포털:고등학교/수학/수학 Ⅰ(2007 개정)/행렬과 그 연산 문서 원본 보기

== 행렬의 뜻 ==
두 다항식 <math>A=2x^2-5x-3,\ B=y-1</math>은 다음과 같이 계수만을 직사각형 모양으로 나타낼 수 있습니다.
:<math>\begin{matrix} 2 & -5 & -3 \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix}</math>
이때 계수를 가로로 배열한 줄은 위에서부터 차례로 다항식 <math>A, B</math>를 나타내고, 계수를 세로로 배열한 줄에 있는 수는 왼쪽에서부터 차례로 해당되는 다항식의 이차항, 일차항, 상수항의 계수입니다.

또 <math>\mbox{A}, \mbox{B}</math> 두 과일 가게에서 판매되는 사과 10 kg의 가격이 각각 22000원, 24000원이고, 배 10 kg의 가격이 각각 25000원, 27500원일 때, 이것을 다음과 같이 과일 가격을 직사각형 모양으로 배열하고 괄호로 묶어 나타낼 수 있습니다.
:<math>\begin{pmatrix} 22000 & 24000 \\ 25000 & 27500 \end{pmatrix}</math>

이와 같이 수 또는 문자를 직사각형 모양으로 배열하여 괄호로 묶은 것을 '''행렬'''이라고 하며, 행렬을 이루는 각각의 수 또는 문자를 그 행렬의 '''성분'''이라고 합니다.<ref>행렬(行列)을 영어로 matrix, 성분(成分)을 영어로 entry라고 합니다.</ref><ref>여기서는 행렬의 성분이 실수인 경우만 다루기로 합니다.</ref>

행렬에서 성분을 가로로 배열한 줄을 '''행'''이라고 하며, 위에서부터 차례로 제1행, 제2행, 제3행, ⋯이라고 합니다. 또 성분을 세로로 배열한 줄을 '''열'''이라고 하며, 왼쪽에서부터 차례로 제1열, 제2열, 제3열, ⋯이라고 합니다.<ref>행(行)을 영어로 row, 열(列)을 영어로 column이라고 합니다.</ref>

한편 <math>m</math>개의 행과 <math>n</math>개의 열로 이루어진 행렬을 '''<math>m \times n</math> 행렬'''이라고 합니다.<ref><math>m \times n</math> 행렬은 '<math>m</math> by <math>n</math> 행렬'이라고 읽습니다.</ref> 특히 행의  개수와 열의 개수가 서로 같은 행렬을 '''정사각행렬'''이라고 하며, <math>n \times n</math> 행렬을 <math>n</math>차 정사각행렬이라고 합니다.<ref>정사각행렬(正四角行列)을 영어로 square matrix라고 합니다.</ref>

행렬은 알파벳 대문자 <math>A, B, C, \cdots</math>로 나타내고, 행렬의 성분은 알파벳 소문자 <math>a, b, c, \cdots</math>로 나타냅니다. 또 행렬 <math>A</math>에서 제<math>i</math>행과 제<math>j</math>열이 만나는 위치에 있는 성분을 행렬 <math>A</math>의 <math>(i, j)</math> 성분이라고 하며, 이것을 기호로
:<math>a_{ij}</math>
와 같이 나타냅니다. 예를 들어 <math>2 \times 3</math> 행렬 <math>A</math>를 기호 <math>a_{ij}</math>를 사용하여 나타내면 다음과 같습니다.
:<math>A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}</math>


두 행렬 <math>A, B</math>의 행의 개수와 열의 개수가 각각 같을 때, <math>A</math>와 <math>B</math>는 같은 꼴이라고 합니다. 같은 꼴인 두 행렬 <math>A, B</math>의 대응하는 성분이 각각 같을 때, <math>A</math>와 <math>B</math>는 서로 같다고 하며, 이것을 기호로
:<math>A=B</math>
와 같이 나타냅니다.<ref>두 행렬 <math>A, B</math>가 서로 같지 않을 때, 이것을 기호로 <math>A \ne B</math>와 같이 나타냅니다.</ref> 예를 들어 <math>2 \times 2</math> 행렬이 서로 같을 조건은 다음과 같습니다.<ref>두 행렬 <math>A=\begin{pmatrix} a_{ij} \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} b_{ij} \end{pmatrix}</math>가 같을 꼴일 때,
: <math>A=B \Leftrightarrow a_{ij}=b_{ij}</math></ref>


<table style="background-color:#F2F5FD; font-size:100%; margin:0; border: 1px solid #C7D0F8; padding:7px 7px 5px 7px; border-radius:10px;" width="100%;"><tr><td><div style="margin: 0; padding: -25px 0 0 0; float: left; font-size: 100%; text-align: left;">
<big>'''두 행렬이 서로 같을 조건'''</big>

<math>A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}</math>일 때,
:<math>A=B \Leftrightarrow \begin{cases} a_{11}=b_{11}, & a_{12}=b_{12} \\ a_{21}=b_{21}, & a_{22}=b_{22} \end{cases}</math>
</td></tr></table>
== 행렬의 덧셈, 뺄셈의 뜻과 그 연산 ==
같은 꼴인 두 행렬 <math>A, B</math>에 대하여 <math>A</math>와 <math>B</math>의 대응하는 성분의 합을 성분으로 하는 행렬을 <math>A</math>와 <math>B</math>의 합이라고 하며, 이것을 기호로
:<math>A+B</math>
와 같이 나타냅니다.<ref>같은 꼴이 아닌 두 행렬의 덧셈은 정의되지 않습니다.</ref> 예를 들어 <math>2 \times 2</math> 행렬의 덧셈은 다음과 같습니다.<ref>두 행렬 <math>A=\begin{pmatrix} a_{ij} \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} b_{ij} \end{pmatrix}</math>가 같을 꼴일 때,
:<math>A+B=\begin{pmatrix} a_{ij}+b_{ij} \end{pmatrix}</math></ref>


<table style="background-color:#F2F5FD; font-size:100%; margin:0; border: 1px solid #C7D0F8; padding:7px 7px 5px 7px; border-radius:10px;" width="100%;"><tr><td><div style="margin: 0; padding: -25px 0 0 0; float: left; font-size: 100%; text-align: left;">
<big>'''행렬의 덧셈'''</big>

<math>A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}</math>일 때,
:<math>A+B=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{pmatrix}</math>
</td></tr></table>


실수의 덧셈에서 교환법칙과 결합법칙이 성립하는 것과 마찬가지로, 행렬의 덧셈에서도 다음과 같은 성질이 성립합니다.


<table style="background-color:#F2F5FD; font-size:100%; margin:0; border: 1px solid #C7D0F8; padding:7px 7px 5px 7px; border-radius:10px;" width="100%;"><tr><td><div style="margin: 0; padding: -25px 0 0 0; float: left; font-size: 100%; text-align: left;">
<big>'''행렬의 덧셈에 대한 성질 ⑴'''</big>

같은 꼴인 세 행렬 <math>A, B, C</math>에 대하여
{|
| ① <math>A+B=B+A</math> || <div style="text-align:left; width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">&nbsp;(교환법칙)</div>
|-
| ② <math>(A+B)+C=A+(B+C)</math> || <div style "tex-align:left; width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">&nbsp;(결합법칙)<ref>행렬의 덧셈에서 결합법칙이 성립하므로 <math>(A+B)+C</math>와 <math>A+(B+C)</math>를 괄호를 사용하지 않고
:<math>A+B+C</math>
와 같이 나타내기도 합니다.</ref><div>
|}
</td></tr></table>


모든 성분이 <math>0</math>인 행렬을 '''영행렬'''이라고 합니다.<ref>영행렬(零行列)을 영어로 zero matrix라고 합니다.</ref> 예를 들어
:<math>\begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
은 모두 영행렬입니다. 영행렬은 각 꼴에 대하여 하나씩 있으나, 혼동의 염려가 없을 때에는 보통 기호 <math>O</math>로 나타냅니다. 행렬 <math>A</math>와 영행렬 <math>O</math>가 같은 꼴일 때,
:<math>A+O=O+A=A</math>
가 성립함을 알 수 있습니다. 즉 영행렬은 같은 꼴의 행렬의 집합에서 덧셈에 대한 항등원입니다. 또 행렬 <math>A</math>의 모든 성분의 부호를 바꾼 행렬을 <math>-A</math>와 같이 나타냅니다. 예를 들어
:<math>A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}</math>일 때,&nbsp;<math>-A=\begin{pmatrix} -a_{11} & -a_{12} \\ -a_{21} & -a_{22} \end{pmatrix}</math>
입니다. 이때 행렬의 덧셈의 정의에 의하여 행렬 <math>A</math>와 영행렬 <math>O</math>가 같은 꼴일 때,
:<math>A+(-A)=(-A)+A=O</math>
가 성립함을 알 수 있습니다. 따라서 행렬 <math>-A</math>는 같은 꼴의 행렬의 집합에서 행렬 <math>A</math>의 덧셈에 대한 역원입니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.


<table style="background-color:#F2F5FD; font-size:100%; margin:0; border: 1px solid #C7D0F8; padding:7px 7px 5px 7px; border-radius:10px;" width="100%;"><tr><td><div style="margin: 0; padding: -25px 0 0 0; float: left; font-size: 100%; text-align: left;">
<big>'''행렬의 덧셈에 대한 성질 ⑵'''</big>

같은 꼴인 행렬 <math>A</math>와 영행렬 <math>O</math>에 대하여
{|
| ③ <math>A+O=O+A=A</math> || <div style="text-align:left; width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">&nbsp;(<math>O</math>는 덧셈에 대한 항등원)</div>
|-
| ④ <math>A+(-A)=(-A)+A=O</math> || <div style="text-align:left; width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">&nbsp;(<math>-A</math>는 <math>A</math>의 덧셈에 대한 역원)</div>
|}
</td></tr></table>


같은 꼴의 두 행렬 <math>A, B</math>에 대하여 <math>A</math>에 <math>B</math>의 덧셈에 대한 역원 <math>-B</math>를 더한 <math>A+(-B)</math>를 기호로
:<math>A-B</math>
와 같이 나타내고, 이것을 행렬 <math>A</math>에서 행렬 <math>B</math>를 뺀 차라고 합니다.<ref>같은 꼴이 아닌 두 행렬의 뺄셈은 정의되지 않습니다.</ref><ref>두 실수 <math>a, b</math>에 대하여
:<math>a-b=a+(-b)</math></ref> 이때 <math>A-B</math>는 행렬 <math>A</math>의 각 성분에서 그에 대응하는 행렬 <math>B</math>의 성분을 뺀 차를 성분으로 하는 행렬임을 알 수 있습니다. 예를 들어 <math>2 \times 2</math> 행렬의 뺄셈은 다음과 같습니다.<ref>두 행렬 <math>A=\begin{pmatrix} a_{ij} \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} b_{ij} \end{pmatrix}</math>가 같을 꼴일 때,
:<math>A-B=\begin{pmatrix} a_{ij}-b_{ij} \end{pmatrix}</math></ref>


<table style="background-color:#F2F5FD; font-size:100%; margin:0; border: 1px solid #C7D0F8; padding:7px 7px 5px 7px; border-radius:10px;" width="100%;"><tr><td><div style="margin: 0; padding: -25px 0 0 0; float: left; font-size: 100%; text-align: left;">
<big>'''행렬의 뺄셈'''</big>

<math>A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}</math>일 때,
:<math>A-B=\begin{pmatrix} a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} \\ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} \end{pmatrix}</math>
</td></tr></table>


한편 같은 꼴의 세 행렬 <math>A, B, X</math>에 대하여
:<math>X+A=B</math>
가 성립할 때, 이 등식의 양변에 행렬 <math>A</math>의 덧셈의 역원 <math>-A</math>를 더하여 간단히 하면 다음 결과를 얻습니다.<ref><math>a, b, x</math>가 실수일 때,
:<math>x+a=b \Leftrightarrow x=b-a</math></ref>
:<math>\begin{align}
 X+A=B & \Leftrightarrow X+A+(-A)=B+(-A)\\
 & \Leftrightarrow X+O=B-A\\
 & \Leftrightarrow X=B-A
\end{align}</math>
따라서 행렬의 덧셈과 뺄셈으로 이루어진 등식은 다항식의 덧셈과 뺄셈으로 이루어진 등식과 같이 이항을 이용하여 계산할 수 있습니다.

== 행렬의 실수배의 뜻과 그 연산 ==
임의의 실수 <math>k</math>에 대하여 행렬 <math>A</math>의 각 성분을 <math>k</math>배한 것을 성분으로 하는 행렬을 행렬 <math>A</math>의 <math>k</math>배라고 하며, 이것을 기호로 <math>kA</math>와 같이 나타냅니다. 예를 들어 <math>2 \times 2</math> 행렬의 실수배는 다음과 같습니다.<ref><math>A=\begin{pmatrix} a_{ij} \end{pmatrix}</math>이고 <math>k</math>가 실수일 때,
:<math>kA=\begin{pmatrix} ka_{ij} \end{pmatrix}</math></ref>


<table style="background-color:#F2F5FD; font-size:100%; margin:0; border: 1px solid #C7D0F8; padding:7px 7px 5px 7px; border-radius:10px;" width="100%;"><tr><td><div style="margin: 0; padding: -25px 0 0 0; float: left; font-size: 100%; text-align: left;">
<big>'''행렬의 실수배'''</big>

<math>A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}</math>와 실수 <math>k</math>에 대하여&nbsp;<math>kA=\begin{pmatrix} ka_{11} & ka_{12} \\ ka_{21} & ka_{22} \end{pmatrix}</math>
</td></tr></table>


행렬 <math>A</math>와 영행렬 <math>O</math>가 같은 꼴이고 <math>k</math>가 실수일 때, 행렬의 실수배의 정의에 의하여 다음이 성립함을 알 수 있습니다.<ref>실수 <math>a</math>에 대하여
:<math>1a=a,\ (-1)a=-a,\ 0 \cdot a = 0</math></ref>
:<math>1A=A,\ (-1)A=A,\ 0A=O,\ kO=O</math>


행렬의 실수배에 대하여 다음과 같은 성질이 성립합니다.


<table style="background-color:#F2F5FD; font-size:100%; margin:0; border: 1px solid #C7D0F8; padding:7px 7px 5px 7px; border-radius:10px;" width="100%;"><tr><td><div style="margin: 0; padding: -25px 0 0 0; float: left; font-size: 100%; text-align: left;">
<big>'''행렬의 실수배에 대한 성질'''</big>

같은 꼴의 두 행렬 <math>A, B</math>와 두 실수 <math>k, l</math>에 대하여
{|
| ① <math>(kl)A=k(lA)</math>
|-
| ② <math>(k+l)A=kA+lA,\ k(A+B)=kA+kB</math>
|}
</td></tr></table>


== 행렬의 곱셈의 뜻과 그 연산 ==
두 행렬 <math>A, B</math>에 대하여 행렬 <math>A</math>의 열의 개수와 행렬 <math>B</math>의 행의 개수가 같을 때, 행렬 <math>A</math>의 제<math>i</math>행의 성분과 행렬 <math>B</math>의 제<math>j</math>열의 성분을 각각 차례로 곱하여 더한 값을 <math>(i, j)</math> 성분으로 하는 행렬을 두 행렬 <math>A, B</math>의 곱이라고 하며, 이것을 기호로
:<math>AB</math>
와 같이 나타냅니다.<ref>두 행렬 <math>A, B</math>의 곱 <math>AB</math>는 행렬 <math>A</math>의 열의 개수와 행렬 <math>B</math>의 행의 개수가 같을 때에만 정의됩니다.</ref> 이때 행렬 <math>A</math>가 <math>m \times l</math> 행렬이고 행렬 <math>B</math>가 <math>l \times n</math> 행렬이면 행렬 <math>AB</math>는 <math>m \times n</math> 행렬입니다. 예를 들어 <math>2 \times 2</math> 행렬의 덧셈은 다음과 같습니다.<ref>두 행렬 <math>A=\begin{pmatrix} a_{ik} \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} b_{kj} \end{pmatrix},\ AB=\begin{pmatrix} c_{ij} \end{pmatrix}</math>이고 <math>k=1, 2, \cdots, l</math>일 때,
:<math>c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{il}b_{lj}</math></ref>


<table style="background-color:#F2F5FD; font-size:100%; margin:0; border: 1px solid #C7D0F8; padding:7px 7px 5px 7px; border-radius:10px;" width="100%;"><tr><td><div style="margin: 0; padding: -25px 0 0 0; float: left; font-size: 100%; text-align: left;">
<big>'''행렬의 곱셈'''</big>

<math>A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}</math>일 때,
:<math>AB=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}</math>
</td></tr></table>


한편 수의 거듭제곱과 마찬가지로 정사각행렬 <math>A</math>에 대하여
:<math>A^2=AA,\ A^3=A^2A,\ A^4=A^3A,\ \cdots,\ A^{n+1}=A^nA</math>
와 같이 행렬의 거듭제곱을 정의합니다.<ref><math>A^1=A</math>입니다.</ref><ref>행렬의 곱셈의 정의에 의하여 <math>A</math>가 정사각행렬일 때에만 행렬의 거듭제곱 <math>A^n</math>이 정의됨을 알 수 있습니다.</ref><ref>임의의 자연수 <math>n</math>에 대하여
:<math>\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix} 1 & na \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ na & 1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix} a^n & 0 \\ 0 & b^n \end{pmatrix}</math></ref>

두 실수 <math>a, b</math>에 대하여 교환법칙 <math>ab=ba</math>가 성립함을 알고 있습니다. 그러나 두 행렬 <math>A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 1 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}</math>에 대하여
:<math>AB=\begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix},\ BA=\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}</math>
이므로 :<math>AB \ne BA</math>입니다. 즉 행렬의 곱셈에서는 실수의 곱셈에서와는 달리 교환법칙이 성립하지 않습니다.

행렬의 곱셈에 대하여 다음과 같은 성질이 성립합니다.


<table style="background-color:#F2F5FD; font-size:100%; margin:0; border: 1px solid #C7D0F8; padding:7px 7px 5px 7px; border-radius:10px;" width="100%;"><tr><td><div style="margin: 0; padding: -25px 0 0 0; float: left; font-size: 100%; text-align: left;">
<big>'''행렬의 곱셈에 대한 성질'''</big>

합과 곱이 정의되는 세 행렬 <math>A, B, C</math>와 실수 <math>k</math>에 대하여
{|
| ① <math>(AB)C=A(BC)</math> || <div style="text-align:left; width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">&nbsp;(결합법칙)<ref>행렬의 곱셈에서 결합법칙이 성립하므로 <math>(AB)C</math>와 <math>A(BC)</math>를 괄호를 사용하지 않고
:<math>ABC</math>
와 같이 나타내기도 합니다.</ref></div>
|-
| ② <math>A(B+C)=AB+AC</math> || <div style="text-align:left; width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">&nbsp;(분배법칙)</div>
|-
| ③ <math>k(AB)=(kA)B=A(kB)</math>
|}
</td></tr></table>


두 행렬 <math>A, B</math>에 대하여
:<math>(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2</math>
입니다.<ref>두 행렬 <math>A, B</math>에 대하여
:<math>\begin{align} (A+B)^2 & =(A+B)(A+B)\\
 & =A(A+B)+B(A+B)\\
 & =A^2+AB+BA+B^2
\end{align}</math></ref> 그런데 행렬의 곱셈에서는 교환법칙이 성립하지 않으므로 어떤 두 행렬 <math>A, B</math>에 대하여
:<math>(A+B)^2 \ne A^2+2AB+B^2</math>
입니다.

정사각행렬 <math>A</math>와 같은 꼴의 영행렬 <math>O</math>에 대하여
:<math>AO=OA=A</math>
가 성립합니다.<ref>실수 <math>a</math>에 대하여
:<math>a \cdot 0=0 \cdot a=0</math></ref> 그러나 같은 꼴의 정사각행렬 <math>A, B</math>에 대하여
:<math>A \ne O,\ B \ne O</math>이지만 <math>AB=O</math>
인 경우가 있습니다.<ref>두 실수 <math>a, b</math>에 대하여
:<math>a \ne 0,\ b \ne 0 \Leftrightarrow ab \ne 0</math></ref> 예를 들어 <math>A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -6 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} 9 & -3 \\ -6 & 2 \end{pmatrix}</math>일 때, <math>A \ne O,\ B \ne O</math>이지만 <math>AB=O</math>입니다.
== 단위행렬의 뜻 ==
실수의 집합에서 곱셈에 대한 항등원은 <math>1</math>입니다. 행렬의 집합에서 이와 같은 역할을 하는 행렬에 대하여 알아보겠습니다.

정사각행렬 중에서
:<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
과 같이 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려가는 대각선 위의 성분은 모두 <math>1</math>이고, 그 외의 성분은 모두 <math>0</math>인 정사각행렬을 '''단위행렬'''이라고 하며, 보통 기호 <math>E</math>로 나타냅니다.<ref>단위행렬(單位行列)을 영어로 unit matrix라고 하며, 기호 <math>I</math>로 나타내기도 합니다.</ref><ref><math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>은 각각 이차, 삼차 단위행렬입니다.</ref><ref>행렬 <math>E=\begin{pmatrix} e_{ij} \end{pmatrix}</math>가 단위행렬일 때,
:<math>e_{ij}= \begin{cases} 1 & (i=j) \\ 0 & (i \ne j) \end{cases}</math></ref>

두 행렬 <math>A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math>와 <math>E=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>에 대하여
:<math>AE=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=A,</math>

:<math>EA=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=A</math>
이므로 <math>AE=EA=A</math>가 성립함을 알 수 있습니다.

<math>E</math>가 <math>n</math>차 단위행렬일 때, 임의의 <math>n</math>차 정사각행렬 <math>A</math>에 대하여
:<math>AE=EA=A</math>
가 성립합니다. 따라서 <math>n</math>차 단위행렬 <math>E</math>는 <math>n</math>차 정사각행렬의 집합에서 곱셈에 대한 항등원입니다.<ref>임의의 자연수 <math>n</math>에 대하여
:<math>E^n=E</math></ref><ref>행렬 <math>A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math>에 대하여 다음 등식이 성립합니다.
:<math>A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O</math>
위의 등식을 케일리-해밀턴 정리라고 합니다. 케일리-해밀턴 정리는 정사각행렬 <math>A</math>에 대하여 <math>A^n=pA+qE</math> (<math>n</math>은 자연수, <math>p, q</math>는 실수)의 꼴로 나타내는 데에 편리합니다.</ref>

== 역행렬의 뜻 ==
실수의 연산에서 <math>0</math>이 아닌 임의의 실수 <math>a</math>에 대하여
:<math>ax=xa=1</math>
을 만족시키는 실수 <math>x=\frac{1}{a}</math>을 <math>a</math>의 곱셈에 대한 역원임을 알고 있습니다.

한편 두 행렬 <math>A=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}</math>에 대하여
:<math>AB=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=E,</math>

:<math>BA=\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=E</math>
이므로 <math>AB</math>와 <math>BA</math>를 계산한 결과가 모두 단위행렬 <math>E</math>임을 알 수 있습니다.

이와 같이 같은 꼴의 정사각행렬 <math>A</math>와 단위행렬 <math>E</math>에 대하여
:<math>AX=XA=E</math>
를 만족시키는 행렬 <math>X</math>가 존재할 때, <math>X</math>를 <math>A</math>의 '''역행렬'''이라고 하며, 이것을 기호로
:<math>A^{-1}</math>
와 같이 나타냅니다.<ref>역행렬(逆行列)을 영어로 inverse matrix라고 합니다. 또 <math>A^{-1}</math>는 '<math>A</math>의 역행렬' 또는 '<math>A^{-1}</math> inverse'라고 읽습니다.</ref><ref>여기서는 역행렬을 <math>2 \times 2</math> 행렬인 경우만 다루기로 합니다.</ref> 이때 역행렬의 정의에 의하여 다음이 성립합니다.<ref>단위행렬 <math>E</math>에 대하여 <math>EE=E</math>이므로
:<math>E^{-1}=E</math></ref>
:<math>AA^{-1}=A^{-1}A=E</math>
== 이차 정사각행렬의 역행렬 ==
이차 정사각행렬 <math>A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math>의 역행렬이 존재하기 위한 필요충분조건과 그 역행렬을 구하는 방법을 알아보겠습니다.

행렬 <math>A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math>의 역행렬 <math>X=\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}</math>를 가진다고 가정하면 <math>AX=E</math>이므로
:<math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ax+bz & ay+bw \\ cx+dz & cy+dw \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
입니다. 따라서 두 행렬이 서로 같을 조건으로부터 다음 두 연립방정식을 얻습니다.
:<math>\begin{cases} ax+bz=1\ & \cdots\cdots \left( 1 \right) \\ cx+dz=0 & \cdots\cdots \left( 2 \right) \end{cases},\ \begin{cases} ay+bw=0\ & \cdots\cdots \left( 3 \right) \\ cy+dw=1 & \cdots\cdots \left( 4 \right) \end{cases}</math>
<math>\left( 1 \right), \left( 2 \right)</math>에서
:<math>(ad-bc)x=d\ \cdots\cdots \left( 5 \right),\ (ad-bc)z=-c\ \cdots\cdots \left( 6 \right)</math>
<math>\left( 3 \right), \left( 4 \right)</math>에서
:<math>(ad-bc)y=-b\ \cdots\cdots \left( 7 \right),\ (ad-bc)w=a\ \cdots\cdots \left( 8 \right)</math>
그런데 <math>ad-bc=0</math>이면 <math>\left( 5 \right), \left( 6 \right), \left( 7 \right), \left( 8 \right)</math>에서 <math>a=b=c=d=0</math>이므로 <math>A=O</math>가 되어 <math>AX=E</math>일 수 없습니다. 따라서 <math>ad-bc \ne 0</math>입니다. 이때 <math>\left( 5 \right), \left( 6 \right), \left( 7 \right), \left( 8 \right)</math>에서
:<math>x=\frac{d}{ad-bc},\ y=\frac{-b}{ad-bc},\ z=\frac{-c}{ad-bc},\ w=\frac{a}{ad-bc}</math>
입니다. 따라서 행렬 <math>A</math>의 역행렬 <math>X</math>는 다음과 같습니다.
:<math>X=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}</math>
역으로 <math>ad-bc \ne 0</math>이면 행렬 <math>X=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}</math>에 대하여 <math>AX=XA=E</math>이므로, 행렬 <math>X</math>는 행렬 <math>A</math>의 역행렬입니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.


<table style="background-color:#F2F5FD; font-size:100%; margin:0; border: 1px solid #C7D0F8; padding:7px 7px 5px 7px; border-radius:10px;" width="100%;"><tr><td><div style="margin: 0; padding: -25px 0 0 0; float: left; font-size: 100%; text-align: left;">
<big>'''이차 정사각행렬의 역행렬'''</big>

행렬 <math>A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math>에 대하여

① <math>ad-bc \ne 0</math>일 때, <math>A</math>의 역행렬이 존재하고
:<math>A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}</math>
② <math>ad-bc=0</math>일 때, <math>A</math>의 역행렬이 존재하지 않습니다.
</td></tr></table>


정사각행렬 <math>A</math>의 역행렬 <math>A^{-1}</math>가 존재할 때,
:<math>AA^{-1}=A^{-1}A=E</math>
이므로 <math>A^{-1}</math>의 역행렬이 <math>A</math>임을 알 수 있습니다. 즉
:<math>(A^{-1})^{-1}=A</math>
입니다.
또 두 정사각행렬 <math>A, B</math>의 역행렬 <math>A^{-1}, B^{-1}</math>가 존재할 때,
:<math>(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AEA^{-1}=AA^{-1}=E</math>

:<math>(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(AA^{-1})B=AEA^{-1}=B^{-1}B=E</math>
이므로 <math>AB</math>의 역행렬이 <math>B^{-1}A^{-1}</math>임을 알 수 있습니다. 즉
:<math>(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}</math>
입니다.<ref><math>(AB)^{-1} \ne A^{-1}B^{-1}</math>임에 유의하시기 바랍니다.</ref><ref>세 정사각행렬 <math>A, B, C</math>의 역행렬 <math>A^{-1}, B^{-1}, C^{-1}</math>가 모두 존재할 때,
:<math>(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}</math></ref>

이상을 정리하면 다음과 같습니다.<ref>역행렬이 존재하는 정사각행렬 <math>A</math>와 임의의 자연수 <math>n</math>에 대하여
:<math>\begin{align}
 (A^n)^{-1} & =(\underbrace{ AA \cdots A }_{n})^{-1}\\
 & =\underbrace{ A^{-1}A^{-1} \cdots A^{-1} }_{n}\\
 & =(A^{-1})^n
\end{align}</math></ref><ref>역행렬이 존재하는 정사각행렬 <math>A</math>와 <math>0</math>이 아닌 임의의 실수 <math>k</math>에 대하여
:<math>(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}</math></ref><ref>역행렬이 존재하는 두 정사각행렬  <math>A, B</math>와 임의의 자연수 <math>n</math>에 대하여
:<math>(A^{-1}BA)^n=A^{-1}B^nA</math></ref>


<table style="background-color:#F2F5FD; font-size:100%; margin:0; border: 1px solid #C7D0F8; padding:7px 7px 5px 7px; border-radius:10px;" width="100%;"><tr><td><div style="margin: 0; padding: -25px 0 0 0; float: left; font-size: 100%; text-align: left;">
<big>'''역행렬의 성질'''</big>

두 정사각행렬 <math>A, B</math>의 역행렬 <math>A^{-1}, B^{-1}</math>가 존재할 때,

① <math>(A^{-1})^{-1}=A</math>

② <math>(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}</math>
</td></tr></table>

== 참고 ==
<references/>