포털:고등학교/수학/수학 Ⅰ(2009 개정)/다항식의 연산 문서 원본 보기

반갑습니다.

다항식의 연산 부분은 앞으로 수학에 있어서 매우 기초적인 부분이므로 반드시 짚고 가야 합니다.

이 부분에서는 다항식의 사칙 연산에 대해 다룰 것입니다.

== 다항식의 덧셈과 뺄셈 ==
=== 다항식에서 사용되는 용어 ===

먼저 다항식에서 사용되는 용어들에 대해서 알아보도록 합시다.

* 단항식 : 숫자와 문자, 문자와 문자의 곱으로만 이루어진 식을 말합니다. (예 : <math> 2x, x^2 </math> 등)
* 다항식 : 단항식 또는 단항식의 합으로 이루어진 식을 말합니다. 여기에는 단항식도 포함됩니다. (예 : <math> x^2-4x+5 </math> 등)
* 항 : 다항식에 포함된 각각의 단항식들을 말합니다. (예 : <math> x^2-4x+5 </math>에서 <math> x^2, -4x, 5 </math>가 해당)
* 계수 : 항에서 특정한 문자를 제외한 나머지 부분을 말합니다. (예 : <math> -4x </math>에서 <math> -4 </math>가 해당)
* 항의 차수 : 하나의 항에서 문자가 곱해진 개수를 말합니다. (예 : <math> x^3 </math>의 차수는 3)
* 다항식의 차수 : 다항식에 속한 여러 항들 중 가장 차수가 높은 항의 차수를 말합니다. (예 : <math> x^2-4x+5 </math>의 차수는 2)
* 상수항 : 특정한 문자를 포함하지 않는 항을 말합니다. (예 : <math> x^2-4x+5 </math>에서 5)
* 동류항 : 문자와 차수가 같은 항을 말합니다. (예 : <math> 2x^2y </math>와 <math> 7x^2y </math>, <math> 4a^3b^2 </math>과 <math> a^3b^2 </math> 등)

=== 다항식의 정리 ===

다항식과 관련해서 계산을 하다 보면, 종종 여러 차수의 항들이 섞여 식을 이해하기 힘든 경우가 종종 생깁니다.

이러한 사태에 대비해서 다항식은 아래의 두 가지 방법으로 정리할 수 있습니다.

* 내림차순 : 다항식을 한 문자에 대해 차수가 높은 항부터 낮아지는 차례로 정리하는 방식을 말합니다. (예 : <math> x^2-3xy+5y^2-2x+4y-2 </math>를 x에 대해 내림차순으로 정리하면 <math> x^2-(3x+2)x+(5y^2+4y-2) </math>가 됨)
* 오름차순 : 다항식을 한 문자에 대해 차수가 낮은 항부터 높아지는 차례로 정리하는 방식을 말합니다. (예 : <math> x^2-3xy+5y^2-2x+4y-2 </math>를 y에 대해 오름차순으로 정리하면 <math> (x^2-2x-2)-(3x-4)y+5y^2 </math>가 됨)

=== 다항식의 덧셈과 뺄셈 ===

다항식의 덧셈과 뺄셈은, 먼저 식에 괄호가 있을 경우에는 괄호를 분배법칙으로 풀어준 다음, 각 항을 동류항끼리 더하거나 빼주면 됩니다.

* 예 : <math> (3x^2-x+2)+(x^2+x-3)=3x^2-x+2+x^2+x-3=4x^2-1 </math>

또한 다항식의 덧셈에는 교환법칙과 결합법칙이 성립합니다.

* 교환법칙 : <math> A+B=B+A </math>
* 결합법칙 : <math> (A+B)+C=A+(B+C) </math>

그럼 이어서 다항식의 사칙연산 중 곱셈에 대해 알아보도록 합시다.

== 다항식의 곱셈과 나눗셈 ==
=== 지수법칙 ===

단항식과 단항식 간의 곱셈은 지수법칙을 통해 간단히 할 수 있습니다.

아래의 법칙들에는 <math> a, b </math>는 실수이고 <math> m. n </math>은 자연수라는 조건이 붙습니다.

# <math> a^m \times a^n=a^{m+n} </math>
# <math> \left( a^m \right)^n=a^{mn} </math>
# <math> \left( ab \right)^n=a^nb^n </math>
# <math> \left( \frac{a}{b} \right)^n=\frac{a^n}{b^n} </math> <math> \left( b \ne 0 \right) </math>
# <math> a^m \div a^n= \frac{a^m}{a^n}= \begin{cases} a^{m-n} & \left( m>n \right) \\ 1 & \left( m=n \right) \\ \frac{1}{a^{n-m}} & \left( m<n \right) \end{cases} </math>

=== 다항식의 곱셈 ===

다항식의 곱을 계산할때는 먼저 분배법칙과 지수법칙을 통해 식을 전개한 후 동류항끼리 모아서 식을 간단히 합니다.

예 : <math> \left( a+b+c \right) \left( x+y+z \right) = ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz </math>

또한 다항식의 곱셈에서도 역시 교환법칙과 결합법칙이 성립하며, 분배법칙도 성립합니다.

* 교환법칙 : <math> AB=BA </math>
* 결합법칙 : <math> \left( AB \right) C=A \left( BC \right) </math>
* 분배법칙 : <math> A \left( B+C \right) =AB+AC </math>

=== 곱셈 공식 ===

위와 같이 다항식의 곱셈을 하다 보니, 수학자들은 여러 경우를 일반화시켜 곱셈 공식을 만들어냈습니다.

이 곱셈 공식은 뒤에서도 요긴하게 쓰일 것이니 반드시 알고 가야 합니다.

# <math> \left( a+b \right) ^2=a^2+2ab+b^2 </math> <br /> <math> \left( a-b \right) ^2=a^2-2ab+b^2 </math>
# <math> \left( a+b \right) \left( a-b \right) =a^2-b^2 </math>
# <math> \left( x+a \right) \left( x+b \right) =x^2+ \left( a+b \right) x+ab </math>
# <math> \left( ax+b \right) \left( cx+d \right) =acx^2+ \left( ad+bc \right) x+bd </math>
# <math> \left( x+a \right) \left( x+b \right) \left( x+c \right) =x^3+ \left( a+b+c \right) x^2+ \left( ab+bc+ca \right) +abc </math> <br /> <math> \left( x-a \right) \left( x-b \right) \left( x-c \right) =x^3- \left( a+b+c \right) x^2+ \left( ab+bc+ca \right) -abc </math>
# <math> \left( a+b+c \right) ^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca </math>
# <math> \left( a+b \right) ^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 </math> <br /> <math> \left( a-b \right) ^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 </math>
# <math> \left( a+b \right) \left( a^2-ab+b^2 \right) =a^3+b^3 </math> <br /> <math> \left( a-b \right) \left( a^2+ab+b^2 \right) =a^3-b^3 </math>
# <math> \left( a+b+c \right) \left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \right) =a^3+b^3+c^3-3abc </math>
# <math> \left( a^2+ab+b^2 \right) \left( a^2-ab+b^2 \right) =a^4+a^2b^2+b^4 </math>

=== 곱셈 공식의 변형 ===

위의 곱셈 공식을 알아내고, 이 공식들을 조금씩 변형해서 필요한 식을 구해내는 공식이 생겼습니다. 이 공식들도 한번 알아보도록 하겠습니다.

# <math> a^2+b^2= \left( a+b \right) ^2-2ab= \left( a-b \right) ^2+2ab </math>
# <math> \left( a-b \right) ^2= \left( a+b \right) ^2 -4ab </math>
# <math> a^3+b^3= \left( a+b \right) ^3-3ab \left( a+b \right) </math> <br /> <math> a^3-b^3= \left( a-b \right) ^3+3ab \left( a-b \right) </math>
# <math> x^2+ \frac{1}{x^2} = \left( x+ \frac{1}{x} \right) ^2-2 </math>
# <math> x^3+ \frac{1}{x^3} = \left( x+ \frac{1}{x} \right) ^3-3 \left( x+ \frac{1}{x} \right) </math>
# <math> \left( x- \frac{1}{x} \right) ^2= \left( x+ \frac{1}{x} \right) ^2-4 </math>
# <math> a^2+b^2+c^2= \left( a+b+c \right) ^2 -2 \left( ab+bc+ca \right) </math>
# <math> a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca= \frac{1}{2} \left\{ \left( a-b \right) ^2+ \left( b-c \right) ^2+ \left( c-a \right) ^2 \right\} </math> <br /> <math> a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca= \frac{1}{2} \left\{ \left( a+b \right) ^2+ \left( b+c \right) ^2+ \left( c+a \right) ^2 \right\} </math>
# <math> a^3+b^3+c^3= \left( a+b+c \right) \left( a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \right) +3abc </math>

=== 다항식의 나눗셈 ===

다항식과 단항식의 나눗셈의 경우에는 다항식의 각 항을 주어진 단항식으로 나눠주면 됩니다.

예 : <math> \left( 6x^3-3x^2+9x \right) \div 3x= \frac{6x^3-3x^2+9x}{3x} = \frac{6x^3}{3x} - \frac{3x^2}{3x} + \frac{9x}{3x} =2x^2-x+3 </math>

다항식과 다항식의 나눗셈은 두 다항식을 내림차순으로 정리한 후 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 작을 때까지 자연수의 나눗셈과 같은 방법으로 직접 나누어주면 됩니다.

이 때, 다항식 <math> A </math>를 다항식 <math> B</math>로 나눈 몫이 <math> Q</math>이고, 나머지가 <math> R </math>일 때, <math> A=BQ+R </math>(단, <math> B </math>의 차수가 <math> R </math>의 차수보다 큽니다.)의 형식으로 나타낼 수 있습니다.

다음에는 항등식과 나머지정리에 대해 알아보도록 합시다.