토목공학/응용역학/재료의 역학적 성질

출제 기준

2019-2021

• 응력과 변형률
• 탄성계수

응력

평면응력 상태 임의 경사면 응력

♣♣♣ 91, 13-3

경사면 수직응력

${\sigma }_{\theta }=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}+\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\cos 2\theta +{\tau }_{xy}\sin 2\theta$

경사면 전단응력

${\tau }_{\theta }=-\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\sin 2\theta +{\tau }_{xy}\cos 2\theta$

• 
  평면응력 상태
• 
  평면 응력 상태의 임의 경사면 응력

평면응력 상태 주응력, 작용면

θ가 변할 때,

• 주응력 : ${\sigma }_{\theta }$의 최대, 최솟값
• 주 전단응력 : ${\tau }_{\theta }$의 최대, 최솟값

♣♣♣ 96, 00

${\sigma }_{max,min}={\sigma }_{1,2}=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{{\tau }_{xy}}^2}$

주응력면

$\tan 2{\theta }_p=\frac{\tau }{\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}}$

평면응력 상태 주 전단응력, 작용면

주 전단응력 : 모어원 생각

$\begin{array}{cc}{\tau }_{max,min}& =\pm \sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{{\tau }_{xy}}^2}\\ & =\pm \frac{{\sigma }_{max}-{\sigma }_{min}}{2}\end{array}$

93

• 주전단응력면은 서로 직교
• 주응력면과 주전단응력면은 45도의 차이가 있다.
• 주응력면에서의 전단응력은 0이다.
• 주전단응력면에서의 주응력은 0이 아니다.

평면응력 상태 식들을 외웠다면 아래에 적은 다른 상태의 식들을 유도할 수 있다.

1축응력 상태 경사면 응력

82, 83, 87, 92, 97, 13-3

경사면 수직응력

$\begin{array}{cc}{\sigma }_{\theta }& =\frac{{\sigma }_x+0}{2}+\frac{{\sigma }_x-0}{2}\cos 2\theta +0\\ & =\frac{1}{2}{\sigma }_x(1+\cos 2\theta )\\ & =\frac{1}{2}{\sigma }_x(\cancel{1}+2{\cos }^2\theta -\cancel{1})\\ & ={\sigma }_x\cdot {\cos }^2\theta \\ \end{array}$

경사면 전단응력

${\tau }_{\theta }=-\frac{{\sigma }_x}{2}\sin 2\theta =-{\sigma }_x\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta$

1축응력 상태 주응력

77, 78, 83

경사면 주 전단응력

${\tau }_{max,min}=\pm \frac{1}{2}\sqrt{{{\sigma }_x}^2}=\pm \frac{{\sigma }_x}{2}$

2축응력 상태 경사면 응력

90 (토질 96, 98, 00, 01, 03, 06) ♣♣♣

경사면 수직응력

$\begin{array}{cc}{\sigma }_{\theta }& =\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}+\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\cos 2\theta \\ & ={\sigma }_x{\cos }^2\theta +{\sigma }_y{\sin }^2\theta \\ \end{array}$

(토질 01, 02, 04, 06, 08, 10 ♣♣♣)

경사면 전단응력

$\begin{array}{cc}{\tau }_{\theta }& =-\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\sin 2\theta \\ & =-({\sigma }_x-{\sigma }_y)\sin \theta \cos \theta \end{array}$

경사면 주 전단응력

${\tau }_{max,min}=\pm \frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}$

비틀림 모멘트에 의한 전단 응력

원형단면

♣♣ 00, 14-1, 15-3, 16-3, 17-4, 18-1

$\tau =\frac{Tr}{J}$

• J : 비틀림 상수.
• r : 바깥쪽 반지름

비틀림상수 J는 원형 단면의 경우엔 단면 2차 극모멘트

$\begin{array}{cc}J=I_P& =I_x+I_y\\ & =2\times \frac{\pi d^4}{64}=\frac{\pi d^4}{32}\\ \end{array}$

얇은 직사각형 관

화살표로 둘러싸인 부분의 면적이 A_m

12-1, 15-2

두께가 얇은 관의 비틀림 공식

$\tau =\frac{T}{2t\cdot A_m}$

• T : 비틀림 우력[FL]
• t : 관의 최소두께
• A_m : 그림 참조

조합응력

97, 99, 17-4

1, 2의 단면적이 같다고 하면 1에 발생하는 힘 P₁?

---

1) $\sigma =Eϵ=\frac{P}{A}$

${\sigma }_1=E_1{ϵ}_1,{\sigma }_2=E_2{ϵ}_2$

$P=\sigma \cdot A={\sigma }_1\cdot A_1+{\sigma }_2\cdot A_2=P_1+P_2$

2) 재료가 달라도 조합부재의 경우 변형은 같다.

${ϵ}_1={ϵ}_2$

$\frac{{\sigma }_1}{E_1}=\frac{{\sigma }_2}{E_2}$

${\sigma }_1=\frac{E_1}{E_2}{\sigma }_2$

${\sigma }_2=\frac{E_2}{E_1}{\sigma }_1$

3)

$\begin{array}{cc}P& ={\sigma }_1{A}_1+\frac{E_2}{E_1}{\sigma }_1{A}_2\\ & ={\sigma }_1(A_1+\frac{E_2}{E_1}{A}_2)\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}{\sigma }_1& =\frac{P}{A_1+\frac{E_2}{E_1}{A}_2}\\ & =\frac{P}{A(1+\frac{E_2}{E_1})}(\because A_1=A_2)\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}{P}_1={\sigma }_1{A}_1& =\frac{P}{1+\frac{E_2}{E_1}}\\ & =\frac{E_1}{E_1+E_2}P\\ \end{array}$ 결론만 외우자.

열응력

♣♣

$\sigma =E\cdot ϵ=E\cdot \alpha (t_2-t_1)$

α : 선팽창계수(/°C)

원환응력

토목공학/수리학·수문학·상하수도 공학/정수역학#원관 수압 참고!

변형

푸아송 비

82, 83: 푸아송 수는 υ의 역수

♣♣♣

$\nu =-\frac{{ϵ}^{\prime }}{ϵ}$

${ϵ}^{\prime }$은 가로방향 변형도, $ϵ$은 축방향 변형도

3축 응력 변형률

99

${ϵ}_x=\frac{1}{E}({\sigma }_x-\nu ({\sigma }_y+{\sigma }_z))$

${ϵ}_y=\frac{1}{E}({\sigma }_y-\nu ({\sigma }_x+{\sigma }_z))$

${ϵ}_z=\frac{1}{E}({\sigma }_z-\nu ({\sigma }_x+{\sigma }_y))$

2축응력 상태의 변형률

96

3축응력 상태 변형률을 이용하면 유도 가능.

${ϵ}_x=\frac{1}{E}({\sigma }_x-\nu {\sigma }_y)$

${ϵ}_y=\frac{1}{E}({\sigma }_y-\nu {\sigma }_x)$

체적 변형률

♣♣♣14-1

$\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\Delta }V}{V}& ={ϵ}_x+{ϵ}_y+{ϵ}_z\\ & =\frac{1-2\nu }{E}({\sigma }_x+{\sigma }_y+{\sigma }_z)\\ \end{array}$

---

14-3, 19-2

각 변 길이가 10cm인 정육면체에 직교방향 하중 7200kgf를 받고 있다. 이 물체의 푸아송 비가 0.1, 탄성계수가 2.79×10⁵ kgf/cm²일 때 이 물체의 체적 변화량은?

---

풀이

위 식에 따르면 단면이 같으므로 ${\sigma }_x={\sigma }_y={\sigma }_z=\frac{P}{A}$인데 두 방향으로 하중을 받으므로

$\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\Delta }V}{V}& =\frac{1-2\nu }{E}\cdot 2\cdot \frac{P}{A}\\ & =\frac{1-2\times 0.1}{2.79\times 10^{5}kgf/c{m}^2}\cdot 2\cdot \frac{7200kgf}{100c{m}^2}\\ & =0.00413\end{array}$

$\therefore \mathrm{\Delta }V=0.00413V=0.413c{m}^3$ (감소함)

곡률, 곡률반경

♣♣♣ 처짐 계산, 측량학에 원리 쓰임.

곡률반경

$R=\frac{EI}{M}$

곡률

$\frac{1}{R}=\frac{M}{EI}$

유연도

후크의 법칙으로부터

$\mathrm{\Delta }L=\frac{PL}{EA}$이고, $f=\frac{L}{EA}$

변형량 기출문제

16-2, 18-3

수직변위를 구하면?

$\begin{array}{cc}\delta & =\frac{PL}{EA}+\frac{PL}{2EA}\\ & =\frac{3PL}{2EA}\\ \end{array}$

---

15-2, 18-3

$R_A=\frac{2P}{3}$

$R_B=\frac{P}{3}$

만약에 두 부분의 단면적도 다르다면(19-1)

힘의 평형 조건

$R_A+R_B=P$

적합조건 : C점 변위 동일

$\frac{R_B{l}_B}{E{A}_B}=\frac{R_A{l}_A}{E{A}_A}$

$R_A$에 대해 정리한 뒤, 힘의 평형조건식에 대입하면

$R_B=\frac{l_A\cdot A_B}{l_B\cdot A_A+l_A\cdot A_B}P$

16-1 기출

BC부재 응력은 얼마나 생길까?

---

총 변형은 0일테니까

$\frac{P_A\times 10cm}{E\times 10c{m}^2}+\frac{P_B\times 5cm}{E\times 5c{m}^2}=0$

$\therefore P_A=-P_B$

${\sigma }_{BC}=\frac{P}{A}=\frac{5t}{5c{m}^2}=1t/c{m}^2$

탄성계수

체적 탄성계수

17-2, 18-2

$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$

전단 탄성계수

00, 14-3, 17-2, 18-1

$\tau =G\gamma =\frac{S}{A}$

♣♣♣ 17-4, 18-3

$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$

안전율

81

$S=\frac{\text{항 복 응 력 또 는 극 한 강 도 }}{\text{허 용 응 력 또 는 사 용 응 력}}$

참고 서적

• 틀:서적인용