토목기사 요약/수리수문학/정수역학 문서 원본 보기

== 출제 기준 ==
2019-2021
* 압력의 정의
* 정수압 분포
* 정수력
* 부력

== 정수압의 원리 ==
* 정수 중에서 전단응력은 0이다.(00)

----


'''99'''

정수압 강도 1kg/cm<sup>2</sup>을 압력수두로 나타내시오.
----'''풀이'''

<math>p = \gamma h</math>이므로

<math>h = \frac{p}{\gamma} = \frac{1000g/cm^2}{1g/cm^3} = 1000cm = 10m</math>
----
'''92'''
[[File:정수압 예제1.png|left|300px]]

물이 채워진 용기가 있다. A점이 표준 대기압을 받고 있을 때, B점의 절대 압력은?

'''풀이'''

B점이 표준 대기압을 받는 수면보다 위에 있다는 건 압력이 그만큼 더 작다는 뜻이다. 따라서 표준대기압에서 물기둥만큼의 압력을 빼줘야 한다.

<math>\begin{align} p = - \gamma h + p_{atm} & = - 1t/m^3 \times 5m + 10.33t/m^2 \\
                                       & = 0.533kg/cm^2 \\ \end{align}</math>
{{-}}

== 압력 측정 ==
* 액주계: 관 내 압력 재는 도구
* 피에조미터: 정수압 측정(90)
* 마노미터 : 압력 측정 (94)
<gallery widths="200" heights="200">
파일:Tubo piezométrico.JPG|피에조미터
파일:A fluid tube manometer.svg|마노미터
</gallery>
----'''16-4'''
[[파일:Fluid pressure.png|오른쪽|프레임없음|400x400픽셀]]
h = 0.5m일 때 A, B 사이 압력차는? 수은 비중은 13.5
----<math>P_A + 0.5 \times 9.8 = P_B + 0.5 \times 13.5 \times 9.8</math>

<math>P_A - P_B = 0.5 \times 12.5 \times 9.8 = 61.25kN/m^2</math>
{{-}}
----'''01'''

[[File:파스칼의 원리1.png|left|400px]]

A/a = 1000, L/l = 8, P = 10kg일 때 Q힘은?

'''풀이'''

파스칼의 법칙에서 <math>\frac{Q}{A} = \frac{G}{a}</math>

<math>Gl = PL</math>이므로 

<math>Q = \frac Aa \times \frac {PL}l = 80000kg = 80t</math>
{{-}}

'''02'''

[[File:정수압 예제2.png|왼쪽|200픽셀]]

바닥면 전수압은?

'''풀이'''

중간에 형태가 변해도 바닥면 넓이만으로 계산함. 

<math>\begin{align} P = \gamma h A & = 1g/cm^3 \times 12cm \times \frac{\pi \times 8^2 cm^2}{4} \\
                             & = 603g \\ \end{align}</math>
{{-}}

== 수중 물체에 작용하는 전수압 ==
♣♣02

* 흐르지 않는 물에 잠긴 평판에 작용하는 전수압은 <u>'''도심의 수압'''</u>에 <u>'''평판 면적'''</u>을 곱해 구한다.
* 수심과 단면적이 같으면 전수압도 일정
* 전수압: 정수압에 면적 곱한 것[kg]
* 정수압: 정수 중 물의 압력 강도[kg/cm<sup>2</sup>]
* 수면에 평행한 평면에 작용하는 전수압은 '''평면의 도심'''에 작용

=== <u>연직 평면</u>에 작용하는 전수압 ===
13-1

전면적 A에 작용하는 수압(h<sub>c</sub>: 수면에서 '''<u>도심까지</u>'''의 깊이)

<math>F_w = \gamma_w {\color{red} h_c } A</math>

전수압의 작용점

<math>h_p = h_c + \frac{I_c}{h_c A}</math>

* <math>I_c</math> : <u>'''도심에 대한'''</u> 단면이차모멘트

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'''10, 20-1+2'''
[[File:정수압 예제7.png|right|484x484px]]
두 변의 길이가 3m인 직각이등변 삼각형의 한 변을 자유표면에 두면 자유표면으로부터 정수압의 작용점은?

{{-}}

'''풀이'''

정수압 작용점 <math>h_p = h_c + \frac{\frac{bh^3}{36}}{h_c A} = 1.5m</math>
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'''95'''
[[File:정수압 예제5.png|오른쪽|500픽셀]]
오른쪽 그림에서 단면에 작용하는 힘의 작용점은 AB로부터 수평으로 몇 m 떨어진 곳에 있는가?

{{-}}

'''풀이'''

ABCG, GDEF 단면으로 구분해서 각각의 전수압을 계산한다.

ABCG: <math>P_1 = 1t/m^3 \times 1m \times 2m^2 = 2t</math>

GDEF: <math>P_2 = 1t/m^3 \times 0.5m \times 1m^2 = 0.5t</math>

전단면: 2 + 0.5 = 2.5t

AB 면에서 각 단면 작용점까지 거리는

ABCG: <math>\frac{AG}{2}</math>

GDEF: <math>AG + \frac{GF}{2}</math>

이제 A에서 모멘트를 취한다.

<math>Px = P_1 \times \frac{AG}{2} + P_2 \times \left( AG + \frac{GF}{2} \right)</math>

<math>2.5t \times x = 2t \times 0.5m + 0.5t \times 1.5m</math>

x = 0.7m

=== <u>경사진 평면</u>에 작용하는 전수압 ===
[[File:Submerged plane1.png|오른쪽|504x504px]]

전수압

<math>\begin{align} F_w & = \gamma_w {\color{red} h_c } A \\
                  & = \gamma_w y_c \sin \theta A \\ \end{align}</math>

O점에서 작용점 위치까지 경사깊이

<math>y_p = y_c + \frac{I_{cx} }{y_c A}</math>

* <math>I_{cx}</math> : Ox축에 평행하면서 단면의 도심을 지나는 축에 대한 단면이차모멘트

수면에서 작용점 위치까지 연직깊이

<math>h_p = y_p \sin \theta</math>

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참고 자료
* {{서적인용|제목=토목기사 필기 - 수리수문학|성=임진근 외|이름=|날짜=2015|판=|출판사=성안당|쪽=|장=}}
* {{서적인용|제목=수리학|성=김경호|이름=|날짜=2010|판=|출판사=한티미디어|쪽=|장=}}

=== <u>곡면</u>에 작용하는 전수압 ===
♣98, 12-3, 14-1, 16-4

* 수평분력 P<sub>H</sub> : 연직면에 투영한 면에 작용하는 '''<u>전수압</u>'''
* 수직분력 P<sub>V</sub> : 곡면을 저면으로 하는 '''<u>수면까지</u>''' 수주 무게(투영면이 '''<u>중복되는 부분</u>'''은 '''<u>빼줘야</u>''' 함)
* 합력 <math>P = \sqrt{{P_H}^2 + {P_V}^2}</math>
* 작용점: [[w:바리뇽의 정리]]로 구함

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'''96'''

[[File:정수압 예제3.png|왼쪽|350픽셀]]

길이방향으로 1m인 원통이 물을 막고 있다. 원통의 곡면에 작용하는 전수압을 구하시오.

{{-}}

'''풀이'''

수평수압은 연직방향으로 투영시킨 면에 작용하는 전수압과 같다.
:<math>P_H = 1t/m^3 \times 2 m^2 \times 1m = 2t</math>
수직수압은 곡면을 저면으로 하는 수주의 수면까지의 무게와 같다. 이때 중첩되는 부분은 계산에서 제외한다.
:<math>\begin{align} P_V & = 1t/m^3 \times \left( \frac{\pi }{4}\times 2^2 m^2 \times \frac{1}{2} \times 1m \right) \\
                  & = \frac{\pi}{2} t = 1.57t \\ \end{align}</math>
전수압은 다음과 같이 구한다.
:<math>P = \sqrt{{P_H}^2 + {P_V}^2} = 2.54t</math>
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'''11, 20-1+2'''
[[File:정수압 예제4.png|300px|right]]
길이 8m인 드럼게이트에 작용하는 전수압이 수문에 작용하는 지점 수심을 구하시오.

{{-}}

----'''풀이'''

수평, 연직 분력을 각각 먼저 계산하면 P<sub>H</sub> = 36t, P<sub>V</sub> = 9πt.
[[파일:Hydrostatics, drum gate.png|왼쪽|프레임없음|377x377픽셀]]


원의 중심 O에서 <math>x = 1.5 \cos \theta, \quad y = 1.5\sin \theta</math>

<math>\sum M_O = 0</math> 

P<sub>H</sub> y = P<sub>V</sub> x

<math>36 \times 1.5 \sin \theta = 9 \pi \times 1.5 \cos \theta</math>

<math>\tan \theta = \frac{9 \pi \times 1.5}{36 \times 1.5}</math>

θ = 38.15도

수문의 작용점까지 수심 

<math>\begin{align} h_c & = 1.5m + y \\
                  & = 1.5 + 1.5 \sin \theta \\
                  & = 2.43m \end{align}</math>
{{-}}

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'''예제'''

[[File:정수압 예제6.png|오른쪽|300픽셀]]

길이 3m인 반원통 물체가 물에 잠겨있다. 반원통에 작용하는 물에 의한 합력의 O점에 관한 모멘트를 계산하시오.

{{-}}

'''풀이'''

<math>P_V = \gamma_w V = 1t/m^3 \times \left( \frac{1}{2} \times \frac{\pi \times 2^2}{4} m^2 \times 3m \right) = 1.5\pi t</math>

연직수압은 O점에서 0.4244r 떨어진 곳에 작용하므로

M = 4.71t×0.4244×1 = 2t·m

== 원관 수압 ==
[[File:Stress cylindrical vessel 1.jpg|300픽셀|왼쪽]]

♣93, 00, 02 / 응용역학 13-2 / 상수도 96, 19-3

<math>p D = \sigma_{ta} \cdot 2t</math>
:p: 수압
:σ<sub>ta</sub>: 허용 인장 응력
:t: 강관 두께
{{-}}

참고 서적
* {{서적인용|제목=SI 재료역학|성=James M. Gere & Barry J. Goodno|이름=|날짜=|판=8|출판사=센게이지 러닝 코리아|쪽=635|장=}}

== 부력 ==
♣♣♣ 부력: 수중 부분 체적만큼의 물의 무게.

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; 90
4×5×1m<sup>3</sup> 목재판에 2000kg의 하중이 놓여 있다. 목재 비중이 0.5라고 하면 목재판이 물에 잠기는 체적은?
----
; 풀이
[[File:부력1.png|right|300px]]
<math>\begin{align} B & = W + 2000kg \\
                & = 20m^3 \times 0.5t/m^3 + 2000kg \\
                & = 10000kg + 2000kg = 12t \end{align}</math>

B = <math>\gamma_w V = 1t/m^3 \times 4 \times 5m^2 \times d</math>

d = 12 / 20 = 0.6m

<math>\therefore V = 20 \times 0.6m^3 = 12m^3</math>

{{-}}
----
; 98, 유사 13-1, 18-3
떠 있는 부분이 102.45m<sup>3</sup>인 빙산의 전체적을 구하시오. 빙산의 비중은 0.92, 해수 비중은 1.025이다.
----
; 풀이
V<sub>t</sub>: 빙산 전체적

V: 떠 있는 부분 체적

V': 잠긴 부분 체적

W = B

0.92 V<sub>t</sub> = 1.025 V' = 1.025 (V<sub>t</sub> - V)

<math>V_t = \frac{1.025V}{1.025 - 0.92} = 1000m^3</math>

== 부체의 안정 ==
* 부심(center of buoyancy, C): 배제 체적 물의 무게 중심
* 경심(metacenter, M): 부력 작용선과 부체 중심선의 교점. MG는 경심고(metacentric height)
* 경심고 <math>MG = \frac{P\cdot L}{W \cdot \tan \theta}</math> (부체에 대한 우력모멘트 이용해서 유도) (02)
** P : 움직일 하중의 크기
** L : 하중을 선박 대칭축 방향에 직각이 되게 이동시킨 거리
** W : 선박 배수 용량
** tan θ : 기울어진 각도의 탄젠트값
** <math>MG = \frac{I_x}{V} - GC > 0</math> 이면 안정, < 0이면 불안정 (97)
*** I<sub>x</sub> : 부양면의 최소 단면 2차 모멘트
*** V : 부체의 수중 부분 체적
*** GC : 부심에서 중심까지 거리

[[File:Adrizamiento1.png]]

18-2
# M이 G보다 위에 있으면 안정. W, B가 동일 연직선 상에 있고 M, G가 동일할 때 중립.
# M이 G보다 아래에 있으면 불안정.

== 상대 정지 ==
=== 정수압의 기본방정식 ===
13-1, 16-4

정지유체의 평형조건식

<math>dp = \rho (X dx + Y dy + Z dz)</math>

* X, Y, Z : 단위유체질량에 작용하는 외력의 x, y, z축에 대한 성분
* dx, dy, dz : 각 방향 증분
* 등압면에서는 P가 일정하므로 dp = 0 (이때를 수준면의 평형 조건식 또는 등압면 방정식이라 함)

=== 수평가속도를 받는 경우 ===
14-2

가속도 a로 수레를 당길 때 수면이 정지했다고 하면
[[파일:상대정지.png|오른쪽|프레임없음|400x400픽셀]]
<br />

* 수면의 방정식 <math>z = - \frac{a}{g}x</math>

* 물이 쏟아지지 않을 때의 최고 가속도 계산(18-3)
**<math>\tan \theta = \frac{H - h}{\frac{b}{2}} = \frac{a}{g}</math>

{{-}}

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* 물이 든 수조가 연직가속도(상향)를 받을 때 깊이 h에서의 압력: <math>p = \gamma_w h \left( 1 + \frac{a}{g} \right)</math> (98)

* 유체가 등가속도 운동을 하고 있을 때 : 유체 총 상호간에 상대적인 운동이 존재하지 않음.(97)

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'''예제''' 반지름 20cm, 높이 80cm 원통에 60cm까지 물을 넣어 중심축을 중심으로 회전시킬 때 물통 바닥에 작용하는 ''전수압은 회전할 때나 정지할 때나 크기가 같다.'' 왜냐하면 상대정지 상태이기 때문.