=토목기사 필기 응용역학|성=전찬기 외|이름=|날짜=2015|판=|출판사=성안당|쪽=374, 438|장=}}</ref>

이 방법들은 부정정보, 골조와 트러스 반력 계산에도 사용된다.

그 외
* 이중적분법(Double Integration Method)

== 모멘트면적법 ==
Saint Venant에 의해 발견. Mohr, Greene이 개선.<ref>전찬기 외, <<토목기사 필기 과년도 - 응용역학>>(2015), 성안당 출판사, 394쪽</ref>

♣♣♣ 15-2, 16-1, 17-2 등등

* 제 1정리 : 부재 두 점에서 그은 탄성곡선 접선 사이 '''처짐각 변화량'''은 두 점 사이 '''모멘트도 면적을 EI로 나눈 것'''과 동일

:<math>\theta_{AB} = \int_A^B \frac{M}{EI}dx</math>

* 제 2정리 : 보의 탄성곡선 한 점에서의 접선이 탄성곡선의 다른 점과 이루는 상대적인 '''처짐량'''은 처짐을 계산코자 하는 점에서 취한 두 점 사이 '''모멘트도 면적의, A점을 지나는 축에 대한 단면 1차 모멘트를 EI로 나눈 것과''' 동일
:<math>\Delta_{AB} = \int_A^B \frac{Mx}{EI} dx</math>

== 탄성하중법 ==

* 탄성하중 : 모멘트를 EI로 나눈 값. 이것을 하중으로 작용시키기 때문에 탄성 '하중'이라고 함.<ref>전찬기 외, <<토목기사 필기 과년도 - 응용역학>>(2015), 성안당 출판사, 395쪽</ref>

17-4

[[파일:탄성하중법.jpg|400픽셀]]
* '''A를 M/EI도의 면적'''이라고 하면, 처짐(<math>\Delta</math>)은 <math>\Delta_L=Ax, \Delta_R=Ay</math>이고, 두 접선 사이의 각은 A이다.
* 가상의 보에 M/EI도에 따라 하중이 재하되면, 반력은 <math>R_L=\frac{Ay}{L}</math>, <math>R_R=\frac{Ax}{L}</math>이다.
* 처짐각<math>(\theta)</math>은 <math>\theta_L=\frac{\Delta_R}{L}=\frac{Ay}{L}, \theta_R=\frac{\Delta_L}{L}=\frac{Ax}{L}</math>

=== 탄성하중법에 대한 핵심 정리 ===
이게 모멘트면적법, 탄성하중법에 대한 핵심임!

# 단순보 임의 점에서 탄성곡선의 '''처짐각<math>(\theta)</math>'''(양쪽 지점을 현으로 하였을 때 측정한 값)은 M/EI도가 하중으로 작용하는 보에서 그 점의 '''전단력'''과 동일하다.
# 단순보 임의 점에서 탄성곡선의 '''처짐(<math>\Delta</math>)'''(양쪽 지점을 현으로 하였을 때 측정한 값)은 M/EI도가 하중으로 작용하는 보에서 그 점의 '''모멘트'''와 동일하다.

----'''17-4'''
[[파일:Deflection1.png|프레임없음|500픽셀|대체글=|왼쪽]]

{{-}}

D점 처짐각, 수직처짐? EI는 일정
----
[[파일:Deflection2.png|왼쪽|493x493픽셀|대체글=|섬네일|곡률도(EI는 편의상 생략함.)만큼이 분포하중으로 보고 반력부터 계산한다.]]

{{-}}<math>\begin{align} V_A & = \frac{1}{2} \times \frac{Pl}{4} \times \frac{l}{2} \\
                  & = \frac{Pl^2}{16} \\ \end{align}</math>

D점 처짐각은 곡률도만큼 분포하중이 작용할 때 D점에서 전단력과 동일

<math>\begin{align} \theta_D & = V_A - \frac{1}{2} \times \frac{Pl}{8} \times \frac{l}{4} \\
                       & = \frac{Pl^2}{16} - \frac{1}{2} \times \frac{Pl}{8} \times \frac{l}{4} \\
                       & = \frac{3Pl^2}{64} \\ \end{align}</math>

D점 수직처짐은 곡률도만큼 분포하중이 작용할 때 D점에서 모멘트와 동일
[[파일:Deflection3.png|대체글=|프레임없음|500픽셀|left]]
{{-}}

<math>\frac{Pl^2}{16} \times \frac{l}{4} + M = \frac{Pl^2}{64} \times \frac{l}{12}</math>

<math>\begin{align} M & = Pl^3 \left( \frac{1}{64 \times 12} - \frac{1}{16 \times 4} \right) \\
                & = Pl^3 \times \left( - \frac{11}{768} \right) \\ \end{align}</math>

{{-}}

----

'''14-1, 16-4'''
[[파일:Deflection4.png|left|프레임없음|500픽셀]]

{{-}}

A점의 처짐각은? EI는 일정하다.

----

탄성하중법을 쓸 것이다. 먼저 반력을 구하고, 휨모멘트를 구한다음 EI로 나눈 값만큼을 하중으로 재하시킨 탄성하중도를 그린다.

<math>\sum M_B = 0</math>

<math>M_B = V_A \cdot l</math>

<math>V_A = \frac{M_B}{l}</math>
[[파일:Deflection5.png|왼쪽|프레임없음|500픽셀]]


<br />
{{-}}
[[파일:Deflection6.png|왼쪽|프레임없음|500픽셀]]

{{-}}

<math>\sum M_B = 0</math>

<math>V_A \times l = \frac{M_B l}{2EI} \times \frac{l}{3}</math>

<math>V_A = \frac{M_B l}{6EI}</math>

A점 처짐각은 A점에서의 전단력과 같다. A점 전단력은 V<sub>A</sub>이므로

<math>\theta_A = \frac{M_B l}{6EI}</math>

----

'''16-2''' 보의 최대처짐 위치

[[File:Deflection9.png|left|400픽셀|Deflection]]

{{-}}

EI가 일정할 때 최대처짐 위치는 A로부터 얼마 떨어진 곳인가?

----

탄성하중법을 쓸 것이다. 공액보에 탄성하중을 재하했을 때 전단력이 0인 점이 최대모멘트 발생점이고, 그곳이 최대처짐점이다.

우선 원구조물에서 전단력도를 그리고, 공액보의 탄성하중도를 그린다.
[[파일:Deflection10.png|왼쪽|프레임없음|400x400픽셀]]
{{-}}

[[파일:Deflection11.png|왼쪽|프레임없음|400x400픽셀]]

{{-}}

A점에서 모멘트합을 취하면 B점 반력을 구할 수 있다. 계산은 생략.

다음 단계로, B점에서부터 x만큼 떨어진 임의 지점에서의 전단력이 0이 되는 지점을 구한다.

[[파일:Deflection12.png|왼쪽|프레임없음|400x400픽셀]]

{{-}}

<math>\frac{125}{\cancel 8} \cancel P = \cancel \frac12 \times \frac{ \cancel Px}{\cancel 4} \times x</math>

<math>x^2 = 125</math>

x = 11.18m

A로부터의 거리는 20 - 11.18 = 8.82m

== 공액보법 ==
♣♣♣

<u>원 구조</u>에서 <u>모멘트도</u>를 구한 뒤, EI로 나눈 곡률도만큼 <u>탄성하중을</u> 원 구조의 <u>공액보에 재하</u>하여 처짐, 처짐각을 계산<ref>{{서적인용|제목=토목기사 필기 - 응용역학|성=전찬기 외|이름=|날짜=2015|판=|출판사=성안당|쪽=397|장=}}</ref>

{| class = "wikitable"
|+ Real support vs Conjugate support<ref name="okamura_171">[[#okamura|Okmamura (1988)]]、p.171。</ref>
! colspan="2" | Real beam
! colspan="2" | Conjugate beam
|-
! Fixed support
| rowspan="2" | [[File:fixed support.svg|150px]]
! Free end
| rowspan="2" | [[File:free end.svg|150px]]
|-
|
* <math>v = 0</math>
* <math>\theta = 0</math>
|
* <math>\overline M = 0</math>
* <math>\overline Q = 0</math>
|-
! Free end
| rowspan="2" | [[File:free end.svg|150px]]
! Fixed support
| rowspan="2" | [[File:fixed support.svg|150px]]
|-
|
* <math>v \not= 0</math>
* <math>\theta \not= 0</math>
|
* <math>\overline M \not= 0</math>
* <math>\overline Q \not= 0</math>
|-
! Hinged support
| rowspan="2" | [[File:hinged support.svg|150px]]
! Hinged support
| rowspan="2" | [[File:hinged support.svg|150px]]
|-
|
* <math>v = 0</math>
* <math>\theta \not= 0</math>
|
* <math>\overline M = 0</math>
* <math>\overline Q \not= 0</math>
|-
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| rowspan="2" | [[File:middle support.svg|150px]]
! Middle hinge
| rowspan="2" | [[File:middle hinge.svg|150px]]
|-
|
* <math>v = 0</math>
* <math>\theta</math>:continue
|
* <math>\overline M = 0</math>
* <math>\overline Q</math>:continue
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! Middle hinge
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! Middle support
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* <math>v</math>:continue
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|
* <math>\overline M</math>:continue
* <math>\overline Q</math>:discontinue
|}

{| class = "wikitable"
|+ Examples of conjugate beam<ref name="okamura_171" />
! colspan="2" | Real beam
! Conjugate beam
|-
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| [[File:simple beam.svg|300px]]
|-
! Cantilever beam
| [[File:cantilever beam (left supported).svg|300px]]
| [[File:cantilever beam (right supported).svg|300px]]
|-
! Left-end Overhanging beam
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| [[File:fixed-hinge-support beam.svg|300px]]
|-
! Both-end overhanging beam
| [[File:both end overhanging beam.svg|300px]]
| [[File:Both end fixed and 2 middle hinged beam.svg|300px]]
|-
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| [[File:2 spans Gerber's beam (left hinged).svg|300px]]
| [[File:2 spans Gerber's beam (right hinged).svg|300px]]
|-
! Gerber's beam (3 span)
| [[File:3 spans Gerber's beam (support-support-hinge).svg|300px]]
| [[File:3 spans Gerber's beam (support-hinge-support).svg|300px]]
|}

=== 00, 16-1 기출 ===
[[파일:Cantilever1.png|오른쪽|프레임없음|400x400픽셀]]
최대처짐각 θ<sub>B</sub>를 구하시오.
<br />
----반력계산
[[파일:Cantilever2.png|왼쪽|프레임없음|536x536px]]
<br />

[[파일:Cantilever3.png|왼쪽|프레임없음|536x536픽셀]]
<br />

[[파일:Cantilever4.png|왼쪽|프레임없음|536x536픽셀]]
{{-}}

A에서 B까지 탄성하중도의 면적을 구하면 B에서의 최대처짐각이다.

사다리꼴 면적 + 포물선 면적하면 된다.

<math>\frac{wl^3}{8EI} + \frac{1}{3} \times \frac{l}{2} \times \frac{wl^2}{8EI} = \frac{7wl^3}{48EI}</math>

== 가상일의 방법 ==
♣♣♣ 14-3, 15-1, 17-4, 18-1

구하고자 하는 점에 가상 단위 하중 1을 작용시켜 처짐을 구하는 방법.

<math>y_x = \int_0^l \frac{M \cdot m}{EI} dx</math>

처짐각을 구하고자 한다면 가상 단위 모멘트 1을 작용시켜야 된다. 처짐각 계산은 모멘트면적법이 편함.

=== Product Integral ===
[[File:Product Integral3.png|left|200px]]

<math>\int_0^L m_1 m_2 dx = \frac{L}{6}[a(2c+d) + b(2d+c)]</math>

{{-}}
----

'''16-1''' 

B점의 수평변위는? EI는 일정.
[[File:처짐1.png|오른쪽|300픽셀]]

----
M, m을 찾는다.
:<math>M = - P \times 2r = -2Pr</math>
:<math>m = -1 \times x = - x</math>
:<math>\begin{align} \Delta & = \frac{1}{EI} \int_0^h 2Prx dx \\
                            & = \frac{2Pr}{EI} \int_0^h x dx \\
                            & = \frac{Prh^2}{EI} \end{align}</math>

----

'''15-2, 18-3'''

[[File:Frame deflection1.jpg|왼쪽|400픽셀]]

[[File:Frame deflection2.jpg|왼쪽|400픽셀]]

{{-}}

수직외력이 없으니 수직반력도 0임!!

<math>\begin{align} EI \Delta & = \frac{7}{6} [ 4(2 \times 105) + 4 \times 105] \\
                              & = 1470 kg \cdot m^3 \\ \end{align}</math>

문제 조건에서 <math>EI = 2 \times 10^9 kg \cdot cm^2</math>

<math>\begin{align} \Delta & = \frac{1470 kg \cdot m^3}{EI} \\
                     & = \frac{1470 \times 10^6 kg \cdot cm^3}{2 \times 10^9 kg \cdot cm^2} \\
                     & = 0.735 cm = 7.35mm \end{align}</math>

=== 암기해야할 변형값 ===
♣♣♣ 14-2, 14-3, 16-2, 18-1, 18-3, 19-1

[[File:변형표.png|1200픽셀]]

확실히 못 외우겠으면 그냥 계산하는 것도 나쁘지 않은 듯. 시간 남는다면.

----

'''19-2''' 기출
[[파일:단순보 처짐1.png|오른쪽|프레임없음|400x400픽셀]]

중앙점 처짐 δ=0이 되도록 양쪽 지점에 모멘트 M을 작용시키려고 한다. M을 P, L로 나타내면?

----
δ는 암기한 값을 쓰거나 정 안 되면 계산해서 구한다.
:<math>\delta = \frac{PL^3}{48EI}</math>

양쪽 지점에 모멘트를 가한 것에 의해 발생하는 변위가 위 δ와 상쇄되면 된다.

[[파일:단순보 처짐3.png|왼쪽|프레임없음|400x400픽셀]]

{{-}}

모멘트도를 그리고, M을 제거한 단순보의 변위를 구하고자 하는 점에 단위하중을 재하한 가상계의 모멘트도 m을 구한다. 변위일치법을 이용해 M에 의한 변위 Δ 계산

[[파일:단순보 처짐2.png|왼쪽|프레임없음|400x400픽셀]]{{-}}
<math>\begin{align} EI \Delta & = 2 \times \frac{1}{6} \times \frac{L}{2} \left( \frac{L}{4} (M + 2M) \right) \\
                              & = \frac{ML^2}{8} \\ \end{align}</math>

<math>\Delta = \delta</math>이므로

<math>\frac{ML^2}{8EI} = \frac{PL^3}{48EI}</math>

<math>\therefore M = \frac{PL}{6}</math>

{{-}}

----

'''02-1, 08-1, 12-1, 12-3, 15-2, 16-2''' 기출
[[File:Simple beam deflection1.png|오른쪽|400픽셀]]

w = 1tf/m, δ = 1cm, <math>EI = 2.0 \times 10^{12} kg \cdot cm^2</math>일 때 가운데 지점의 수직반력 R<sub>c</sub>는 얼마가 생기는가?

----

분포하중에 의한 처짐값(암기)

<math>\frac{5wL^4}{384EI}</math>

수직반력을 집중하중이라고 봤을 때 처짐을 상쇄하는 변위량(암기하든, 탄성하중법으로 구하든)

<math>\frac{R_c \cdot L^3}{48EI}</math>

<math>\frac{5wL^4}{384EI} - \frac{R_c \cdot L^3}{48EI} = 0.01m</math>

<math>\frac{5 \times 1000 kgf \times 20^4 m^4}{384 \times 2.0 \times 10^8 kg \cdot m^2} - \frac{R_c \cdot 20^3 m^3}{48 \times 2.0 \times 10^8 kg \cdot m^2} = 0.01m</math>

<math>\therefore R_c = 500kgf</math>

----

'''04-3, 06-2, 12-1, 15-3''' 일부 구간 EI가 무한대인 단순보의 처짐
[[파일:Simple beam deflection(infinite EI 1).png|오른쪽|프레임없음|400x400픽셀]]
우측 그림과 같은 보에서 중앙점 처짐량을 계산하시오. 가운데 구간 휨강성은 EI이다.
----
[[파일:Simple beam deflection(infinite EI 2).png|왼쪽|프레임없음|600x600픽셀]]
<br />

[[파일:Simple beam deflection(infinite EI 3).png|왼쪽|프레임없음|600x600픽셀]]

[[파일:Simple beam deflection(infinite EI 4).png|왼쪽|프레임없음|600x600픽셀]]

{{-}}

<math>\begin{align} \Delta & = 2\times \frac16 \times \frac L4 \left[ \frac L8 \left( \frac{PL}{4EI} + \frac{PL}{4EI} \right) + \frac L4 \left( \frac{PL}{8EI} + \frac{PL}{2EI} \right) \right] \\
                     & = \frac{7}{384} \frac{PL^3}{EI} \\ \end{align}</math>

----

[[파일:Beam2.png|오른쪽|프레임없음|400x400픽셀]]

유사 15-1

자유단에서의 처짐을 구하시오. <math>EI = 3.2 \times 10^{11} kg \cdot cm^2</math>
----모멘트도 그려서 변위일치법 쓰기엔 시간이 너무 오래걸린다.

처짐곡선을 그리고 처짐각이 B 기준 좌우로 같음을 이용해야 함.
[[파일:Bending of beam.png|왼쪽|프레임없음|400x400픽셀]]
<math>\begin{align} \theta & = \frac{qL^3}{24EI} \\
                     & = \frac{3t/m \times 6^3 m^3}{24 \times 3.2 \times 10^{11} kg \cdot cm^2} \\
                     & = \frac{3000 kg \times 6^3 \times 10^4 cm^2}{24 \times 3.2 \times 10^{11} kg \cdot cm^2} \\
                     & = 0.00084375 rads \end{align}</math>

<math>\theta = \frac{\Delta}{200cm}</math>

<math>\begin{align} \Delta & = 200cm \times \theta \\
                     & = 0.169cm \\ \end{align}</math>

=== 트러스에 가상일법 적용 ===
♣♣♣14-1, 14-3, 16-4, 17-2, 19-1

# 외부하중에 의한 부재력 계산
# 외력 제거, 변위 구하고자하는 절점에 변위 방향으로 단위하중(무차원)
# 단위하중에 의한 부재력 μ 계산
# <math>\mu \frac{FL}{EA}</math> 계산
# <math>\Delta = \sum \mu \frac{FL}{EA}</math>

부재 하나하나의 변형량은 <math>\frac{FL}{EA}</math>이다. 어디서 많이 보던 식이지?

== 각주 ==