토목기사 요약/토질 및 기초/흙 속에서의 물의 흐름

지하수 흐름의 기본

♣♣♣13-2 등. 출제년도 적는 게 의미 없을 정도로 아주아주 중요

• 전수두 = 위치수두 + 압력수두 + 속도수두
• 흙 속의 물의 흐름은 속도가 거의 없다고 보기 때문에 속도수두 = 0
• 따라서 전수두 = 위치수두 + 압력수두
• 수두를 구할 땐 기준면 설정이 중요
• 물 층만을 통과할 땐 (전)수두손실이 없다고 본다.
• 하방향 흐름 : 정수압보다 수압 감소, 유효응력 증가
• 상방향 흐름 : 정수압보다 수압 증가, 유효응력 감소
• 상방향 흐름이든, 하방향 흐름이든, 흙을 통과하면 수두손실이 생긴다. 상향 흐름은 흙 위쪽이 전수두가 더 작고, 하향 흐름은 흙 아래쪽이 전수두가 더 작다.
• 한계동수경사 i_c : 유효응력이 0이 될 때의 동수경사. 분사현상, 보일링 현상 발생 시작. 파이핑으로 이어짐.

압력수두

피에조미터를 꽂았을 때 수압에 해당하는만큼 물기둥이 상승한다. 이 높이를 압력수두라 함.

$h_p=\frac{u}{{\gamma }_w}$

위치수두

수두를 구할 때 기준면을 설정한다. 기준면으로부터 수두를 구하는 지점까지의 높이를 위치수두라 한다.

다르시의 법칙

♣♣♣14-2, 19-3 / 수리학 13-1, 13-2, 14-2, 15-2, 16-4

단면적 A인 단위 시간에 통과하는 유량이 Q이고, 그 동수 구배(hydraulic gradient)가 i일 때 동수 구배(i)와 유속(v)의 관계.

$V=\frac{Q}{A}=Ki=K\frac{h}{L}$

• 적용 조건 : Re < 1 - 10인 경우에 타당. (특히 Re < 4인 층류에 적용) (수리학 16년 두번 출제)

실제 유속

♣♣♣

$V_s=\frac{1}{n}V$

평균유속 V보다 크다.(n < 1이므로 항상 V_s > V)

투수 계수

속도의 차원이며 물의 흐름에 대한 흙의 저항 정도를 의미.

• 투수 계수는 수두차에 반비례(00)

투수계수에 영향을 주는 인자

♣♣♣15-1, 16-1, 18-1, 18-3, 19-3 / 18-2, 19-3 수리수문학 / 실기 00-5, 02-2

매질과 통과 유체에 따라 투수계수가 결정

• 매질 : 유효입경 D₁₀, 공극비 e, 비표면적 S 등
• 유체 : 단위중량 γ, 점성계수 η 등.

다음은 투수계수를 결정하는 몇 가지 식 중 하나.

Taylor의 식(1948)

13-2, 19-3

C가 형상계수라고 할 때,

$k={D_{10}}^2\frac{\gamma }{\eta }\frac{e^3}{1+e}C$

• 투수계수는 점성과 반비례
  • 점성은 온도에 반비례
  • 따라서 투수계수는 온도에 비례
• 불포화토는 간극 속에 공기가 존재, 물의 흐름을 방해하여 포화토에 비해 투수계수가 낮게 됨.
• 점토는 면모구조가 이산구조(분산구조)보다 투수계수가 큼.

측정

실내시험으로는 투수계수를 정수위 투수시험과 변수위 투수시험으로 결정할 수 있다. 현장시험으로는 양수시험, 피압 지하수 우물(artesian well) 양수법, 시추공을 이용하는 방법(개단시험, 패커시험)이 있다.

실내시험

♣♣♣

투수계수 측정법	투수계수 범위(cm/s)	적용 시료
정수위 투수시험	k > 10-2 ~ 10-3	투수성이 큰 조립토
변수위 투수시험	k = 10-1 ~ 10-6	투수성이 작은 세립토
압밀 시험	k ≤ 10-7	투수성 낮은 불투수성 점토

정수위 투수시험

정수위 투수시험

투수성이 비교적 큰 조립토에 적당하다. 흙 시료에 유입되는 수조와 유출되어 나오는 수조의 수위를 일정하게 하여 물을 시료에 통과시킴으로써 다르시의 법칙에 의해 투수계수를 구할 수 있다.

13-1

$Q=kiAt$

$k=\frac{Q}{iAt}=\frac{QL}{hAt}$

Q : 침투수량

A : 시료 단면적

t : 투수 시간

L : 시료 길이

변수위 투수시험

변수위 투수시험. 시간이 t₁일 때 수위가 h₁이다가 t₂가 되면 h₂로 변한다.

투수성이 비교적 작은 세립토에 적당하다. 정수위 시험과는 다르게 유입수가 스탠드파이프를 통해 흙 시료를 빠져나간다. 따라서 수위가 변한다. 파이프 단면적을 a, 시료 단면적을 A라 할 때 투수계수는 다음과 같다. 이거 다르시의 법칙 식 적분해서 나온 식임.

$Q=-av=-a\frac{dh}{dt}$

다르시의 법칙에 의해

$Q=kiA=kA\frac{h}{L}$이므로

$-a\frac{dh}{h}=\frac{kA}{L}dt$

적분하면

$-a\underset{h_1}{\overset{h_2}{\int }}\frac{dh}{h}=\frac{kA}{L}\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt$

$-a\ln \frac{h_2}{h_1}=\frac{kA}{L}(t_2-t_1)$

15-1

$\begin{array}{cc}k& =\frac{aL}{A(t_2-t_1)}\ln \frac{h_1}{h_2}\\ & =\frac{2.303aL}{A(t_2-t_1)}\log \frac{h_1}{h_2}\\ \end{array}$

성층토층 평균투수계수

♣♣♣ 14-3 등등

토층이 다양한 경우 투수계수는 각 토층의 불교란 시료를 채취하여 각각의 투수계수를 측정한 후 전체 토층의 평균투수계수를 구하는 방법을 쓴다.

수평토층 평균투수계수

15-3

각 토층의 단위폭당 유량($q_1,q_2,\cdots q_n$)을 전부 합하면 전체 토층의 평균투수계수를 이용한 단위폭당 유량(q)과 같다는 원리를 이용한다.

$q_1+q_2+\cdots +q_n=q$

$k_{1}i{H}_1+k_{2}i{H}_2+\cdots k_{n}i{H}_n=k_{h}iH$

$\begin{array}{cc}\therefore k_h& =\frac{1}{H}(k_1{H}_1+k_2{H}_2+\cdots k_n{H}_n)\\ & =\frac{1}{H}\sum _{i=1}^n{k}_i{H}_i\\ \end{array}$

$k_{h}H=\sum _{i=1}^n{k}_i{H}_i$

수직토층 평균투수계수

14-1, 18-2, 18-3

각 토층을 지나면서 생기는 수두손실을 $h_1,h_2,\cdots ,h_n$이라고 하자. 모든 토층을 지났을 때 수두손실 $h=h_1+h_2+\cdots +h_n$이며, 이것을 각 토층의 동수경사와 토층 두께로 나타낸다면 다음과 같이 된다.

$h=i_1{H}_1+i_2{H}_2+\cdots +i_n{H}_n$

토층을 지나는 유량이 모두 동일하기 때문에 $q_1=q_2=\cdots =q_n=q$이며, 연속방정식에 의하면 유속도 모두 동일하다($v_1=v_2=\cdots =v_n=v$) 이를 각 토층의 투수계수와 동수경사로 나타낸다.

$k_1{i}_1=k_2{i}_2=\cdots =k_n{i}_n=k_{v}i$

전체 토층에서 유속으로부터

$v=k_{v}i=k_v\frac{h}{H}$

$\begin{array}{cc}{k}_v=\frac{H}{h}v& =\frac{H}{\frac{1}{v}(i_1{H}_1+i_2{H}_2+\cdots +i_n{H}_n)}\\ & =\frac{H}{\frac{H_1}{k_1}+\frac{H_2}{k_2}+\cdots +\frac{H_n}{k_n}}\\ \end{array}$

$\therefore k_v=\frac{H}{\sum _{i=1}^n\frac{H_i}{k_i}}$

유도 번거로우니 결과식만 외우자.

$\frac{H}{k_v}=\sum _{i=1}^n\frac{H_i}{k_i}$

등가투수계수

16-4

자연계 토질은 대부분 비등방성이다. 연직방향 투수계수가 수평방향 투수계수보다 작다($k_v<k_h$)

$k^{\prime }=\sqrt{k_h\cdot k_v}$은 등가투수계수이다.

물의 2차원 흐름

♣♣♣

파란 선은 등수두선, 등수두선과 교차하는 선은 유선

유선망(flow net)은 토질역학에서 유선과 등수두선으로 이루어진 망을 말한다. 흙 속의 물의 흐름을 나타낸다. 인접한 2개의 유선으로 이루어진 공간을 유로(flow path)라 하고, 인접한 2개의 등수두선으로 이루어진 공간을 등수두면(또는 등압면; equipotential space)이라고 한다. 그림에서는 4개의 유로, 6개의 등수두면이 있다.

유선과 등수두선을 셀 때 가장자리의 유선과 등수두선도 세는 걸 빼먹으면 안 됨.

2차원 흐름의 기본원리

• Darcy의 법칙은 유효하다.
• 흙은 등방성이고 균질이다.
• 흙은 포화되어 있고 모관 현상은 무시한다.
• 흙은 비압축성이며 물이 흐르는 동안에 흙의 압축이나 팽창은 생기지 않는다.

특성

♣♣11, 13, 15-1, 15-2, 18-1, 19-2 / 실기 05-1

• 유선과 등수두선은 직교
• 유선, 등수두선으로 이루어지는 사변형은 정사각형(그림에서 a=b)
• 인접한 두 유선 사이의 침투수량은 동일
• 인접한 두 등수두선 사이의 손실수두는 동일
• 침투속도와 동수경사는 유선망의 폭에 반비례(18-1)
• 유선망 성립에 필요한 유로 수는 4~6개

간극수압 계산 문제

13-1 / ♣실기 05-3, 08-2, 11-3 기출 일부

오른쪽 그림에서 A점의 간극수압은?

---

한칸에 2.5m로 보고 뭔가 하는건 줄 알았는데 그게 아니었음.

올바른 풀이

기준면을 잡아야 한다!!!! 하류쪽 수면을 기준면으로 하자.

물이 흙을 통과하면서 수두손실이 발생한다. 전수두가 상류에서 출발할 땐 20m임. 근데 통과하면서 손실때문에 기준면 상에선 전수두 0이 되겠지? 그럼 A점에선 0보다 큰 어떤 값일 것이다. 10칸 통과하면 20m 손실이고 전수두는 0, 8칸 통과하면? $20\times \frac{8}{10}=16m$ 손실이고 전수두는 4m!!

위치수두는 기준면에서부터 -5m

전수두 = 위치수두 + 압력수두

이므로 압력수두 = 전수두 - 위치수두 = 4 - ( - 5) = 9m

간극수압은 물의 단위중량 곱하면 되니까 9t/m²

어렵지 않은 문제니까 익숙해지면 잘 풀 수 있을 것이다.

등방 토질에서 침투유량

♣♣♣

등방인 토질에서 단위폭당 침투유량 q는 다음 식으로 구한다.

$q=kh\frac{n_f}{n_d}$

k : 투수계수

h : 측정하는 두 지점 사이의 전손실수두

n_f : 유로 수

n_d : 등수두면 수

침윤선

• 침윤선의 수두는 위치수두만 존재. 압력수두 0 (98)

• 침윤선은 a에서 댐체 면과 직교(86, 90, 96, 99)

상향침투

모르겠으면 원리 이용해서 계산해도 됨. 식 외울 필요 없이

B점 응력 계산

• ${\sigma }_B=H_2{\gamma }_w+H_1{\gamma }_{sat}$
• $u_B=(H_1+H_2+h){\gamma }_w$
• $\overline{{\sigma }_B}={\sigma }_B-u_B=H_1{\gamma }_{sub}-h{\gamma }_w$

C점 응력 계산

• ${\sigma }_C=H_2{\gamma }_w+z{\gamma }_{sat}$
• $\begin{array}{cc}{u}_C& =(H_2+z+\frac{h}{H_1}z){\gamma }_w\\ & =(H_2+z+iz){\gamma }_w\\ \end{array}$
• $\overline{{\sigma }_C}={\sigma }_C-u_C=z{\gamma }_{sub}-\frac{h}{H_1}z{\gamma }_w$

상향침투 시 정수압보다 수압 증가, 유효응력 감소

$\bar{\sigma }={\gamma }_{sub}z-iz{\gamma }_w$

하향침투 시 정수압보다 수압 감소, 유효응력 증가

$\bar{\sigma }={\gamma }_{sub}z+iz{\gamma }_w$

한계동수경사

상향침투에서 유효응력이 0인 경우

$\bar{\sigma }={\gamma }_{sub}z-i_{c}z{\gamma }_w=0$

$i_c=\frac{{\gamma }_{sub}}{{\gamma }_w}=\frac{G_s-1}{1+e}$

---

참고 서적

• 틀:서적인용

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86, 91, 98, 02, 09 기출

AA면에 작용하는 유효 수직응력은? 흙의 포화단위중량은 1.8g/cm³이다.

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결론 식만 가지고 풀면

유효 연직응력

$\begin{array}{cc}\bar{\sigma }& ={\gamma }_{sub}Z-{\gamma }_w\cdot \frac{\mathrm{\Delta }h}{H_2}\cdot Z\\ & =(1.8-1)\times 10-1\times \frac{20}{50}\times 10\\ & =4.0g/c{m}^2\\ \end{array}$

---

원리 이용해서 풀면

$\sigma ={\gamma }_w\times 10cm+{\gamma }_{sat}\times 10cm$

$u={\gamma }_w\times 10cm+{\gamma }_w\times 10cm+{\gamma }_w\times \frac{20cm}{50cm}\times 10cm$

$\begin{array}{cc}\overline{\sigma }=\sigma -u& =({\gamma }_{sat}-{\gamma }_w)\times 10cm-{\gamma }_w\times \frac{20}{50}\times 10cm\\ & ={\gamma }_{sub}\times 10cm-{\gamma }_w\times \frac{20}{50}\times 10cm\\ & =0.8\times 10-\frac{20}{50}\times 10\\ & =4g/c{m}^2\end{array}$

침투수압

16-1

침투수압은 위 상향침투 그림의 B에서 예로 들면

$\begin{array}{cc}iz{\gamma }_w=\frac{h}{H_1}z{\gamma }_w& =\frac{h}{\cancel{H_1}}\cancel{H_1}{\gamma }_w\\ & =h{\gamma }_w\\ \end{array}$

여기에 침투수압 받는 면적 곱하면 침투수력

위에 상향침투 내용과 연계해서 알아두기

분사 현상

• 주로 사질토 지반에 일어나는 현상
  • 점성토는 유효응력이 0이 되어도 점착력 때문에 전단 강도는 0이 되지 않음
  • 모래는 틀:형광펜이 0이 되고 점착력이 없어 전단 강도를 가질 수 없어 분사 현상 발생
• 침투 수압에 의해 모래가 물과 함께 유출. (quick sand)

분사현상 검토방법

♣♣♣

• 동수경사 이용
• 물체력 이용
  • 유효중량 + 침투수력 이용
  • 전중량 + 경계면 수압 이용(경계면 수압은 검토영역 위에도 물이 있을 수 있음)

결국 다 같은 식으로 정리되긴 함. 틀:-

---

AA면에서

${\gamma }_{sat}L={\gamma }_w(L+h)$

${\gamma }_{sub}L={\gamma }_{w}h$

$\frac{{\gamma }_{sub}}{{\gamma }_w}=\frac{h}{L}$

♣♣♣ 안전율 (07, 08, 14-2, 14-3, 16-4, 18-1, 18-2, 18-3 / 실기)

$F_s=\frac{i_c}{i}$

• $i=\frac{h}{L}$

널말뚝에서 분사현상

♣♣♣위 내용과 연결지어 이해!

• 물막이 널말뚝에서 유선이 집중하여 있는 곳에서 침투수의 유속이 빨라지면서 흙속의 세립자가 유실되어 점차적으로 내부의 토사가 솟아오름.
• 유효 압력(침투력)이 모래의 수중 단위 무게(γ_sub)보다 클 때 분사 현상.
• 분사 현상이 계속 되면 물이 흐르는 통로가 생겨 파괴. 파이핑(piping)
• 만약 두 지점 동수경사 주면 최댓값으로 검토.(90, 93) w:파이핑에서 수두 가지고 하는 거랑 다름.

${\gamma }_{sat}d<{\gamma }_w(d+h)$

$\overline{{\sigma }_d}={\gamma }_{sub}d<{\gamma }_{w}h=u$틀:-

---

1. 00, 04, 08, 19-2

오른쪽 그림과 같이 모래층에 널말뚝을 설치해 물막이공 내의 물을 배수하려 한다. 분사현상이 없도록 하려면 얼마의 압력을 가해야 하는가? 모래 비중은 2.65, n = 39.4%, 안전율은 3이다.

---

풀이

$e=\frac{n}{100-n}=0.65$

${\gamma }_{sub}=\frac{G_s-1}{1+e}{\gamma }_w=1t/m^3$

파선 표시한 부분에서 유효중량+침투수력 이용

$F_s=\frac{\overline{\sigma }+\mathrm{\Delta }\sigma }{u}=\frac{{\gamma }_{sub}{h}_2+\mathrm{\Delta }\sigma }{2{\gamma }_{w}iz}$

$3=\frac{1\times 1.5+\mathrm{\Delta }\sigma }{2\times 1\times \frac{6}{3}\times 1.5}(\because i=\frac{6m}{3m})$

$\therefore \mathrm{\Delta }\sigma =16.5t/m^2$

---

13-2, 18-2 / 실기 06-1, 08-3, 17-1

포화 모래층이 피압수압을 받고 있다. 그 위의 점토층을 5m 굴착했을 때, 분사현상이 생기지 않게 하려면 수심 h가 얼마가 되어야 하는가?

---

유효단위중량과 침투수압을 이용한 풀이

clay와 sand의 경계면에서 흙이 받는 유효응력과 침투수압이 같아지는 순간 분사현상이 발생하므로

$W^{\prime }={\gamma }_{sub}\times 3m$

$\begin{array}{cc}{F}_{sp}& ={\gamma }_{w}iz={\gamma }_w\frac{7-3-h}{3m}\times 3m\\ & ={\gamma }_w(7-3-h)\\ \end{array}$

$0.8\times 3=4-h$

$\therefore h=1.6m$

전중량, 경계면 수압을 이용한 풀이

결국에는 위 풀이와 같은 이야기다.

$W={\gamma }_{sat}\times 3m$

$U_{top}={\gamma }_{w}h$

$U_{bot}={\gamma }_w\times 7m$

피압수압을 받는 층 2m 내의 어느 지점에 피에조미터를 꽂든 물기둥은 7m만큼 올라간다. 지표면에서 8m 지점에 꽂더라도 공극수압은 7m의 압력수두만큼 생긴다.

$W+U_{top}=U_{bot}$

$1.8\times 3+h=7$

$\therefore h=1.6m$

보일링

모래 지반에서 지하수위 이하를 굴착할 때 토류벽의 기초 깊이에 비해서 배면의 수위가 너무 높으면 굴착 저면의 모래 입자가 지하수와 더불어 분출하여 굴착 저면이 마치 물이 끓는 상태와 같이 되는 현상

같이 보기

• 투수

참고 문헌

• 틀:서적인용
• 틀:서적인용
• 틀:서적인용
• 틀:서적인용