토압론 문서 원본 보기

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== 정지토압계수 ==
암기

<math>K_0 = \frac{\mu}{1 - \mu}</math>
:μ : 포아송 비

=== 경험식 ===
사질토 및 정규압밀토에 대해 Jaky 공식(암기)
:<math> K_0 = 1 - \sin \phi ' </math>

과압밀점토에 대해서는<ref>이인모, <<토질역학의 원리>>, 448쪽</ref>(암기)
:<math>K_0 = (1 - \sin \phi ') {\color{red} \times OCR }^{\sin \phi '}</math>

== 토압이론의 종류 ==
* Rankine의 이론 : 작은 입자를 가지고 이론 전개. 벽면 마찰 무시.
* Coulomb의 이론 : 흙 덩어리(흙쐐기, Wedge)를 가지고 이론 전개. 벽면 마찰 등 여러 요소 고려. Rankine의 이론을 포함하는 이론임.

== Rankine의 이론 ==
=== Rankine의 주동토압 ===
[[File:Rankine 주동토압 응력원.png|오른쪽|600픽셀]]

오른쪽 그림으로부터 유도됨.

Rankine의 주동토압계수(coefficient of Rankine's active earth pressure)
:<math>K_a = \frac{1-sin\phi}{1+sin\phi} = \tan^2 \left( 45^\circ - \frac{\phi}{2} \right)</math>

주동토압♣♣♣
:<math>\begin{align} \sigma_a & = K_a \sigma_v - {\color{red} 2 }c \sqrt{K_a} \\
                              & = K_a \gamma z - {\color{red} 2 }c \sqrt{K_a} \\ \end{align}</math>

[[File:Rankine 주동토압.png|500픽셀|thumb|왼쪽|점토인 경우라 c≠0이라 이렇게 나오는 것이고, 모래인 경우는 c = 0이므로 삼각형으로 나옴.]]

{{-}}

토압분포도는 사실 <u>- 부호의 점착력 항에 의한 직사각형 분포</u>와, 흙 자체에 의한 삼각형 분포 토압(+)이 더해져서 생긴 것이다.

<u><big>점성토 뒤채움일 때 많이 틀리니 연습할 것!!!</big></u> 사질토에선 도형 나눠놓고 생각하는 게 좋았는데, 점성토에선 결국에 합쳐놓고 합력 구해야되는 것 같음...

만약 점성토 조건만 있는 벽체가 아니라 위에 <u>등분포하중까지 있는 점성토</u> 조건인 경우, <u>인장균열 깊이를 구할 때 등분포하중에 의한 영향도 포함</u>시켜서 계산해야 한다!!!!

{{-}}

==== 인장균열깊이 ====
= 점착고(cohesion height)

σ<sub>a</sub> = 0인 점

<math>z_c = \frac{2c}{\gamma \sqrt{K_a}}</math>

점성토 뒤채움부에 인장균열이 발생하면 인장균열이 발생한 깊이까지는 더이상 인장력이 존재하지 않으므로 무시하고 그 깊이 이하의 토압분포만 고려한다. 토압분포도에서 위의 삼각형 부분 없다고 하고 계산하면 됨.

<math>P_a = \frac{1}{2} (K_a \gamma H - 2c \sqrt{K_a}) \left( H - \frac{2c}{\gamma \sqrt{K_a}} \right)</math>

인장균열 발생 전의 전주동토압 작용점을 계산하려면 삼각형 분포의 주동토압에서 구한 전주동토압 및 작용점, 사각형 분포의 인장력에서 구한 합력 및 작용점, 둘을 합친 전주동토압을 가지고, 전주동토압 작용점을 미지수로 놓고 [[w:바리뇽의 정리]]를 이용하면 된다. 즉 아래처럼 계산하면 됨.<ref>{{서적인용|제목=기초공학|성=Das|이름=|날짜=|판=5|출판사=인터비젼|쪽=301|장=}}</ref>

<math>P_a \bar z = P_{a1} z_1 - P_{a2} z_2</math>

===== 예제 - 인장균열 발생 시 주동토압 계산 - 등분포 하중 있을 때 =====
[[파일:인장균열_발생_시_주동토압1.jpg|대체글=|오른쪽|프레임없음|382x382픽셀|인장균열 발생 시 주동토압]]
오른쪽 그림처럼 마찰이 없는 옹벽이 있다. 인장균열이 발생한 뒤의 주동토압, 합력 작용점을 계산하시오.<ref>Das, Sobhan, <<토질역학>>, 507쪽</ref>

* H = 4m
* q = 10kN/m<sup>2</sup>
* γ = 15kN/m<sup>3</sup>
* <math>\phi' = 26^\circ</math>
* c' = 8kN/m<sup>2</sup>

----
[[파일:인장균열_발생_시_주동토압2.jpg|대체글=|왼쪽|프레임없음|446x446픽셀|인장균열 발생 시 주동토압]]
<br />
{{-}}
인장균열깊이부터 구한다.

<math>\begin{align} \sigma_a & = K_a q + K_a \gamma {\color{red}z} - 2c \sqrt{K_a} \\
                       & = 0.39 \times 10 + 0.39 \times 15 \times {\color{red}z} - 2 \times 8 \sqrt{0.39} \\
                       & = 0\\ \end{align}</math>

z = 1.041m

인장균열깊이 이하의 토압분포만을 고려하여 토압 합력을 구한다. 그림에서 빗금 친 부분.

<math>\begin{align} P_a & = \frac{1}{2} (K_a q + K_a \gamma {\color{red}H} - 2c \sqrt{K_a})(H - z) \\
                  & = 25.607 kN/m \\ \end{align}</math>

합력의 작용점은 분포도 나눠서 모멘트 합 구하는 게 아님!! <u>합쳐진 토압분포도</u>에서 인장균열깊이 이하 토압의 무게중심 점! 즉,

<math>\frac{4 - 1.041}{3} = 0.986m</math>

==== 한계고 ====
2z<sub>c</sub>

이 깊이까지 굴착하면 흙이 자립할 수 있다.

==== 파괴면 각도 ====
[[File:Rankine 주동토압 파괴면 각도.png|300픽셀|오른쪽]]

* 뒤채움 흙의 폭이 <math>H \cot \left( 45^\circ + \frac{\phi}{2} \right)</math>만큼 존재해야 옹벽에 <math>\sigma_a = K_a \gamma z - 2c \sqrt{K_a}</math>의 주동토압이 생김.
* 수평면과 파괴면의 각도는 <math>\theta = 45^\circ {\color{red} + } \frac{\phi}{2}</math>
** 토압계수랑 다르게 부호 +다!!! <u>주동토압일 때 뒤채움 흙의 파괴면</u>을 생각해보면 알 수 있다.

{{-}}

=== Rankine의 수동토압 ===
[[File:Rankine 수동토압 응력원.png|오른쪽|600픽셀]]

Rankine의 수동토압계수(coefficient of Rankine's passive earth pressure)
:<math>K_p = \frac{1+sin\phi}{1-sin\phi} = \tan^2 \left( 45^\circ + \frac{\phi}{2} \right)</math>

수동토압
:<math>\begin{align} \sigma_p & = K_p \sigma_v + 2c \sqrt{K_p} \\
                              & = K_p \gamma z + 2c \sqrt{K_p} \\ \end{align}</math>

[[File:Rankine 수동토압.png|400px]]

==== 파괴면 각도 ====
* 수평면과 파괴면의 각도는 <math>\theta = 45^\circ - \frac{\phi}{2}</math>
** 역시 <u>뒤채움 흙의 파괴면</u>을 생각해보라!!

=== 토압계수 간 관계 ===
<math>K_a \cdot K_p = 1</math>

=== Rankine 응력경로 ===
[[File:Rankine 응력경로.png|오른쪽|500픽셀]]

K<sub>0</sub>선 기울기
:<math>\beta = \frac{q}{p} = \frac{1 - K_0}{1 + K_0}</math>

초기응력(정지토압 상태) : A점
:<math>p = \frac{(1+K_0) \sigma_v}{2}, \quad q = \frac{(1 - K_0)\sigma_v}{2}</math>

주동토압 : C점
:<math>p = \frac{\sigma_v + \sigma_a}{2} = \frac{(1 + K_a) \sigma_v}{2}, \quad q = \frac{\sigma_v + \sigma_a}{2} = \frac{(1 - K_a) \sigma_v}{2}</math>

1사분면 K<sub>f</sub> 선 기울기
:<math>\tan \alpha = \frac{1 - K_a}{1 + K_a}</math>

수동토압 : B점
:<math>p = \frac{\sigma_v + \sigma_p}{2} = \frac{(1 + K_p)\sigma_v}{2}, \quad q = \frac{\sigma_v - \sigma_p}{2} = \frac{(1 - K_p) \sigma_v}{2}</math>

4사분면 K<sub>f</sub> 선 기울기
:<math>- \tan \alpha = \frac{1 - K_p}{1 + K_p}</math>

=== 비포화 모래지반에서의 Rankine 토압 ===
[[File:비포화 모래지반 토압분포.png|오른쪽|500픽셀]]

지표가 수평이고, i=0, c=0인 경우 옹벽에 작용하는 토압은 다음과 같다.
:주동토압 <math>P_a=\frac{1}{2}\gamma HK_a\times H=\frac{1}{2}\gamma H^2K_a</math>
:수동토압 <math>P_p=\frac{1}{2}\gamma HK_p\times H=\frac{1}{2}\gamma H^2K_p</math>
:작용점 <math>y=\frac{H}{3}</math>

{{-}}

=== 등분포 상재하중이 있을 때 Rankine 토압 ===
[[File:등분포 상재하중이 있을 때 토압.png|오른쪽|500픽셀]]

지표가 수평이고, i=0, c=0이며 등분포 하중 q가 작용하는 경우 옹벽에 작용하는 토압은 다음과 같다.
:주동토압 <math>P_a=\frac{1}{2}\gamma HK_a\times H+qK_aH=\frac{1}{2}\gamma H^2K_a+qK_aH</math>
:수동토압 <math>P_p=\frac{1}{2}\gamma HK_p\times H + qK_pH=\frac{1}{2}\gamma H^2K_p+qK_pH</math>

{{-}}

=== 뒤채움이 여러 층인 경우 Rankine 토압 ===
[[File:뒤채움이 여러 층인 경우 토압분포.png|700px]]

=== 지하수위가 있을 때 Rankine 토압 ===
[[File:지하수위가 있을 때 Rankine 토압분포.png|700px]]

=== 지표면 경사가 있을 때 Rankine 토압 ===
암기. 부호가 - 인 곳을 유심히 보고 외울 것. 앞에 제곱 없는 거 계속 제곱 있다고 잘못 외우네.

<math> K_a = \cos\beta \frac{ {\color{red} \cos \beta } - \left(\cos ^2 \beta - \cos ^2 \phi \right)^{1/2}}{{\color{red} \cos \beta } + \left(\cos ^2 \beta - \cos ^2 \phi \right)^{1/2}}</math>

<math> K_p = \cos\beta \frac{ {\color{red} \cos \beta } + \left(\cos ^2 \beta - \cos ^2 \phi \right)^{1/2}}{ {\color{red} \cos \beta } - \left(\cos ^2 \beta - \cos ^2 \phi \right)^{1/2}}</math>

주동토압 합력은 경사와 평행하게 작용.

==== 예제 ====
[[File:뒤채움 흙이 경사진 경우1.jpg|뒤채움 흙이 경사진 경우|대체글=|오른쪽|프레임없음|419x419픽셀]]파괴면이 수평면과 이루는 각도를 구하시오.
----
[[파일:뒤채움 흙이 경사진 경우2.jpg|왼쪽|프레임없음]]
6m 깊이에서

<math>\begin{align} OA & = \sigma_v = \gamma z \cos \beta \\
                       & = 18 \times 6 \cos 20^\circ \\
                       & = 101kN/m^2 \\ \end{align}</math>

<math>\begin{align} OB' & = \sigma_a = K_a \gamma H \\
                  & = 0.25 \times 18 \times 6 \\
                  & = 27 kN/m^2 \end{align}</math>
{{-}}
[[파일:뒤채움 흙이 경사진 경우3.jpg|왼쪽|프레임없음|559x559픽셀]]삼각함수를 이용해 A, B'점의 좌표를 알아낸다.

A(94.909, 34.544)

B'(25.372, 9.235)

원의 방정식을 세우고, A, B' 두 점을 이용해 방정식의 미지수 두 개를 구한다.

<math>(\sigma - a)^2 + \tau^2 = r^2</math>

<math>(94.909 - a)^2 + 34.544^2 = r^2</math>

<math>(25.372 - a)^2 + 9.235^2 = r^2</math>

연립하면 a = 68.108, r = 43.722


그럼 OF의 길이, F의 좌표, B'F의 길이를 구할 수 있다.

OF 길이는 직각삼각형 OCF에서 삼각함수를 이용한다.

OF = 52.174


F의 좌표는 OF와 삼각함수를 이용하여 구한다.

F(39.967, 33.537)


B'F 길이는 두 점간의 거리 공식을 이용해 구한다.

B'F = 28.348
<br />
[[파일:뒤채움 흙이 경사진 경우4.jpg|왼쪽|프레임없음|400x400픽셀]]
사인법칙을 이용해 β 계산

<math>\frac{28.348}{\sin 20^\circ} = \frac{52.174}{\sin \beta}</math>

<math>\beta = 141^\circ</math>
{{-}}
[[파일:뒤채움 흙이 경사진 경우5.jpg|왼쪽|프레임없음|466x466픽셀]]
따라서 수평면과 파괴면이 이루는 각은 20 + 39 = 59도이다.

모어원의 아래쪽에도 파괴포락선과 모어원이 닿는 부분이 있다. 이 역시 같은 방법으로 구한다.
{{-}}
[[파일:뒤채움 흙이 경사진 경우6.jpg|왼쪽|프레임없음|472x472픽셀]]
수평면과 파괴면이 이루는 각은 71도이다.
{{-}}

== Coulomb의 이론 ==
토압계수 식 복잡한 거 있는데 외우지 말랬음. 문자의 의미만 알아두기

* α : 옹벽 각도
* β : 뒤채움 흙 경사각
* δ : 뒤채움 흙과 옹벽 사이 마찰각(벽면마찰각)
* Φ : 흙의 내부마찰각

<math>\alpha = \beta = \delta = 0</math>이라면(연직 옹벽, 수평 지표면, 벽면마찰 없다면) 쿨롱의 토압계수는 랭킨의 토압계수와 같아진다.

* 쿨롱 이론으로 얻은 수동토압은 실제보다 아주 크게 예측된다. 불안전측 설계가 되지 않게 유의.

== 지하수위와 토압 ==

=== 옹벽 전면, 뒤채움부에 지하수위가 있을 때 ===
[[파일:옹벽 전면에도 지하수위.jpg|왼쪽|프레임없음|400x400픽셀]]
이때는 유효단위중량에 의한 토압만이 작용.

<math>P_a = \frac{1}{2} K_a \gamma' H^2</math>

{{-}}

=== 옹벽 배면에 경사배수재 설치 시 ===
수압은 0.

<math>P_a = \frac{1}{2} K_a \gamma_{sat} H^2</math>

=== 옹벽 배면에 연직배수재 설치 시 ===
수압 영향 없다고 생각하면 안 됨.

== 기초공사 가시설용 흙막이공의 토압분포 ==
기초공사 가시설용 흙막이공(braced cut)에 작용하는 토압은 Peck의 토압분포를 따른다.
[[파일:Peck_토압.jpg|대체글=|왼쪽|프레임없음|495x495픽셀|Peck 토압]]

{{-}}

== 같이 보기 ==
* [[토목기사 요약/토질 및 기초/토압]]

== 각주 ==