토목공학/응용역학/재료의 역학적 성질 문서 원본 보기

== 출제 기준 ==
2019-2021

* 응력과 변형률
* 탄성계수

== 응력 ==
=== 평면응력 상태 임의 경사면 응력 ===
♣♣♣ 91, 13-3

경사면 수직응력

<math>\sigma_\theta = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta</math>

경사면 전단응력<ref>{{서적인용|제목=SI 재료역학|성=Gere, Goodno|이름=|날짜=|판=8|출판사=센게이지 러닝 코리아|쪽=559|장=}}</ref>

<math>\tau_\theta = {\color{red} - } \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin 2\theta + \tau_{xy} \cos 2\theta</math><gallery widths="300px" heights="300px">
File:Equilibre element matiere interne 2D.svg|평면응력 상태
File:Stress at a plane 2D-theta.png|평면 응력 상태의 임의 경사면 응력
</gallery>

=== 평면응력 상태 주응력, 작용면 ===
θ가 변할 때,

* 주응력 : <math>\sigma_\theta</math>의 최대, 최솟값
* 주 전단응력 : <math>\tau_\theta</math>의 최대, 최솟값

♣♣♣ 96, 00

<math>\sigma_{max, min} = \sigma_{1, 2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \right)^2 + {\tau_{xy}}^2}</math>

주응력면

<math>\tan 2\theta_p = \frac{\tau}{ \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} }</math>

=== 평면응력 상태 주 전단응력, 작용면 ===
주 전단응력 : 모어원 생각

<math>\begin{align} \tau_{max, \ min} 
&= \pm \sqrt{\left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \right)^2 + {\tau_{xy}}^2} \\ 
&= \pm \frac{\sigma_{max} - \sigma_{min}}{2}
\end{align}</math>

93

* 주전단응력면은 서로 직교
* 주응력면과 주전단응력면은 45도의 차이가 있다.
* 주응력면에서의 전단응력은 0이다.
* 주전단응력면에서의 주응력은 0이 '''아니다.'''

평면응력 상태 식들을 외웠다면 아래에 적은 다른 상태의 식들을 유도할 수 있다.

=== 1축응력 상태 경사면 응력 ===
82, 83, 87, 92, 97, 13-3

경사면 수직응력

<math>\begin{align} \sigma_\theta & = \frac{\sigma_x + 0}{2} + \frac{\sigma_x - 0}{2} \cos 2\theta + 0 \\
                            & = \frac 12 \sigma_x ( 1 + \cos 2\theta ) \\
                            & = \frac 12 \sigma_x ( \cancel 1 + 2 \cos^2 \theta - \cancel 1) \\
                            & = \sigma_x \cdot \cos^2 \theta \\ \end{align}</math>

경사면 전단응력<ref>{{서적인용|제목=SI 재료역학|성=Gere, Goodno|이름=|날짜=|판=8|출판사=센게이지 러닝 코리아|쪽=560|장=}}</ref>

<math>\tau_\theta = {\color{red} - } \frac{\sigma_x}{2} \sin 2\theta = {\color{red} - } \sigma_x \cdot \sin \theta \cdot \cos \theta</math>

=== 1축응력 상태 주응력 ===
77, 78, 83

경사면 주 전단응력

<math>\tau_{max, min} = \pm \frac{1}{2}\sqrt{ {\sigma_x}^2} = \pm \frac{\sigma_x}{2}</math>

=== 2축응력 상태 경사면 응력 ===
90 (토질 96, 98, 00, 01, 03, 06) ♣♣♣

경사면 수직응력

<math>\begin{align} \sigma_\theta & = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos 2\theta \\
                                   & = \sigma_x \cos^2 \theta + \sigma_y \sin^2 \theta  \\ \end{align}</math>

(토질 01, 02, 04, 06, 08, 10 ♣♣♣)

경사면 전단응력<ref>{{서적인용|제목=SI 재료역학|성=Gere, Goodno|이름=|날짜=|판=8|출판사=센게이지 러닝 코리아|쪽=561|장=}}</ref>

<math>\begin{align} \tau_\theta &= - \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin 2\theta \\
                                 &= - (\sigma_x - \sigma_y)\sin \theta \cos \theta  \end{align}</math>

경사면 주 전단응력

<math>\tau_{max, min} = \pm \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}</math>

=== 비틀림 모멘트에 의한 전단 응력 ===
==== 원형단면 ====
♣♣ 00, 14-1, 15-3, 16-3, 17-4, 18-1

<math>\tau = \frac{T r}{J}</math>
* J : 비틀림 상수.
*r : 바깥쪽 반지름

비틀림상수 J는 원형 단면의 경우엔 단면 2차 극모멘트 

<math>\begin{align} J = I_P & = I_x + I_y \\
                            & = 2\times \frac{\pi d^4}{64} = \frac{\pi d^4}{32} \\ \end{align}</math>

==== 얇은 직사각형 관 ====
[[파일:Shear force in shear flow.png|섬네일|300x300픽셀|화살표로 둘러싸인 부분의 면적이 A<sub>m</sub><ref>{{서적인용|제목=SI 재료역학|성=Gere, Goodno|이름=|날짜=|판=8|출판사=센게이지 러닝 코리아|쪽=294|장=}}</ref>]]
12-1, 15-2

두께가 얇은 관의 비틀림 공식

<math>\tau = \frac{T}{2t \cdot A_m}</math>

* T : 비틀림 우력[FL]
* t : 관의 최소두께
* A<sub>m</sub> : 그림 참조

{{-}}

=== 조합응력 ===
97, 99, 17-4
[[File:조합응력1.png|오른쪽|300픽셀]]

1, 2의 단면적이 같다고 하면 1에 발생하는 힘 P<sub>1</sub>?

----
1) <math>\sigma = E \epsilon = \frac{P}{A}</math>

:<math>\sigma_1 = E_1 \epsilon_1 , \ \sigma_2 = E_2 \epsilon_2</math>

:<math>P = \sigma \cdot A = \sigma_1 \cdot A_1 + \sigma_2 \cdot A_2 = P_1 + P_2</math>

2) 재료가 달라도 조합부재의 경우 변형은 같다.

:<math>\epsilon_1 = \epsilon_2</math>
:<math>\frac{\sigma_1}{E_1} = \frac{\sigma_2}{E_2}</math>
:<math>\sigma_1 = \frac{E_1}{E_2}\sigma_2</math>
:<math>\sigma_2 = \frac{E_2}{E_1}\sigma_1</math>

3)

<math>\begin{align} P & = \sigma_1 A_1 + \frac{E_2}{E_1} \sigma_1 A_2 \\
                & = \sigma_1 \left( A_1 + \frac{E_2}{E_1} A_2 \right) \\ \end{align}</math>

<math>\begin{align} \sigma_1 & = \frac{P}{A_1 + \frac{E_2}{E_1} A_2 } \\
                       & = \frac{P}{A \left( 1 + \frac{E_2}{E_1} \right)} \quad (\because A_1 = A_2) \\ \end{align}</math>

<math>\begin{align} P_1 = \sigma_1 A_1 & = \frac{P}{1 + \frac{E_2}{E_1}} \\
                                 & = \frac{E_1}{E_1 + E_2} P \\ \end{align}</math>
결론만 외우자.

=== 열응력 ===
♣♣

<math>\sigma = E \cdot \epsilon = E \cdot \alpha (t_2 - t_1 )</math>
:α : 선팽창계수(/°C)

=== 원환응력 ===
[[토목공학/수리학·수문학·상하수도 공학/정수역학#원관 수압]] 참고!

== 변형 ==
=== 푸아송 비 ===
82, 83: 푸아송 수는 υ의 역수

♣♣♣

<math>\nu = - \frac {\epsilon '}{\epsilon}</math>

<math>\epsilon'</math>은 가로방향 변형도, <math>\epsilon</math>은 축방향 변형도

=== 3축 응력 변형률 ===
99

<math>\epsilon_x = \frac{1}{E}(\sigma_x - \nu (\sigma_y + \sigma_z))</math>

<math>\epsilon_y = \frac{1}{E}(\sigma_y - \nu (\sigma_x + \sigma_z))

</math>

<math>\epsilon_z = \frac{1}{E}(\sigma_z - \nu (\sigma_x + \sigma_y))</math>

=== 2축응력 상태의 변형률 ===
96

3축응력 상태 변형률을 이용하면 유도 가능.

<math>\epsilon_x = \frac{1}{E}(\sigma_x - \nu \sigma_y)</math>

<math>\epsilon_y = \frac{1}{E}(\sigma_y - \nu \sigma_x)</math>

=== 체적 변형률 ===
♣♣♣14-1

<math>\begin{align} \frac{\Delta V}{V} & = \epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z \\
                                 & = \frac{1-2\nu}{E} (\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z) \\ \end{align}</math>

----
'''14-3, 19-2'''

각 변 길이가 10cm인 정육면체에 직교방향 하중 7200kgf를 받고 있다. 이 물체의 푸아송 비가 0.1, 탄성계수가 2.79×10<sup>5</sup> kgf/cm<sup>2</sup>일 때 이 물체의 체적 변화량은?

----
'''풀이'''

위 식에 따르면 단면이 같으므로 <math>\sigma_x = \sigma_y = \sigma_z = \frac{P}{A}</math>인데 두 방향으로 하중을 받으므로

:<math>\begin{align} \frac{\Delta V}{V} & = \frac{1 - 2\nu}{E} \cdot 2 \cdot \frac{P}{A} \\
                                        & = \frac{1 - 2 \times 0.1}{2.79 \times 10^5 kgf/cm^2} \cdot 2 \cdot \frac{7200 kgf}{100 cm^2} \\
                                        & = 0.00413 \end{align}</math>

<math>\therefore \Delta V = 0.00413 V = 0.413 cm^3</math> (감소함)

=== 곡률, 곡률반경 ===
♣♣♣ 처짐 계산, 측량학에 원리 쓰임.

곡률반경

<math>R = \frac{EI}{M}</math>

곡률

<math>\frac{1}{R} = \frac{M}{EI}</math>

=== 유연도 ===
후크의 법칙으로부터

<math>\Delta L = \frac{PL}{EA}</math>이고, <math>f = \frac{L}{EA}</math>

=== 변형량 기출문제 ===

'''16-2, 18-3'''

[[File:Deflection1.jpg|왼쪽|418x418px]]

{{-}}

수직변위를 구하면?

<math>\begin{align} \delta & = \frac{PL}{EA} + \frac{PL}{2EA} \\ & = \frac{3PL}{2EA} \\ \end{align}</math>

----

'''15-2, 18-3'''
[[파일:Reaction force.jpg|왼쪽|프레임없음|300픽셀]]

{{-}}

<math>R_A = \frac{2P}{3}</math>

<math>R_B = \frac{P}{3}</math>

만약에 두 부분의 단면적도 다르다면(19-1)

힘의 평형 조건

<math>R_A + R_B = P</math>

적합조건 : C점 변위 동일

<math>\frac{R_B l_B}{E A_B} = \frac{R_A l_A}{E A_A}</math>

<math>R_A</math>에 대해 정리한 뒤, 힘의 평형조건식에 대입하면

<math>R_B = \frac{l_A \cdot A_B}{l_B \cdot A_A + l_A \cdot A_B} P</math>

'''16-1 기출'''

[[File:Deflection7.png|오른쪽|400픽셀]]

BC부재 응력은 얼마나 생길까?

----

총 변형은 0일테니까

<math>\frac{P_A \times 10cm}{E \times 10cm^2} + \frac{P_B \times 5cm}{E \times 5cm^2} = 0</math>

<math>\therefore P_A = - P_B</math>
[[파일:Deflection8.png|왼쪽|프레임없음|400x400픽셀]]
<br />

{{-}}

<math>\sigma_{BC} = \frac{P}{A} = \frac{5t}{5cm^2} = 1t/cm^2 </math>

== 탄성계수 ==
=== 체적 탄성계수 ===
17-2, 18-2

<math>K = \frac{E}{3(1-2\nu)}</math>

=== 전단 탄성계수 ===
00, 14-3, 17-2, 18-1

<math>\tau = G \gamma = \frac{S}{A}</math>

♣♣♣ 17-4, 18-3

<math>{\color{Red}G = \frac{E}{2(1+\nu)}}</math>

== 안전율 ==
81

<math>S = \frac{\text{항 복 응 력  또 는  극 한 강 도 }}{\text{허 용 응 력  또 는  사 용 응 력}}</math>

== 각주 ==
<references />

== 참고 서적 ==
* {{서적인용|제목=토목기사 필기 응용역학|성=전찬기 외|이름=|날짜=2015|판=|출판사=성안당|쪽=|장=재료의 역학적 성질}}