포털:고등학교/수학/수학 Ⅰ(2009 개정)/다항식의 연산

반갑습니다.

다항식의 연산 부분은 앞으로 수학에 있어서 매우 기초적인 부분이므로 반드시 짚고 가야 합니다.

이 부분에서는 다항식의 사칙 연산에 대해 다룰 것입니다.

다항식의 덧셈과 뺄셈

다항식에서 사용되는 용어

먼저 다항식에서 사용되는 용어들에 대해서 알아보도록 합시다.

• 단항식 : 숫자와 문자, 문자와 문자의 곱으로만 이루어진 식을 말합니다. (예 : $2x,x^2$ 등)
• 다항식 : 단항식 또는 단항식의 합으로 이루어진 식을 말합니다. 여기에는 단항식도 포함됩니다. (예 : $x^2-4x+5$ 등)
• 항 : 다항식에 포함된 각각의 단항식들을 말합니다. (예 : $x^2-4x+5$에서 $x^2,-4x,5$가 해당)
• 계수 : 항에서 특정한 문자를 제외한 나머지 부분을 말합니다. (예 : $-4x$에서 $-4$가 해당)
• 항의 차수 : 하나의 항에서 문자가 곱해진 개수를 말합니다. (예 : $x^3$의 차수는 3)
• 다항식의 차수 : 다항식에 속한 여러 항들 중 가장 차수가 높은 항의 차수를 말합니다. (예 : $x^2-4x+5$의 차수는 2)
• 상수항 : 특정한 문자를 포함하지 않는 항을 말합니다. (예 : $x^2-4x+5$에서 5)
• 동류항 : 문자와 차수가 같은 항을 말합니다. (예 : $2x^{2}y$와 $7x^{2}y$, $4a^3{b}^2$과 $a^3{b}^2$ 등)

다항식의 정리

다항식과 관련해서 계산을 하다 보면, 종종 여러 차수의 항들이 섞여 식을 이해하기 힘든 경우가 종종 생깁니다.

이러한 사태에 대비해서 다항식은 아래의 두 가지 방법으로 정리할 수 있습니다.

• 내림차순 : 다항식을 한 문자에 대해 차수가 높은 항부터 낮아지는 차례로 정리하는 방식을 말합니다. (예 : $x^2-3xy+5y^2-2x+4y-2$를 x에 대해 내림차순으로 정리하면 $x^2-(3x+2)x+(5y^2+4y-2)$가 됨)
• 오름차순 : 다항식을 한 문자에 대해 차수가 낮은 항부터 높아지는 차례로 정리하는 방식을 말합니다. (예 : $x^2-3xy+5y^2-2x+4y-2$를 y에 대해 오름차순으로 정리하면 $(x^2-2x-2)-(3x-4)y+5y^2$가 됨)

다항식의 덧셈과 뺄셈

다항식의 덧셈과 뺄셈은, 먼저 식에 괄호가 있을 경우에는 괄호를 분배법칙으로 풀어준 다음, 각 항을 동류항끼리 더하거나 빼주면 됩니다.

• 예 : $(3x^2-x+2)+(x^2+x-3)=3x^2-x+2+x^2+x-3=4x^2-1$

또한 다항식의 덧셈에는 교환법칙과 결합법칙이 성립합니다.

• 교환법칙 : $A+B=B+A$
• 결합법칙 : $(A+B)+C=A+(B+C)$

그럼 이어서 다항식의 사칙연산 중 곱셈에 대해 알아보도록 합시다.

다항식의 곱셈과 나눗셈

지수법칙

단항식과 단항식 간의 곱셈은 지수법칙을 통해 간단히 할 수 있습니다.

아래의 법칙들에는 $a,b$는 실수이고 $m.n$은 자연수라는 조건이 붙습니다.

1. $a^m\times a^n=a^{m+n}$
2. ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$
3. ${\left(ab\right)}^n=a^n{b}^n$
4. ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$ $(b\ne 0)$
5. $a^m÷a^n=\frac{a^m}{a^n}=\{\begin{array}{cc}{a}^{m-n}& (m>n)\\ 1& (m=n)\\ \frac{1}{a^{n-m}}& (m<n)\end{array}$

다항식의 곱셈

다항식의 곱을 계산할때는 먼저 분배법칙과 지수법칙을 통해 식을 전개한 후 동류항끼리 모아서 식을 간단히 합니다.

예 : $(a+b+c)(x+y+z)=ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz$

또한 다항식의 곱셈에서도 역시 교환법칙과 결합법칙이 성립하며, 분배법칙도 성립합니다.

• 교환법칙 : $AB=BA$
• 결합법칙 : $\left(AB\right)C=A\left(BC\right)$
• 분배법칙 : $A(B+C)=AB+AC$

곱셈 공식

위와 같이 다항식의 곱셈을 하다 보니, 수학자들은 여러 경우를 일반화시켜 곱셈 공식을 만들어냈습니다.

이 곱셈 공식은 뒤에서도 요긴하게 쓰일 것이니 반드시 알고 가야 합니다.

1. ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$
   ${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$
2. $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
3. $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
4. $(ax+b)(cx+d)=ac{x}^2+(ad+bc)x+bd$
5. $(x+a)(x+b)(x+c)=x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)+abc$
   $(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)-abc$
6. ${(a+b+c)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
7. ${(a+b)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
   ${(a-b)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$
8. $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
   $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$
9. $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc$
10. $(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)=a^4+a^2{b}^2+b^4$

곱셈 공식의 변형

위의 곱셈 공식을 알아내고, 이 공식들을 조금씩 변형해서 필요한 식을 구해내는 공식이 생겼습니다. 이 공식들도 한번 알아보도록 하겠습니다.

1. $a^2+b^2={(a+b)}^2-2ab={(a-b)}^2+2ab$
2. ${(a-b)}^2={(a+b)}^2-4ab$
3. $a^3+b^3={(a+b)}^3-3ab(a+b)$
   $a^3-b^3={(a-b)}^3+3ab(a-b)$
4. $x^2+\frac{1}{x^2}={(x+\frac{1}{x})}^2-2$
5. $x^3+\frac{1}{x^3}={(x+\frac{1}{x})}^3-3(x+\frac{1}{x})$
6. ${(x-\frac{1}{x})}^2={(x+\frac{1}{x})}^2-4$
7. $a^2+b^2+c^2={(a+b+c)}^2-2(ab+bc+ca)$
8. $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\{{(a-b)}^2+{(b-c)}^2+{(c-a)}^2\}$
   $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=\frac{1}{2}\{{(a+b)}^2+{(b+c)}^2+{(c+a)}^2\}$
9. $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc$

다항식의 나눗셈

다항식과 단항식의 나눗셈의 경우에는 다항식의 각 항을 주어진 단항식으로 나눠주면 됩니다.

예 : $(6x^3-3x^2+9x)÷3x=\frac{6x^3-3x^2+9x}{3x}=\frac{6x^3}{3x}-\frac{3x^2}{3x}+\frac{9x}{3x}=2x^2-x+3$

다항식과 다항식의 나눗셈은 두 다항식을 내림차순으로 정리한 후 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 작을 때까지 자연수의 나눗셈과 같은 방법으로 직접 나누어주면 됩니다.

이 때, 다항식 $A$를 다항식 $B$로 나눈 몫이 $Q$이고, 나머지가 $R$일 때, $A=BQ+R$(단, $B$의 차수가 $R$의 차수보다 큽니다.)의 형식으로 나타낼 수 있습니다.

다음에는 항등식과 나머지정리에 대해 알아보도록 합시다.