토압론

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정지토압계수

암기

$K_0=\frac{\mu }{1-\mu }$

μ : 포아송 비

경험식

사질토 및 정규압밀토에 대해 Jaky 공식(암기)

$K_0=1-\sin {\varphi }^{\prime }$

과압밀점토에 대해서는(암기)

$K_0=(1-\sin {\varphi }^{\prime }){\times OCR}^{\sin {\varphi }^{\prime }}$

토압이론의 종류

• Rankine의 이론 : 작은 입자를 가지고 이론 전개. 벽면 마찰 무시.
• Coulomb의 이론 : 흙 덩어리(흙쐐기, Wedge)를 가지고 이론 전개. 벽면 마찰 등 여러 요소 고려. Rankine의 이론을 포함하는 이론임.

Rankine의 이론

Rankine의 주동토압

오른쪽 그림으로부터 유도됨.

Rankine의 주동토압계수(coefficient of Rankine's active earth pressure)

$K_a=\frac{1-sin\varphi }{1+sin\varphi }={\tan }^2(45^{\circ }-\frac{\varphi }{2})$

주동토압♣♣♣

$\begin{array}{cc}{\sigma }_a& =K_a{\sigma }_v-2c\sqrt{K_a}\\ & =K_a\gamma z-2c\sqrt{K_a}\\ \end{array}$

점토인 경우라 c≠0이라 이렇게 나오는 것이고, 모래인 경우는 c = 0이므로 삼각형으로 나옴.

토압분포도는 사실 - 부호의 점착력 항에 의한 직사각형 분포와, 흙 자체에 의한 삼각형 분포 토압(+)이 더해져서 생긴 것이다.

점성토 뒤채움일 때 많이 틀리니 연습할 것!!! 사질토에선 도형 나눠놓고 생각하는 게 좋았는데, 점성토에선 결국에 합쳐놓고 합력 구해야되는 것 같음...

만약 점성토 조건만 있는 벽체가 아니라 위에 등분포하중까지 있는 점성토 조건인 경우, 인장균열 깊이를 구할 때 등분포하중에 의한 영향도 포함시켜서 계산해야 한다!!!!

인장균열깊이

= 점착고(cohesion height)

σ_a = 0인 점

$z_c=\frac{2c}{\gamma \sqrt{K_a}}$

점성토 뒤채움부에 인장균열이 발생하면 인장균열이 발생한 깊이까지는 더이상 인장력이 존재하지 않으므로 무시하고 그 깊이 이하의 토압분포만 고려한다. 토압분포도에서 위의 삼각형 부분 없다고 하고 계산하면 됨.

$P_a=\frac{1}{2}(K_a\gamma H-2c\sqrt{K_a})(H-\frac{2c}{\gamma \sqrt{K_a}})$

인장균열 발생 전의 전주동토압 작용점을 계산하려면 삼각형 분포의 주동토압에서 구한 전주동토압 및 작용점, 사각형 분포의 인장력에서 구한 합력 및 작용점, 둘을 합친 전주동토압을 가지고, 전주동토압 작용점을 미지수로 놓고 w:바리뇽의 정리를 이용하면 된다. 즉 아래처럼 계산하면 됨.

$P_a\overline{z}=P_{a1}{z}_1-P_{a2}{z}_2$

예제 - 인장균열 발생 시 주동토압 계산 - 등분포 하중 있을 때

인장균열 발생 시 주동토압

오른쪽 그림처럼 마찰이 없는 옹벽이 있다. 인장균열이 발생한 뒤의 주동토압, 합력 작용점을 계산하시오.

• H = 4m
• q = 10kN/m²
• γ = 15kN/m³
• ${\varphi }^{\prime }=26^{\circ }$
• c' = 8kN/m²

---

인장균열 발생 시 주동토압

틀:- 인장균열깊이부터 구한다.

$\begin{array}{cc}{\sigma }_a& =K_{a}q+K_a\gamma z-2c\sqrt{K_a}\\ & =0.39\times 10+0.39\times 15\times z-2\times 8\sqrt{0.39}\\ & =0\\ \end{array}$

z = 1.041m

인장균열깊이 이하의 토압분포만을 고려하여 토압 합력을 구한다. 그림에서 빗금 친 부분.

$\begin{array}{cc}{P}_a& =\frac{1}{2}(K_{a}q+K_a\gamma H-2c\sqrt{K_a})(H-z)\\ & =25.607kN/m\\ \end{array}$

합력의 작용점은 분포도 나눠서 모멘트 합 구하는 게 아님!! 합쳐진 토압분포도에서 인장균열깊이 이하 토압의 무게중심 점! 즉,

$\frac{4-1.041}{3}=0.986m$

한계고

2z_c

이 깊이까지 굴착하면 흙이 자립할 수 있다.

파괴면 각도

• 뒤채움 흙의 폭이 $H\cot (45^{\circ }+\frac{\varphi }{2})$만큼 존재해야 옹벽에 ${\sigma }_a=K_a\gamma z-2c\sqrt{K_a}$의 주동토압이 생김.
• 수평면과 파괴면의 각도는 $\theta =45^{\circ }+\frac{\varphi }{2}$
  • 토압계수랑 다르게 부호 +다!!! 주동토압일 때 뒤채움 흙의 파괴면을 생각해보면 알 수 있다.

Rankine의 수동토압

Rankine의 수동토압계수(coefficient of Rankine's passive earth pressure)

$K_p=\frac{1+sin\varphi }{1-sin\varphi }={\tan }^2(45^{\circ }+\frac{\varphi }{2})$

수동토압

$\begin{array}{cc}{\sigma }_p& =K_p{\sigma }_v+2c\sqrt{K_p}\\ & =K_p\gamma z+2c\sqrt{K_p}\\ \end{array}$

파괴면 각도

• 수평면과 파괴면의 각도는 $\theta =45^{\circ }-\frac{\varphi }{2}$
  • 역시 뒤채움 흙의 파괴면을 생각해보라!!

토압계수 간 관계

$K_a\cdot K_p=1$

Rankine 응력경로

K₀선 기울기

$\beta =\frac{q}{p}=\frac{1-K_0}{1+K_0}$

초기응력(정지토압 상태) : A점

$p=\frac{(1+K_0){\sigma }_v}{2},q=\frac{(1-K_0){\sigma }_v}{2}$

주동토압 : C점

$p=\frac{{\sigma }_v+{\sigma }_a}{2}=\frac{(1+K_a){\sigma }_v}{2},q=\frac{{\sigma }_v+{\sigma }_a}{2}=\frac{(1-K_a){\sigma }_v}{2}$

1사분면 K_f 선 기울기

$\tan \alpha =\frac{1-K_a}{1+K_a}$

수동토압 : B점

$p=\frac{{\sigma }_v+{\sigma }_p}{2}=\frac{(1+K_p){\sigma }_v}{2},q=\frac{{\sigma }_v-{\sigma }_p}{2}=\frac{(1-K_p){\sigma }_v}{2}$

4사분면 K_f 선 기울기

$-\tan \alpha =\frac{1-K_p}{1+K_p}$

비포화 모래지반에서의 Rankine 토압

지표가 수평이고, i=0, c=0인 경우 옹벽에 작용하는 토압은 다음과 같다.

주동토압 $P_a=\frac{1}{2}\gamma H{K}_a\times H=\frac{1}{2}\gamma H^2{K}_a$

수동토압 $P_p=\frac{1}{2}\gamma H{K}_p\times H=\frac{1}{2}\gamma H^2{K}_p$

작용점 $y=\frac{H}{3}$

등분포 상재하중이 있을 때 Rankine 토압

지표가 수평이고, i=0, c=0이며 등분포 하중 q가 작용하는 경우 옹벽에 작용하는 토압은 다음과 같다.

주동토압 $P_a=\frac{1}{2}\gamma H{K}_a\times H+q{K}_{a}H=\frac{1}{2}\gamma H^2{K}_a+q{K}_{a}H$

수동토압 $P_p=\frac{1}{2}\gamma H{K}_p\times H+q{K}_{p}H=\frac{1}{2}\gamma H^2{K}_p+q{K}_{p}H$

뒤채움이 여러 층인 경우 Rankine 토압

지하수위가 있을 때 Rankine 토압

지표면 경사가 있을 때 Rankine 토압

암기. 부호가 - 인 곳을 유심히 보고 외울 것. 앞에 제곱 없는 거 계속 제곱 있다고 잘못 외우네.

$K_a=\cos \beta \frac{\cos \beta -{({\cos }^2\beta -{\cos }^2\varphi )}^{1/2}}{\cos \beta +{({\cos }^2\beta -{\cos }^2\varphi )}^{1/2}}$

$K_p=\cos \beta \frac{\cos \beta +{({\cos }^2\beta -{\cos }^2\varphi )}^{1/2}}{\cos \beta -{({\cos }^2\beta -{\cos }^2\varphi )}^{1/2}}$

주동토압 합력은 경사와 평행하게 작용.

예제

뒤채움 흙이 경사진 경우

파괴면이 수평면과 이루는 각도를 구하시오.

---

6m 깊이에서

$\begin{array}{cc}OA& ={\sigma }_v=\gamma z\cos \beta \\ & =18\times 6\cos 20^{\circ }\\ & =101kN/m^2\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}O{B}^{\prime }& ={\sigma }_a=K_a\gamma H\\ & =0.25\times 18\times 6\\ & =27kN/m^2\end{array}$ 틀:-

삼각함수를 이용해 A, B'점의 좌표를 알아낸다.

A(94.909, 34.544)

B'(25.372, 9.235)

원의 방정식을 세우고, A, B' 두 점을 이용해 방정식의 미지수 두 개를 구한다.

$(\sigma -a{)}^2+{\tau }^2=r^2$

$(94.909-a{)}^2+34.544^2=r^2$

$(25.372-a{)}^2+9.235^2=r^2$

연립하면 a = 68.108, r = 43.722

그럼 OF의 길이, F의 좌표, B'F의 길이를 구할 수 있다.

OF 길이는 직각삼각형 OCF에서 삼각함수를 이용한다.

OF = 52.174

F의 좌표는 OF와 삼각함수를 이용하여 구한다.

F(39.967, 33.537)

B'F 길이는 두 점간의 거리 공식을 이용해 구한다.

B'F = 28.348

사인법칙을 이용해 β 계산

$\frac{28.348}{\sin 20^{\circ }}=\frac{52.174}{\sin \beta }$

$\beta =141^{\circ }$ 틀:-

따라서 수평면과 파괴면이 이루는 각은 20 + 39 = 59도이다.

모어원의 아래쪽에도 파괴포락선과 모어원이 닿는 부분이 있다. 이 역시 같은 방법으로 구한다. 틀:-

수평면과 파괴면이 이루는 각은 71도이다. 틀:-

Coulomb의 이론

토압계수 식 복잡한 거 있는데 외우지 말랬음. 문자의 의미만 알아두기

• α : 옹벽 각도
• β : 뒤채움 흙 경사각
• δ : 뒤채움 흙과 옹벽 사이 마찰각(벽면마찰각)
• Φ : 흙의 내부마찰각

$\alpha =\beta =\delta =0$이라면(연직 옹벽, 수평 지표면, 벽면마찰 없다면) 쿨롱의 토압계수는 랭킨의 토압계수와 같아진다.

• 쿨롱 이론으로 얻은 수동토압은 실제보다 아주 크게 예측된다. 불안전측 설계가 되지 않게 유의.

지하수위와 토압

옹벽 전면, 뒤채움부에 지하수위가 있을 때

이때는 유효단위중량에 의한 토압만이 작용.

$P_a=\frac{1}{2}{K}_a{\gamma }^{\prime }{H}^2$

옹벽 배면에 경사배수재 설치 시

수압은 0.

$P_a=\frac{1}{2}{K}_a{\gamma }_{sat}{H}^2$

옹벽 배면에 연직배수재 설치 시

수압 영향 없다고 생각하면 안 됨.

기초공사 가시설용 흙막이공의 토압분포

기초공사 가시설용 흙막이공(braced cut)에 작용하는 토압은 Peck의 토압분포를 따른다.

Peck 토압

같이 보기

• 토목기사 요약/토질 및 기초/토압