포털:고등학교/수학/수학 I/등비수열

틀:수학잇기 틀:위키백과잇기 틀:상태상자 등비수열이란, 어떤 수를 곱한 것을 나열하여 수열로 만든 것을 일컫습니다. 가령, 아래와 같이

$1,3,9,27,81,243,\cdots$

은 3을 계속 곱하여 나열한 수열입니다. 이 때의 수 3을 공비라고 합니다. 그럼, 일반적인 꼴로 볼까요.

$a,ar,{ar}^2,{ar}^3,\mathrm{\cdots }$

첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 일반항 $a_n$은

$a_n\mathrm{=}{ar}^{n-1}$

이 됩니다. 위의 예시로 들었던, 공비가 3이고 첫째항이 3이었던 수열의 일반항을 구해봅시다. 그럼 아래와 같이,

$\begin{array}{ccc}{a}_n& =& 3\mathrm{\cdot }{3}^{n-1}\\ & =& 3^n\end{array}$

가 됩니다.

등비수열의 합

이제 등비수열의 항들을 순서대로 더해 봅시다.

(중간 과정)

따라서 등비수열의 합은

$a+ar+a{r}^2+\cdots +a{r}^{n-1}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

이 됩니다.