토목기사 요약/철근콘크리트 및 강구조/RC 보의 휨 문서 원본 보기

* 콘크리트 응력은 중립축에서 거리에 비례하지 않음. 변형률은 비례(80)
* 콘크리트 압축 연단 최대 변형률은 0.003 (99)

== 보의 휨파괴와 균형보 ==
14-2, 19-2, 19-3 종합적인 이해

* 연성파괴 : 인장철근이 약해서 파괴되는 것
* 취성파괴 : 압축측 콘크리트가 약해서 파괴되는 것. <u>철근량이 많은 경우 철근 항복 전에</u> 콘크리트 변형률이 극한변형률 0.003에 도달하여 파괴 시 변형이 생기지 크게 생기지 않고 갑자기 콘크리트의 파괴를 일으킨다. 이런 파괴를 취성파괴, 압축파괴라 한다. 취성 파괴는 위험을 예측할 수 없을 뿐만 아니라, 철근 재료 특성인 항복강도와 연성을 활용하지 못해 비경제적인 설계가 되게 한다.
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* '''균형보'''(평형보, balanced beam)
** 보의 취성파괴는 사고에 대한 안전 대책을 세울 시간 없이 갑자기 일어나므로 이를 방지하기 위해 철근 사용량을 규제해야 함. 이 한계의 철근비를 '''균형철근비'''(balanced steel ratio) 또는 '''평형 철근비'''라 함. 철근이 항복함과 동시에 콘크리트의 압축변형률이 0.003에 도달할 때의 철근비가 균형철근비임.
** 균형철근비를 쓴 보를 '''균형보''', '''평형보'''라 함. 이때의 철근량은 '''균형철근량''', '''평형 철근량'''

[[파일:과소철근보, 과다철근보.png|오른쪽|프레임없음|400x400픽셀]]
<br />

*'''과소 철근보''' : 균형철근비보다 철근을 적게 넣어 연성파괴가 일어나게 한 보. 중립축이 압축부쪽으로 이동.
*'''과다 철근보''' : 균형철근비보다 철근을 많이 넣어 취성파괴가 일어나게 한 보. 중립축이 인장부쪽으로 이동.

=== 철근비 ===
90

<math>\rho = \frac{A_s}{b \cdot d}</math>

=== 균형보의 중립축과 균형 철근비 ===
[[파일:보의 중립축.png|300픽셀]]

♣♣♣균형보의 중립축 위치(89, 94, 95, 96, 99, 19-3)

<math>\begin{align} c_b & = \frac{0.003}{0.003 + \epsilon_y} d = \frac{0.0033}{0.0033 + \frac{f_y}{E_s}} d \\
                  & = \frac{660}{660 + f_y} d \end{align}</math>

♣♣♣균형철근비 14-3, 18-3
까먹으면 유도 가능.
균형철근비에서 0.003이 콘크리트 강도 40 이하 일때 0.0033으로 변경되었음으로 600보다 660이 적합하다.
<math>0.85 f_{ck} ab = A_{sb} f_y</math>

<math>A_{sb} = \frac{0.85 f_{ck} \beta_1 c_b b}{f_y}</math>

<math>\begin{align} \rho_b & = \frac{A_{sb}}{bd} = \frac{0.85 f_{ck} \beta_1 c_b \cancel b}{f_y \cancel bd} \\
                     & = \frac{0.85 f_{ck} \beta_1}{f_y \cancel d} \cdot \frac{660}{660 + f_y} \cancel d \\
                     & = \frac{0.85f_{ck}}{f_y} \beta_1 \cdot \left( \frac{660}{660 + f_y}\right) \\
                     & = \frac{0.85f_{ck} a}{f_y \cdot d} \\ \end{align}</math>

<math>\begin{align} \rho_b & = 0.85 \beta_1 \frac{f_{ck}}{f_y} \frac{0.0033}{0.0033 + \epsilon_y} \\
                     & = 0.85 \beta_1 \frac{f_{ck}}{f_y} \frac{660}{660 + f_y} \\ \end{align}</math>

==== 최소철근비 ====
♣♣12-3, 13-1, 14-2, 15-1, 15-2, 15-3

휨부재 정철근량은 해석 상 소요 철근량보다 1/3만큼 추가하지 않은 경우 철근비가 

<math>\frac{ 0.25 \sqrt{f_{ck}}}{f_y}</math> 또는 <math>\frac{1.4}{f_y}</math> 중 큰값 이상이어야 한다.

==== 최대 철근비 ====
{| class="wikitable"
|-
! f<sub>y</sub> (MPa) !! 최소 허용 인장변형률 ε<sub>tmin</sub>
|-
| 400 이하 || 0.004
|-
| 400 초과 ||<math>2.0\epsilon_y</math>
|}
최대철근비는 다음으로부터 계산된 값이다.

<math>\rho_b = 0.85 \beta_1 \frac{f_{ck}}{f_y} \frac{0.003}{0.003 + \epsilon_y}</math>

<math>\rho_{max} = 0.85 \beta_1 \frac{f_{ck}}{f_y} \frac{0.003}{0.003 + \epsilon_{tmin} }</math>

위 두 식을 조합하면 아래처럼 된다.

<math>\begin{align} \rho_{max} & = \frac{\epsilon_c + \epsilon_y }{\epsilon_c + \epsilon_{tmin}} \rho_b \\
                         & = \frac{0.003 + \epsilon_y }{0.003 + \epsilon_{tmin}} \rho_b \\ \end{align}</math>
----
'''1. 90'''

강도 설계법에서 균형 철근비 ρ<sub>b</sub> = 0.0365, b = 300mm, d = 500mm일 때 유효 철근량은?

----
'''풀이'''

다른 조건이 없으므로 최대 철근비에 의해 구한다.

<math>\rho = \frac{A_s}{b \cdot d}</math>에서 <math>A_s = \rho \cdot b \cdot d</math>

<math>\rho_{max} = 0.75 \rho_b</math>이므로 (별 조건 없으면 최대값인 0.75로 한다고 함.)

<math>A_s = 0.75 \rho \cdot b \cdot d = 4106mm^2</math>

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'''2. 92, 18-3(다른 숫자로)'''

단철근 직사각형보 b = 300mm, d = 620mm에서 사용 가능한 최대 인장철근 단면적은? 강도 설계법을 사용하고 f<sub>ck</sub> = 24MPa, f<sub>y</sub> = 300MPa이다.
----
'''풀이'''

f<sub>y</sub> = 300MPa일 때 ρ<sub>max</sub> = 0.643 ρ<sub>b</sub>

<math>\rho_b = \frac{0.85 f_{ck} \beta_1}{f_y} \times \frac{600}{600+f_y}</math>

<math>\begin{align} \rho_{max} & = 0.643 \rho_b \\
                         & = 0.643 \frac{0.85 f_{ck} \beta_1}{f_y} \times \frac{600}{600+f_y} \\
                         & = 0.02478 \end{align}</math>

A<sub>s</sub> = ρ<sub>max</sub> b d = 0.02478×300×620 = 4609 mm<sup>2</sup>

== 단철근 직사각형보의 단면 해석 ==

=== 유효깊이 계산 ===
19-1
[[파일:Cross section of a concrete beam1.png|오른쪽|프레임없음|400x400픽셀]]
오른쪽 그림에서 유효깊이 d를 구하시오. D19 철근 공칭단면적은 287mm<sup>2</sup>
----바리뇽의 정리를 이용하는 문제다.

<math>5d = 2 \times 350mm + 3 \times 450mm</math>

d = 410mm

복철근보에서 압축철근 있어도 유효깊이 구할 땐 인장부 철근만 가지고 함.
{{-}}

=== 휨 강도 ===

♣♣♣ 14-2, 18-1 등등 이 부분은 전반적으로 중요

최외단 철근 변형률 <math>\epsilon_t = \frac{d_t - c}{c} \times 0.003</math>

♣♣♣ 콘크리트의 압축력

<math>C = 0.85 f_{ck} \cdot a \cdot b</math>

♣♣♣ 18-3 등등

<math>\beta_1=
\begin{cases}
0.85 - (f_{ck} - 28)\times 0.007 \geq 0.65 & (f_{ck} > 28MPa) \\
0.85 & (f_{ck} \leq 28MPa)
\end{cases}</math>

♣♣♣ 단철근 직사각형 보

C = T

<math>0.85f_{ck} a b = A_s f_y</math>

공칭 휨강도

♣♣♣ 14-3

<math>\begin{align} M_n & = T \cdot z = f_y A_s \left( d - \frac{a}{2} \right) \\
                  &= C \cdot z = 0.85f_{ck} \cdot a \cdot b \left( d - {\color{red} \frac{a}{2} } \right) \\ \end{align}</math>

<u>'''주의!!'''</u> 만약 <u>'''직사각형 단면이 아니라'''</u> 삼각형과 같은 단면이라면, '''<u>모멘트 팔길이</u>''' 달라짐(위 식에서 빨간색 부분)

계수하중 1.2D + 1.6L<ref>KDS 41 10 15 :2019 건축구조기준 설계하중</ref><ref>전찬기 외, <<토목기사 과년도 - 철근콘크리트 및 강구조>>(2015), 성안당, 114쪽</ref>

설계 휨강도

79, 99, 16-4 등등 ♣♣♣

<math>\begin{align} M_d & = \phi M_n \\
                  & = {\color{Red} \phi \left\{ 0.85 f_{ck} a b \left( d - \frac{a}{2} \right) \right\} } \\
                  & = {\color{Red} \phi A_s f_y \left( d - \frac{a}{2} \right) } \\
                  & = \phi f_y \rho b d^2 \left( 1 - 0.59 \rho \frac{f_y}{f_{ck}} \right) \end{align}</math>

19-1

<math>q = \frac{f_y \rho}{f_{ck}}</math>라고 하면

<math>\begin{align} M_d & = \phi f_y \rho b d^2 ( 1 - 0.59 q ) \\
                  & = \phi f_{ck} q b d^2 ( 1 - 0.59 q ) \\ \end{align}</math>

97

계산 상 철근비 <math>\rho > \frac{0.003 + f_y / E_s}{0.007} \rho_b</math>이면 <math>\rho = \frac{0.003 + f_y / E_s}{0.007} \rho_b</math>

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'''1. 79, 86'''

b = 300mm, d = 550mm, A<sub>s</sub> = 1600mm<sup>2</sup> 단철근 직사각형 보의 계수 강도 모멘트 M<sub>u</sub>를 구하시오.(ρ < 0.75ρ<sub>b</sub>, f<sub>ck</sub> = 21MPa, f<sub>y</sub> = 300MPa)
----
'''풀이'''

<math>\begin{align} a & = \frac{f_y \cdot A_s}{0.85f_{ck} \cdot b} \\
                & = \frac{300 \times 1600}{0.85 \times 21 \times 300} = 89.6mm \\ \end{align}</math>

음... 지배단면 결정하고 강도감소계수 Φ 결정해야됨...

<math>\begin{align} M_u = M_d & = \phi M_n = \phi A_s f_y \left( d - \frac{a}{2} \right) \\
                        & = 0.85 \times 1600 \times 300 \left(550 - \frac{89.6}{2} \right) \\
                        & = 206 kN \cdot m \end{align}</math>

----
'''2. 84, 93'''

보 자중 10kN/m, 활하중 15kN/m 등분포 하중을 받는 10m 경간 단순 지지보의 극한 설계 모멘트는? (감소율 미고려)
----
'''풀이'''

w<sub>u</sub> = 1.2 w<sub>d</sub> + 1.6 w<sub>l</sub> = 36kN/m

<math>M_u = \frac{w_u \cdot l^2}{8} = 450kN \cdot m</math>

=== 휨균열 제어 - 표피철근 배치 ===
12-3

표피철근(skin reinforcement). 보 또는 장선의 깊이 h가 900mm를 초과하면 종방향 표피 철근을 인장 연단으로부터 h/2 지점까지 부재 양 측면을 따라 균일하게 배치해야 한다.

[[파일:표피철근.png|프레임없음|500픽셀]]
{{-}}

보 및 1방향 슬래브의 휨철근 배치규정

콘크리트의 인장 연단에 가장 가까이 배치되는 철근의 중심간격 s는 다음 중 작은값 이하여야 한다.

20-1+2

<math>s = \begin{cases} 375\frac{\kappa_{cr}}{f_s} - 2.5 C_c \\ 300\frac{\kappa_{cr}}{f_s} \end{cases}</math>
* <math>\kappa_{cr} = \begin{cases} 280 \ \text{(건 조 환 경 )} \\ 210 \ \text{(그  외 )} \end{cases}</math>
* C<sub>c</sub> : 순피복두께(Clear Cover of Reinforcement). 인장철근이나 긴장재 표면과 콘크리트 표면 사이 최소두께
* f<sub>s</sub> : 철근응력(근삿값 : <math>f_s = \frac{2}{3}f_y</math>)

== 복철근 직사각형 보의 해석 ==
[[파일:복철근 직사각형 보.png|오른쪽|200픽셀]]

13-1, 15-2, 16-2, 16-4, 18-2 종합적 이해 필요

<math>0.85f_{ck} ab + {A_s}' f_y = A_s f_y</math>

<math>0.85f_{ck} ab = f_y (A_s - {A_s}')</math>


등가응력 직사각형의 깊이

<math>a = \frac{(A_s - {A_s}') f_y}{0.85 f_{ck} \cdot b}</math>

13-1, 14-2, 18-2

압축철근 효과
* 지속하중에 의한 처짐 감소
* 파괴 시 압축응력 깊이 감소. 연성 증대
* 철근 조립 쉽게 함.
* 단철근 보에 비해 압축철근이 들어간다고 <u>휨 내력이 크게 증가하진 않는다</u>.

압축철근 항복 변형률(가끔 출제. 단철근 보와 어떻게 다른지 구별할 것. 원리는 같음. 그림 그려서 이해하기)

<math>{\epsilon_s}' = \frac{c - d'}{c}\times 0.003 \geq \epsilon_y </math>
[[파일:복철근 직사각형보3.png|왼쪽|프레임없음|994x994픽셀]]
{{-}}
14-2, 16-1

공칭강도 : 복철근보는 단철근 직사각형보가 부담할 수 있는 휨모멘트와, 압축철근과 이에 해당하는 인장철근이 부담할 수 있는 휨모멘트로 구분하여 계산.

<math>\begin{align} M_n & = M_{n1} + M_{n2} \\ & = (A_s - {A_s}')f_y \left( d - \frac{a}{2} \right) + {A_s}'f_y (d - d') \\ \end{align}</math>

== 단철근 T형보의 단면 해석(단면이 주어진 경우) ==
* T형보 : 교량이나 건물에서 슬래브와 보를 일체로 친 경우, 슬래브가 양쪽 플랜지를 이루는 보. T형의 단일체가 되어 외력에 저항한다.
* 횡방향 철근 : 주철근이 보와 같은 방향일 때 하중이 직접적으로 플랜지에 작용하면 플랜지가 아래로 휘면서 파괴될 수 있다. 이 휨파괴를 막기 위해 설치.(19-3)

=== T형보 플랜지 유효폭 ===
♣♣♣99, 12-3, 13-2, 15-3

세 값 중 작은 값
* <math>16t_f + b_w</math>
* 양쪽 슬래브 중심간 거리
* 경간의 1/4

=== 반T형보 플랜지 유효폭 ===
♣♣♣84, 86, 18-2

세 값 중 작은 값
* <math>6t_f + b_w</math>
* 인접보와 내측거리<math>\times \frac{1}{2} + b_w</math>
* <math>\text{보  경 간 }\times \frac{1}{12} + b_w</math>

구한 유효폭 b<sub>e</sub>가 아래 계산에서 b로 쓰임.

=== T형보의 판정 ===
<ins>아 G로 비교하는 건 안 나오네...</ins> 그래도 알고 싶다면 [[T형보의 판정 보충]] 참고.[[File:T형보1.png|right|500px]]81, 84

<math>a = \frac{A_s f_y}{0.85f_{ck} b}</math>

* a > t<sub>f</sub> : T형보
* a ≤ t<sub>f</sub> : 폭이 b인 단철근 직사각형보

a를 가지고 T형보 판정을 한다.<ref>윤영수, <<철근콘크리트 역학 및 설계>>(3판), 씨아이알</ref><ref>이학민, <<토목설계>>(2017), 탑스팟</ref><ref>http://contents.kocw.net/KOCW/document/2014/Seowon/Leehongwoo/05.pdf</ref>

또는 플랜지 전체가 받는 압축력과 인장철근이 받는 인장력을 비교해서 판정해도 된다.

=== T형보 강도 계산 ===
♣♣♣ '''14-2, 14-3, 15-1, 15-2, 18-1, 18-2, 19-3'''

f<sub>ck</sub> = 21MPa, f<sub>y</sub> = 300MPa, b = 1000mm, t<sub>f</sub> = 60mm, b<sub>w</sub> = 300mm, d = 600mm, A<sub>s</sub> = 4000mm<sup>2</sup>일 때 설계휨강도 φM<sub>n</sub>을 구하시오.
----
1) T형보 판정

전체에 대해서 <u>응력블록의 깊이 a 계산</u>.

<math>0.85f_{ck} ab = A_s f_y</math>

a = 67.2mm

a > t<sub>f</sub>이므로 T형보로 해석한다.

2) 응력사각형 깊이 a 계산

플랜지 내민 부분 압축력에 대응하는 가상의 인장철근 단면적
[[파일:T형보3.png|오른쪽|프레임없음|513x513픽셀]]

C<sub>f</sub> = T<sub>f</sub>에서 <math>0.85f_{ck} \cdot t_f (b - b_w) = f_y A_{sf}</math>

<math>\begin{align} A_{sf} & = \frac{0.85f_{ck} t_f ( b - b_w)}{f_y} \\
                     & = \frac{0.85\times 21 \times 60 \times (1000 - 300)}{300} \\
                     & = 2499 mm^2 \end{align}</math>
[[파일:T형보2.png|왼쪽|프레임없음|550x550픽셀]]

{{-}}

C<sub>w</sub> = T<sub>w</sub>에서

<math>\begin{align} a & = \frac{f_y (A_s - A_{sf})}{0.85f_{ck} b_w} \\
                & = \frac{300 \times (4000 - 2499)}{0.85\times 21 \times 300 } \\
                & = 84.1 mm \end{align}</math>

Φ 계산(<u>그냥 0.85가 아님</u>!!!!!!!!!!!!!)

<math>\beta = 0.85</math>

<math>c = \frac a\beta = \frac{84.1}{0.85} = 98.94mm</math>

[[File:T형보 인장철근 변형률.jpg|left|400px]]

{{-}}

<math>\frac{\epsilon_t}{600-98.94} = \frac{0.003}{98.94}</math>

<math>\epsilon_t = 0.0152 > \epsilon_{t, \ tcl} = 0.005</math>

<math>\therefore \phi = 0.85</math>

3) 설계강도 M<sub>d</sub>

<math>\begin{align} M_d = \phi M_n & = \phi (M_{nf} + M_{nw}) \\
                             & = 0.85 \left\{ A_{sf} f_y \left( d - \frac{t_f}{2} \right) + (A_s - A_{sf})f_y \left( d - \frac{a}{2} \right)\right\} \\
                             & = 0.85 \left\{ 2499 \times 300 \left( 600 - \frac{60}{2} \right) + (4000 - 2499)\times 300 \times \left( 600 - \frac{84.1}{2} \right)\right\} \\
                             & = 576787802.3 N\cdot mm = 576.79 kN \cdot m \end{align}</math>

== 깊은 보의 설계 제한 ==
깊은 보(deep beam) 정의

* 순경간 ''l''<sub>n</sub>이 부재 깊이의 4배 이하인 보 (16-1)
* 하중이 받침부로부터 부재 깊이의 2배 거리 이내에 작용하는 보

제한사항(16-1)

* 깊은 보의 공칭 전단강도 <math>V_n \leq 5V_c = \frac{5}{6} \lambda \sqrt{f_{ck}} b_w \cdot d</math> 이어야 함.
* 휨인장철근과 직각인 수직전단철근 단면적<ref>KDS 14 20 22 :2018 콘크리트구조 전단 및 비틀림 설계기준 4.7.2 최소 철근량 산정 및 배치</ref> <math>A_v \geq 0.0025b_w s</math>
* 휨인장철근과 평행한 수평전단철근 단면적 <math>A_{vh} \geq 0.0015 b_w s_h</math>

== 각주 ==